- •ЧАСТЬ 1
- •Список литературы
- •4.3. ПОЛУЧЕНИЕ
- •вр Ed (р — ар) + уарг) + E0NV '
- •Список литературы
- •Список литературы
- •7.2. ОБРАЗЦЫ ДЛЯ ИСПЫТАНИЙ
- •7.4. СДВИГ
- •8.1. Расчетные зависимости для постоянных упругости однонаправленного материала (монослоя)
- •8.2. ТЕРМОУПРУГОСТЬ
- •многослойных композитов
- •ПРИ ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ
- •состоянии
- •8.4. ИЗГИБ МНОГОСЛОЙНЫХ
- •композитов
- •Шсшгьш-
- •[Фасу] = 1.] [ф°] [7\]т; (8.101)
- •Список литературы
- •9.1. КЛАССИФИКАЦИЯ КОМПОЗИТОВ
- •9.2. СТРУКТУРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
- •9.5. Приближенные зависимости для расчета упругих характеристик композита с противофазным искривлением волокон
- •9.6. ЧЕТЫРЕХНАПРАВЛЕННЫЕ КОМПОЗИТЫ (4Д)
- •ЧАСТЬ 2
- •1.1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ АНИЗОТРОПНОГО ТЕЛА
- •Список литературы
- •2.1. КОМПОЗИТНЫЕ БАЛКИ
- •2.2. ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ
- •2.4. КРУГОВЫЕ КОЛЬЦА
- •Список литературы
- •4.1. СТАТИКА ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
- •Му == ^1я8да 4“ &22®у 4~ CiaKx4“ ^ааКу!
- •в.З. АНИЗОТРОПНЫЕ ДИСКИ
- •6.3. Влияние начальных термических напряжений на удельные энергоемкости дисков, образованных намоткой композитов
- •6.4. ХОРДОВЫЕ МАХОВИКИ
- •Список литературы
- •ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА
- •8.1. ПРОЕКТИРОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ СОЕДИНЕНИЙ
- •Список литературы
- •« РЕКЛАМА»
- •« РЕКЛАМА»
8.3. Расчетные зависимости для преобразования компонент матриц податливости и жесткости монослоя при повороте на угол О в произвольной системе координат (х , у)
Компоненты
матрицы
Вхх
Зху
8x8
§УУ
8ys 888
8 хх
8 х у
8x8
8 у у
8уа
8 88
П р и м е ч а н и е .
Формулы преобразования
Ql + Qa cos 20 + Q8 cos 40
Qi — |
— Qa cos 40 |
|
Qa sin 20 + |
2 Q8 sin 40 |
|
Qt — Qa cos 2 0 + |
Qa cos 40 |
|
Qa sin 20 — 2Qa sin 40 |
||
Q4 — 4QS cos 40 |
||
Vi + У2 cos 20 + |
V3 cos 40 |
|
Vl — 2Vi — V3 cos 40 |
||
- i - V2sin 2 0 |
+ |
V8 sin 40 |
Vi — У2 cos 20 + |
Vs cos 40 |
|
- i - Va sin 20 — Vasin 40 |
||
V4 — V8 cos 40 |
Принятые обозначения: Qx = (3sJx + 2s} 2 + 3s§2 + sjJe)/8 ;
V, = |
(ЭД, + SW2 + |
3^ 2+ |
4^ge)/8; |
Q2 = |
(s?x |
- sg2)/2 ; |
V2 = |
- |
rf 2)/2; |
Q3 = |
|||||
= |
(s?x - |
2S?2 + |
sj2 |
- |
sge)/8 ; V3 = |
(Й, - |
2^ 2 |
+ g? 2 - |
4gy/8; |
Q4 = |
(s?x - |
2s° 2 + |
|||
+ |
sg2 |
+ |
s86)/2; |
V4 |
= |
(g?x - |
ЭД2 |
+ |
g? 2 + |
4^ge)/8. |
|
|
|
|
соответственно при растяжении и сдви ге. Они могут быть использованы при сравнении средней жесткости анизо тропных монослоев с жесткостью кон курирующих с ними изотропных кон струкционных материалов.
8.2. ТЕРМОУПРУГОСТЬ
многослойных композитов
ПРИ ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ
слоев (рис. 8.3). Каждый из монослоев характеризуется своим, в общем слу чае отличным от других слоев, набором
характеристик: Е\ Е\ Gj2 , vX2 ,
состоянии
Многослойными материалами принято называть материалы, образованные последовательной укладкой несколь ких разноориентированных моно
Рис. 6.3. Структура многослойного ком позита
а ^ , с 4 Л), hSk) , 0 (ft). Здесь ft — номер монослоя в пакете л-слойного матери
ала, — его толщина, — угол армирования. Введем следующие си стемы координат: общую «глобальную» (*, у) и местные «естественные» коор динаты монослоев (1 , 2 )(*).
8.2.1. Соотношения термоупругости. Средние для пакета слоев напряжения определим следующим образом:
Ох
{Оху} = |
Оу |
|
|
ь*у |
|
k=\ |
|
|
Е < |
)fiW |
(8. 22) |
k=\ |
|
|
23
Л=1
Здесь Я(Ь) — относительная толщина fc-ro слоя; h(k) = R(k)/Ht где Я — об
щая толщина пакета слоев (см. рис. 8.3). Будем считать, что деформа ции слоев равны между собой и, сле довательно, совпадают со средними деформациями пакета, а изменение температуры всех слоев одинаково:
{8*»} = {е*„}(4>; |
(8.23) |
ДГ(А>= ДГ (* = 1 , 2, |
., л). |
|
(8.24) |
Подставив в (8.22) соотношения Дю- амеля—Неймана для слоя (8.13), полу чим
Ы = IQxy) |
- (РХу) АТ (8.25) |
или |
|
где |
|
|
8ц = 2 |
|
(Ч = х, g, s); |
k=l |
|
|
ft. - |
Е |
|
|
k = \ |
|
ft, = 2 J |
(8.26) |
|
|
A= I |
|
К , - |
S |
й ? * 1*’. |
|
/г=1 |
|
Обращая соотношения (8.25), имеем
{®жу} = [^Ху] {^жу} + (ажу) АГ. (8.27)
Здесь [GxyJ, 15ху1 — матрицы же сткости и податливости пакета слоев (|5*у] = lGxyJ“*); {аху} — матрицастолбец термических коэффициентов линейного расширения пакета; {Рху} — матрица-столбец коэффициентов тер мических напряжений пакета. Из (8.25) и (8.27) следуют формулы, определя ющие взаимосвязь (аху} и {Рху}:
{аху} = [5ху] {РЖу};
{Ржу} = Юху] {ажуЬ
В (8.28) коэффициенты матрицы по датливости fSjcyl следующим образом связаны с коэффициентами матрицы жесткости [Gxy]:
|
_ 8уу&88 |
8у&, |
|
|
Ag |
' |
|
*ху |
gxagya |
gaagxy |
|
Ag |
; |
||
|
|||
|
& X X & S S |
6 x 8 . |
|
syy — |
|
||
|
Д* |
|
|
|
gxygya — gyygxa (8.29) |
||
|
д8 |
; |
|
|
бххбуд |
8r |
|
8мл = |
|
||
|
Ag |
|
gxygxa — gxxgya
sya----
Ag Ag i det [Gxy].
менении температуры пакета слоев многослойного материала (например, при охлаждении его от температуры полимеризации связующего до тем пературы эксплуатации) возникают термические (остаточные) напряжения и деформации в составляющих пакет монослоях. Деформации пакета в целом в системе координат (х, у) могут быть определены по формулам (8.27) . В данном случае
{гху} ~ |
(а ху} |
» |
(8.30) |
где для определения {аХу} |
необходимо |
||
последовательно |
выполнить |
вычисле |
ния по формулам (8.3), (8.17), (8.26), (8.28) . Деформации каждого из слоев в системе координат (х, у) совпадают со средними деформациями пакета (8.23), а в «естественных» координатах (/, 2)(Ь) они могут быть определены из формул
Ы . (8-31)
Деформации, определяемые соотно шением (8.31), вызваны взаимным стес нением слоев пакета при изменении температуры. Деформации свободного расширения слоев {е*2} определяются соотношениями
всех слоев изменяются на угол у, например,0 <*> примет значение 0 <х>— у и т. д. Следует учитывать следующие тригонометрические преобразования при использовании в соотношениях (8.26) формул из табл. 8.3:
cos 2 ( 0 — у) = cos 2 0 cos 2у +
+ sin 2 0 sin 2 у;
cos 4 (0 — у) = cos 40 cos 4y +
+ sin 40 sin 4y;
sin 2 ( 0 — y) = sin 2 0 cos 2 y
— cos 2 0 sin 2 y;
sin 4 (0 — y) = sin 40 cos 4y —
— cos 40 sin 4y.
Поскольку у — величина постоянная для всех слоев, имеем
&х'х' (V) = S |
+ |
/2=1
П
+ cos 2у 2 V{2k)t f k) cos 20(ft) +
/2=1
К 2}(Л) = {«12 }(А)Д7’-
Действительные, или актуальные, деформации слоев, вызывающие по явление напряжений, равны раз ности деформаций (8.31) и деформаций
свободного расширения слоев {ei2 }(fe). Термические (остаточные) напря жения в слоях можно определить
следующим образом:
|си }<*> = [0°1<*> ({*,}“ >-{вЬ}<*>).
или
- {Pi2}(ft) д т. |
(8.32) |
8.2.3. Преобразование характери стик КМ при повороте системы коор динат. Средние жесткости. Рассмотрим преобразование характеристик много слойных композитов при повороте системы координат вокруг оси г на угол у. При этом углы армирования
П
+ sin 2у 2 V{2kW k) sin 20<ft) + k=l
П
+ cos4y 2 У^к)^ к) cos 40(Л) + k=\
n
+ sin 4Y 2 Vl3k)bw sin 40(ft).
/2=1
Аналогично можно получить выра жения и для остальных коэффициентов у). Они приведены в табл. 8.4. Найдем средние значения коэффи циентов жесткости в плоскости х, у\
2 Я
^/> = г И 8l’i' (v)dv
о
(i, / = *. У> *>)• |
(8.33) |
риала произвольной структуры при повороте вокруг оси г на угол у
вавноиуооши
2 |
У^Л)Я(Л)сов40(Л) |
|
2 |
|
sin4e<*> |
|
|
|
|
|
k=i |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
- 2 |
V3k)Hik){ |
cos40<*> |
— 2 |
|
sin 40<fc) . |
|
Л= |
1 |
|
|
Л= 1 |
|
cos 2y |
п |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
^ А)/г(Л> sin40<*) |
- |
2 |
^ |
, c40(‘)o 8 |
|
k=\ |
|
|
|
*=I |
|
sin 2 y |
2 |
1 ^ }Я(Л) cos 40(Л) |
|
2 |
|
sin 40<*> |
|
k=\ |
|
|
|
fe=l |
|
cos 4y |
п |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
— 2 |
Л)Я(Л) sin 40(Л) |
|
2 |
|
cos 40<fc) |
|
/г= |
1 |
|
|
fe=i |
|
sin 4y |
|
|
|
|
|
|
|
— 2 |
^зЛ)Л(Л) COS 40(А) |
- |
2 |
|
sin 40<ft> |
|
k—\ |
|
|
|
|
_ |
слоев многослойного материала фор мулы (8.26) заметно упрощаются. Рас смотрим три вида структур, часто используемых при создании конструк ций из композитов.
Ортогонально армированные мате риалы. Такие материалы состоят из п слоев, из которых часть уложена под
углом 0 <1) = 0 °, |
а остальные слои — |
под углом 0<2>= |
90°. Суммарная отно |
сительная толщина слоев первого типа второго типа Я(2). Характери
стики всех-слоев одинаковы.
С учетом формул (8.15), (8.17) и (8.26) получим
0 . |
ч |
_ о • |
(8.38) |
&хд ~ #1 2 » |
&S8 |
®бб> |
8x8 = 8ув ~
Р» = М (1> + М (,);
р , = М а , + М (1); Рху = о.
Структура матрицы жесткости это го материала (gx8 = gya = 0 ) позво ляет считать его ортотропным. Главные оси ортотропии совпадают с осями х , у.
Перекрестно армированные матери алы. Такие материалы состоят из 2 п слоев, из которых п слоев уложены под углом 0 к оси JC, а остальные п слоев — под углом —0 .
С учетом формул (8.15), (8.17) и (8.26) получим
8хх = (ffi* + 8 (X2J ) / 2 = 8 ХХ;
Ядд — (вдд* ^ 8дд)/^ = вдд,
Яхд = (&жд ”1“ 8 х д ) / 2 — й хд\
8„ = (ей* + e iV ) /2 =
6 x 8 — б у е — О» |
Из (8.26) и формул табл. 8.3 следует |
p,= (P i1) + Pi2))/2 = N (839)
р« = (рГ+рГ)/2=р,; рзд=(р1У+р^)У2=°-
При укладке слоев под углом |
0 = |
|||
= ± 4 5* |
с |
учетом формул |
табл. |
8 . 2 |
имеем |
|
|
|
|
S x x = |
8 у у |
= (в°и + 2g?2 + |
В°22 + |
А= 1 |
4nk \ |
||
. |
.. |
||
± |
Vacos —— |
J . |
|
п |
|
п |
|
Суммы 2 cos (2 nk/n), 2 |
cos (4nk/n), |
||
k= l |
|
k=\ |
а также входящие в выражения для других коэффициентов суммы-
|
|
|
+ |
4 £бб)/4; |
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
sin (2 nk/n) и 2 |
sin (4я£/я) |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
В х у |
= |
(^11 + 2£?2 + |
В°2 — 4^бб)/4; |
А= 1 |
|
нулю. |
|
k = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.40) |
равны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бхх = буу = Vi> |
|
|
|
|
|||||||||
|
B s s |
= |
(§?1 |
|
2 £ ? 2 |
+ |
Й г г ) /4 ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6xy = V1- 2 V A; |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
6 x 8 |
= |
6 у 8 |
= |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
без — |
У 4 ! |
|
|
|
|
|
||||
Р х |
= |
Р у |
= ( P i + Рг)/2; |
Р х у — 0* |
|
|
|
|
6X8 = |
6уЗ = |
0. |
|
|
|
|
||||||||||
Перекрестно |
армированный |
мате |
Из |
(8.26) и формул табл. 8.2 следует, |
|||||||||||||||||||||
что |
Рх = |
Ру — (Pi 4“ Рг)/2 , |
Рху == |
||||||||||||||||||||||
риал |
с |
углами |
0 = |
|
±45° является |
||||||||||||||||||||
ортогонально |
армированным |
мате |
Равенство нулю компонент матрицы |
||||||||||||||||||||||
жесткости gx8, gy8 позволяет считать |
|||||||||||||||||||||||||
риалом с h(1) = |
h<2) = |
0,5, рассматри |
|||||||||||||||||||||||
материал |
ортотропным. |
Определяя |
|||||||||||||||||||||||
ваемым |
в |
осях, |
повернутых на угол |
||||||||||||||||||||||
технические |
постоянные |
|
упругости |
||||||||||||||||||||||
45° относительно |
осей |
системы |
коор |
|
|||||||||||||||||||||
по формулам табл. 8 .1 , пригодным для |
|||||||||||||||||||||||||
динат предыдущего |
примера. Анализ |
||||||||||||||||||||||||
любого |
|
ортотропного |
материала |
при |
|||||||||||||||||||||
формул (8.40) и (8.38) показывает, что |
|
||||||||||||||||||||||||
плоском |
|
напряженном |
состоянии, |
||||||||||||||||||||||
равенство жесткостей материала в двух |
|
||||||||||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ортогональных |
направлениях |
(gxx = |
|
|
|
|
|
|
V J V J = |
Е; |
|||||||||||||||
= gyy при Л<*> |
= |
Л<2)= 0,5) в форму |
Е1 = Е2 = 4V4 (1 - |
||||||||||||||||||||||
лах (8.38) |
еще не означает изотропии |
|
Vi, = v2 1 |
= |
1 — 2VJV,. = v; |
|
|||||||||||||||||||
жесткости в плоскости (х , у). В то же |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
GU =K « = |
£ /[ 2 ( 1 + V)]. |
|
|
||||||||||||||||||||
время |
равенство |
|
коэффициентов |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
термических напряжений |
в двух вза |
Рассматриваемый |
|
материал |
|
изо |
|||||||||||||||||||
имно |
ортогональных |
направлениях |
|
|
|||||||||||||||||||||
тропен в плоскости х, у . Естественно, |
|||||||||||||||||||||||||
свидетельствует об изотропии характе |
|||||||||||||||||||||||||
что |
значения его коэффициентов же |
||||||||||||||||||||||||
ристик |
|
термического |
|
расширения |
|||||||||||||||||||||
|
|
сткости |
равны |
|
средним |
жесткостям |
|||||||||||||||||||
материала |
в плоскости (х, у). Общие |
|
|||||||||||||||||||||||
(8.34) |
многослойного |
композита |
при |
||||||||||||||||||||||
условия, |
связывающие |
симметрию |
|||||||||||||||||||||||
одинаковых |
характеристиках |
слоев. |
|||||||||||||||||||||||
структуры и физических свойств мате |
|||||||||||||||||||||||||
8.2.5. |
|
Технические |
постоянные уп |
||||||||||||||||||||||
риала, |
определены теоремой |
Герма |
|
||||||||||||||||||||||
ругости |
КМ. Технические |
постоянные |
|||||||||||||||||||||||
на [6 ]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
упругости |
многослойного |
|
материала |
||||||||||||||
Квази-изотропные |
материалы. Рас |
|
|||||||||||||||||||||||
могут быть определены непосредствен |
|||||||||||||||||||||||||
смотрим |
многослойный |
композит, |
|||||||||||||||||||||||
но |
из |
соотношений |
(8.25). |
Так, |
для |
||||||||||||||||||||
в котором одинаковые монослои равной |
|||||||||||||||||||||||||
случая |
|
нагружения |
материала |
вдоль |
|||||||||||||||||||||
толщины уложены под углами |
0 (A) = |
|
|||||||||||||||||||||||
оси х они принимают вид |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
= knln\ |
|
k = 1 , 2 , ..., |
я; |
я > |
3. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Простейшие |
примеры |
таких |
мате |
|
о х |
~ |
|
б х х ^ х |
+ 6 х у ъ у |
+ б х а У х у I |
|
||||||||||||||
риалов — композиты со схемой уклад-, |
|
о = б х у Ъ х |
4" 6 у у в у |
4" б у а У х у I |
|
||||||||||||||||||||
ки |
слоев |
[307—30790°] |
или |
|
|
||||||||||||||||||||
[07457907—45° ] |
(я = |
4). |
|
|
|
0 = 6 х а г х |
+ |
6 у а ъ у |
+ б а а У х у • |
|
Отсюда
ех-Ю'3,/1Па
£» = Ох
бххбуубвв + ^бхубувбхв
Exx&ys Syy8xs SssSxg
&УУ&88 &У8
или
A* (8.41)
S y y S s s - S h
Здесь'Ь Ад есть определитель матрицы Ю*Д:жрГ
бхХ бху 6x8 Дg = det бху буу був
6 X 8 |
б у В |
б 8В |
Аналогично могут быть получены вы ражения для модулей упругости
г ___________ |
. |
|
S x x S s S |
& XS |
|
Оху — |
Ag |
(8.42) |
|
S x x S y g - S l y
и коэффициента Пуассона
&xg6ss &xs&iys (8.43)
&gg&ss. &ys
В случае ортотропного композита
(бхв = був = 0 ) имеем формулы, ана логичные приведенным в табл. 8 .1 :
Ех = бхх |
Бху |
|
|
*уу |
|
||
|
|
||
Еу = буу |
*хд |
(8.44) |
|
бхх |
|||
|
|
||
Оху — gee! |
--бху!буу |
|
Для ортотропного материала из (8.28) следуют расчетные формулы для температурных коэффициентов ли нейного расширения:
$хбуу — Рубху
а» =
бххбдд бхд
(8.45)
Рдбхх — Рхбху
O j,=
&хх&дд Ехд
Коэффициенты матриц жесткости и термических напряжений в (8.45) определяются формулами (8.26).
Рис. 8.4. Зависимость технических по стоянных упругости Ех , Qxyf vXy одно
направленного монослоя и перекрестно- армированного материала от угла ориента ции волокон (0)
На рис. 8.4 приведены графики изме нения в зависимости от утла ориента ции волокон однонаправленных моно слоев технических констант упругости однонаправленного материала, опре деляемых формулами (8.41)—(8.43), и аналогичных констант ортотропного перекрестно-армированного матери ала, определяемых формулами (8.44). Графики построены для стеклопласти
ка со следующими |
характеристиками |
|||
однонаправленного |
материала: |
Et = |
||
= 46 000 |
МПа, |
Е2 = |
18 000 |
МПа, |
Gia = 4500 |
МПа, |
= |
0,2. Взаимное |
стеснение деформаций сдвига в слоях перекрестно-армированного матери ала приводит к возрастанию его моду лей упругости по сравнению со сво бодно деформируемым однонаправлен ным композитом.
8.2,в. Термонейтральные структу ры КМ. Рассмотрим вопрос о темпера турной стабильности многослойных
армированных материалов.
Материал, температурный коэффи циент линейного расширения кото рого в заданном направлении равен нулю, является однооснотермоней-
тральным материалом. Простейший пример задачи построения такой струк туры материала — определение угла 0 укладки однонаправленного мате риала по отношению к заданному направлению (например, оси *), обес печивающего нулевой температурный коэффициент линейного расширения
вэтом направлении (см. рис. 8 .2 ). Формулы для температурных коэф
фициентов линейного расширения монослоя в произвольной системе ко ординат приведены в табл. 8 .2 .
Приняв а х = 0, имеем
ocjc2 + aaS2 = 0 .
Отсюда следует
cos Q |
« 2__ |
|
а2 — а1 |
||
|
||
или |
(8.46) |
|
|
||
sin 0 = 1 / |
— « 1 |
|
V |
ах • а а |
Формулы (8.46) дают действительное решение при различных знаках аг и а 2. При выполнении условий (8.46)
коэффициенты а у и аху в общем случае отличны от нуля и выражаются следу ющими простыми формулами:
|
|
ct« = |
о&1 + |
а 2; |
|
|
а ху = |
ОПУ--------- |
(8.47) |
||
|
2 у — ага2. |
|
|||
При |
= |
—а 2 |
и |
0 = 45° |
рассма |
триваемая |
структура |
является |
термо |
нейтральной в направлении осей х и у,
т. е. ах = |
ау = 0 , |
не являясь термо |
|
изотропной |
(аху Ф 0 ), |
поскольку |
|
из (8.47) |
следует, |
что |
|
&ху = 2 с&!.
Рассмотрим однооснотермоней тральные структуры общего вида, используя соотношения (8.28). При мем ах = 0, а ху = 0. Тогда из (8.28) следует
«х = sxxPx "Ь sxyPy 4~ sxePxy = 0»
а ху = |
SXePx + |
Sy-8&y 4" S8sPxy == 0 . |
|
|
(8.48) |
Поскольку в (8.48) в общем случае |
||
Рх |
Ру ф 0. |
See Ф 0» будем счи |
тать, что второе уравнение (8.48) вы полняется при sxa = sy8 = Рху — 0 , т. е. ограничимся рассмотрением ортотоопного материала.
В этом случае |см. (8.29) ] ненулевые коэффициенты податливости в (8.48) равны
— 8уу *ХХ~~8хх8уу-81д'
_ ёху
ё х х ё у у |
8 х у |
Из первого уравнения (8*48) следует условие, связывающее термоупругие характеристики однооснотермоней трального ортотропного материала*
или |
8 уу$х |
= |
Sxyfiy |
(8.49) |
Рэе |
|
ё х у |
|
|
|
_ |
|
||
|
РУ |
|
ё уу |
|
Условие (8.49) может быть конкре |
||||
тизировано |
для |
некоторых |
частных |
|
структур |
многослойных материалов. |
Так, для перекрестно-армированного материала, содержащего равное число слоев, уложенных под углами 0 и — 0 к некоторой оси (для определенно сти х), входящие в (8.49) величины согласно формулам (8.26),(8.15), (8.16), (8.2), (8.3) могут быть записаны в сле дующем виде:
ё Ху — ё п — (ё \\ + 822 — 4£бб) s2° 2 +
|
+ ё\2 (s* + с4); |
|
||
Вуд = |
В22 = SV l + |
е4в§2 + |
2 («12 + |
|
|
+ |
2 «6б) s2<;2> |
|
|
Рх = Рх = |
PiC2 + |
Ра*а; |
Р„ = |
|
|
= Ру = PiSa + Р2С3; |
|||
Pi = |
«11®1 + |
В °2а 2, |
р2 = |
8°12«1 + |
|
|
+ #2 2а 2 * |
|
|
Подстановка |
выписанных формул |
в (8.49) позволяет получить квадратное уравнение относительно переменной
X = tg2 0 (X > 0 ), определяющее величину угла ± 0 укладки слоев перекрестно-армированного матери ала, обеспечивающую тепловую ста бильность структуры в направлении оси х :
X 2 + ВХ + С = 0, |
(8.50) |
где
д _ 4gg6 [g?i« + (i + q) g? 2 + г У
|
|
— о — 1; |
|
|
|
|
|
С = а = ax/аз. |
|
|
|||
Так, |
органопластик |
|
Kevlar 49/ |
|||
ERLA4617 имеет следующие характе |
||||||
ристики: |
= |
69 ГПа, Е2 = |
4,52 ГПа, |
|||
Gia = 2,48 ГПа, |
Via = |
0,41, |
аг = |
|||
= —5,17.10е К"1, |
aa = |
68,7.10e К"1, |
||||
X = 0,9693, |
0 = ±44,55°. |
|
тер |
|||
Полный |
график |
зависимости |
||||
мических |
коэффициентов |
линейного |
||||
расширения |
перекрестно-армирован |
ного материала на основе однонаправ ленного органопластика этого типа от угла армирования, построенный по формулам (8.28), приведен на рис. 8.5.
Назовем |
двухоснотермонейтраль |
|||
ными |
изотропными структурами |
|||
многослойные |
материалы, |
для |
кото |
|
рых |
выполняется условие |
|
|
|
|
а ж = |
а у = аху = |
0 |
(8.51) |
и при изменении температуры не про исходит изменения линейных и угло вых размеров тела в плоскости х, у. Из (8.28) непосредственно следует, что в этом случае
{Р*у> = {0}. |
(8.52) |
Последнее выражение значительно удобней исходной постановки (8.51), так как для коэффициентов термиче ских напряжений {Рху) в отличие от термических коэффициентов линей ного расширения {аху} существует правило аддитивности (8.26).
Рассмотрим многослойный мате риал, составленный ив п монослоев одного типа с коэффициентами терми ческих напряжений Р|, ра. Из (8.26)
и(8.52) следуют уравнения
Р, (С(1), + с<2> * + - - - + С(п),) +
+Р2 (S<‘>* + S(2)4 - " + * (n)*) = 0 ;
Р, («<, >, + *<2>, + - + . (я,,) +
+ Р2 (с(1> Ч с<2>, + . . . + С(л),)= 0 ;
Р, (s<IV 1>+ s<2>c<2> + . . . +
+ S<"V">)-p2(s“)c<‘>+
+s<2)c<2) + . . . + S<"Vn>)=0.
(8.53)
Решением системы (8.53) (кроме три виального решения Pi = Ра = 0) яв ляется
P i — — P2I
2 s(fe)#= 2 Ci k ) i = n f 2 ; (8.54) k=\ k=\
2 s<*>e(*>=0. k=l
Так, для перекрестно-армирован
ного материала (п = 2, 0(1)= 0, 0(2) = = — 0) система условий (8.54) имеет вид
P i = — Ря»
sin2 0 + sin2 (— 0) = 1; (8.54а)
sin 0 cos 0 + sin (— 0) cos (— 0) = 0»
коэффициентов линейного расширения пе рекрестно-армированного органопластика Kevlar40/ERLA4017 от угла армирования
откуда следует
0 = я /4; рх = _ р а. |
(8.65) |
При этом третье условие из (8.54а) выполняется тождественно.
Первое условие системы (8.54) опре
деляет |
соотношение |
|
связи |
||
между |
термоупругими |
характеристи |
|||
ками |
монослоя, |
необходимое |
для |
||
создания термонейтральных |
структур |
||||
(8.54). |
Положив |
Pi = |
—Эя, |
иэ |
(8.3) |
получим |
|
|
|
|
|
|
<*1 _ |
( 1 |
+ Via) |
|
(8.56) |
|
о* |
£ I ( 1 + V21) |
|
||
|
|
|
Изотропная в смысле коэффициентов линейного расширения (8.51) струк тура (8.55) перекрестно-армирован ного материала не является изотроп ной по характеристикам упругости.
8.3. ИДЕНТИФИКАЦИЯ УПРУГИХ ХАРАКТЕРИСТИК МОНОСЛОЯ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ЭКСПЕРИМЕНТОВ НА МНОГОСЛОЙНЫХ МАТЕРИАЛАХ
Рассмотрим процесс идентификации характеристик жесткости монослоя [ 2 ] по результатам экспериментов с много слойными материалами, составлен ными из монослоев этого типа.
Связь между напряжениями и де формациями для монослоя относитель но главных осей ортотропии дана фор мулами (8.2). В качестве независимых параметров, полностью определя ющих упругие свойства монослоя при плоском напряженном состоянии, выберем коэффициенты матрицы же-
сткости gh, |
g°n , gjj„, сгруппировав |
их в матрицу-столбец: |
|
{б°} = |
£2 2» S\29 £бб}Т = |
- '( в ? , |
A e l е°4}Т. (8.57) |
Обобщенный закон Гука для много слойного пакета (8.25) без учета тем пературных напряжений для произ вольных осей (см. рис. 8.3) имеет вид
а х = 8 х х г х + 8 х у в у + б х в У х у »
а у = 8 х у & х + 8 у у е у + 8 у в У х у \
(8.58)
* х у = 8 хв& х + 8 у в & у + 8 в в У х у
Для симметричных относительно осей х и у структур многослойных материалов (далее для простота будем рассматривать только такие струк туры) компоненты матрицы жесткости 8хву 8ув равны нулю и пакет много слойного материала в условиях пло ского напряженного состояния ведет себя в среднем как ортотропный мате риал. С учетом (8.26) и формул из табл. 8 . 2 выражения для ненулевых компонент матрицы жесткости много слойного материала могут быть запи саны в следующем виде:
8хх ~ |
2 |
[#?1с4 + 2 (#?2 + |
£бб) х |
||
|
k=\ |
|
|
|
|
|
X s V + g2V ] ^ ^ ; |
|
|||
еиу = |
2 |
[#?is4 + |
2 ( e l + |
e l ) x |
|
|
*=i |
|
|
|
|
ex y = |
2 |
[ |
( |
A |
+ |
|
ft=l |
|
|
|
|
e s, = 2 |
[ ( A + e l - 2e l ) № + |
||||
|
k=i |
|
|
|
|
+ g l ( < |
? - m |
k )K(k)- (8-59) |
Сгруппируем коэффициенты жестко сти gxx, gyy, gxyt gss Для некоторого m-го пакета в матрицу-столбец:
{Gm} = f e . С - |
С - |
= |
=-{*Г* |
а? . * * } 1 |
(8 -6 °) |
Если пакет набран из одинаковых по жесткостным характеристикам мо нослоев, (8.59) можно записать сле
дующим образом: |
|
|
|
{Gm} = U m]|G°K |
(8.61) |
где |
[А т\ — матрица размерностью |
|
4X4, |
компоненты которой |
являются |
функциями углов ориентации главных осей ортотропии монослоев и их от носительных толщин.
Пусть экспериментально опреде лена часть элементов векторов {Gm } 5
(m = 1, 2, ..., М) для некоторых М пакетов, изготовленных из одинако вых монослоев с известными схемами армирования. Например, для трех видов структур армирования (М = 3) определены из экспериментов следую щие характеристики:
для 1 -го вида: (gl)s. (el)9’,
для 2 -го вида: (g?)3, (gl)3, (g|)s; для 3 -го вида: (g|)3, (g|)B.
Назовем эти характеристики базо выми. Для каждой из базовых жесткостных характеристик может быть вычислено ее расчетное значение с ис пользованием соотношений (8.59), если известны характеристики упругости монослоя — элементы матрицы-столб ца {G0}. Объединим известные экспе риментальные и соответствующие им расчетные значения жесткостных ха рактеристик рассматриваемых струк тур в матрицы-столбцы. Для рассмат риваемого примера они примут вид
й * -{(«!)*. (г!)’. («Я*. («!)■•
«)•■ (&■ Ш Т:
<«)' = {(«!)". (г!)р. И Г (й р.
№ ■ ( й у . ( Й ) ') г -
Перейдем к более простым обозна чениям элементов введенных матриц, столбцов:
Йэ = {*р «i. •••• *1}т; Йр= {gf, е \......*£}т-
Размерность |
матриц-столбцов |
L (L > 4) равна суммарному числу |
|
экспериментально |
определенных эле |
ментов в М структурах многослойных
материалов. - |
записать |
С учетом (8.59) можно |
|
0}P = [3]{G0}, |
(8.62) |
где |Л ] — матрица, составленная из
отдельных строк матриц \Ат\ в со ответствии с видом матрицы-столбца
тРазмерность матрицы {Л} равна
. Задача идентификации упругих ха рактеристик монослоя может быть
сформулирована следующим образом: определить значения элементов век тора {G0}, обеспечивающие минималь ные в определенном смысле расхож дения между экспериментальными и те оретическими значениями жесткостных характеристик многослойных па кетов, т. е. обеспечивающие минимум некоторой функции:
Ф({0}9, {<?>), |
(8.63) |
удовлетворяющей условию
lim Ф = О |
(8.64) |
||
~ |
~ |
||
при ({G}® — {G}P)-*-0. v |
1 |
Введем в рассмотрение следующие векторы:
{М = { « ! - « ? . «2 - Й * «1 - г £ } т ;
I M |
• i - f - f |
|
(8.65)
позволяющие построить функции Ф, удовлетворяющие условию (8.64):
/ = 1
(8.66)
-{Vn }r (Vu}-
Функции 0 i и Фц представляют со бой квадраты эвклидовых норм векто ров (8.65). Задачи идентификации при менительно к функциям (8 .6 6) сво дятся к определению вектора * {G0}, обеспечивающего минимум эвкли довых норм векторов (8.65).
Уравнения Эйлера для этих задач имеют вид
дФг |
= о, |
дФп = 0 (8.67) |
w |
д{0°) |