Механика композитных материалов N2 2006
..pdfР 11(т) = [1 - Ь(т)]п, р ,2(т) =(1 - р ,, (от))(1 - q{т)\
р \3( т ) = ( \ - p u (m))q(m), p 2\(m) =0, р 22{т) = \ - q{m), p 22(m) =q(m), p 3i(m) = р 32{т) = 0, р 33(т) =1.
Аппарат цепей Маркова позволяет использовать априорную информацию об априорном распределении на множестве возможных состояний (о возмож ном числе дефектных элементов): п = ( п ^ . . . , п п+2) или л=(7с1,л 2,Лз) Для первой или второй версии соответственно. (Обратим внимание, что в случае отсутствия дефектов в исходном состоянии образца (без нагрузки!) к ] = 1.) Фактически это означает возможность введения в модель дополнительных параметров и увеличение эластичности модели. Тогда для обеих версий мо дели КФР прочности образца (определенной на последовательности {хт}) равна
т |
\ |
|
|
|
|
w =1 А |
(5) |
|
где P(j) — матрица переходных вероятностей на у-м шаге, вектор-столбец и = (00...0iy имеет только последнюю компоненту, отличную от нуля и рав ную единице.
3. Краткое описание испытаний волокон на прочность
Детальное описание испытаний на прочность стеклянных и льняных во локон приведено в работах [12, 13]. Для удобства и полноты изложения по вторим лишь основные данные.
Испытывали стеклянные волокна (Е-стекло) производства Nitto Boseki Со., Ltd и элементарные льняные волокна производства FinFlax Оу. Испыта ния проводили согласно рекомендациям [15]. Элементарные волокна тща тельно отделяли от жгута или технического волокна и вклеивали в бумаж ную рамку таким образом, чтобы средняя часть волокна заданной длины оставалась свободной. Для стеклянных волокон свободная длина! равна 10, 20, 40 и 80 мм, для элементарных льняных волокон — 5, 10 и 20 мм. После закрепления рамки в зажимах испытательной машины бумажные перемычки перерезали или пережигали и волокно нагружали (растягивали) с постоянной скоростью до разрушения. Скорость нагружения 1,5%/мин для стеклянных волокон и 0,5 мм/мин — для льняных волокон. В силу относительной ста бильности диаметра стеклянных волокон в расчете площади поперечного сечения использовали значение среднего диаметра 23 мкм. Диаметр каждо го элементарного волокна льна определяли как среднее пяти измерений, проведенных в разных точках по длине рабочей части волокна при помощи оптического микроскопа.
4. Оценка параметров, сравнение моделей
Для сокращения числа искомых параметров было принято, что F0(х) = F] (х). Рассматривали два вида распределения прочности отдельного элемента: логнормальное и распределение Вейбулла. При использовании последнего удалось получить лучшие результаты, поэтому далее подразумевается, что
FQ(x) = F](x) = \ - ex p -expf * - 9 Q N |
|
v 0 i J |
(6) |
Функция F(x) в этом случае зависит от трех параметров: 0 0, 0 1 и /].
При заданном значении /| КФР прочности образца тоже является КФР с параметрами сдвига и масштаба. Это означает, что Е ( Х 7у), математическое ожидание j - й порядковой статистики в выборке размера nh соответствую щей длине образца Lh имеет следующую структуру:
а д у) = 0 о + е д а о/ух
о
где Е(Ху) — математическое ожидание j -й порядковой статистики в вы
борке из соответствующего стандартного распределения (0О= 0, 0 j = О- В этом случае (при заданном /]) для оценки параметров 0 О, 0 j может быть применен линейный регрессионный анализ (ЛРА). Разумеется, знание F(x) позволяет применить и метод максимального правдоподобия, однако при этом трудоемкость вычислений существенно возрастает. На этапе, когда главным является не столько оценка параметров, сколько общая проверка
работоспособности предлагаемой модели, ограничимся ЛРА, а вместо точ-
0
ного значения Е ( Х у ) используем его традиционную аппроксимацию. Было принято, что приближенно
E (X ij)= F - l[F(Xij)],
где F '( ) — функция, обратная F(x ) при 0 О= 0, 0 ■=1; F (x h ) - —— —
J пj +0,4
оценка функции F(Xjj) (см. рекомендации по выбору величин 0,3 и 0,4 в ра боте [16]).
Для оценки параметра ^ и для сравнения моделей использовали два критерия:
kL |
/kL |
1/2 |
|
||
Qi = |
|
- * ) 2 |
(7)
186 |
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ,— 2006.— T. 42, № 2. |
|
k L |
”i |
|
lkL |
«, |
1/2 |
|
|
||||
Q2 = Z |
Z ( X</ -*» y )2 / |
Z |
Z (*0 -JC' )2 |
|
|
/=1 7=1 |
/ |
/=1 7=1 |
|
||
где jc7y = 0 O+0]£’(Arzy) — оценка ЛРА величины E ( X fy); 0 O, 0j — оценки
"ц л |
- 4 ^ - |
параметров 0 О, 0 j; */ ~2^,x ijlni^x i = |
ij/ пь х = 2^ * //^L’ л/ — число |
У=1
испытанных образцов длиной L = Lh i = \,2,...,kL (kL — число длин).
Для сравнения с моделью (3) оценки параметров для этой модели, полу ченные в работах [11, 12], пересчитывали в эквивалентные оценки, соот ветствующие использованию логарифмической шкалы, по формулам
0 o = ln (p )-y ln (Z ,//o)/d, ё,= 1 /а ,
где а, Р , у — оценки параметров а, Р и у.
Результаты поиска параметров моделей по данным испытаний волокон стекла и льна представлены в таблице (указаны значения параметров по пяти типам моделей и соответствующие им значения критериев Qi и Q2). Здесь использованы следующие обозначения: PW — модель (2) (power law Weibull model); PS — модель мгновенного разрушения при нескольких воз никших дефектах с пуассоновским распределением числа дефектных эле ментов [см. (3)]; D1 — модель мгновенного разрушения после образования хотя бы одного дефектного элемента [см. (4)]; МВ — модель (с использовани ем цепей Маркова) последовательного образования биномиально распреде ленного числа дефектных элементов; Ml — модель (с использованием цепей Маркова) последовательного разрушения при возникновении хотя бы одно го дефекта. Предположение об отсутствии факта образования дефекта до того, как к образцу приложена нагрузка, соответствует тому, что л j = 1.
Волокно I |
Модель__ [ |
I |
0О |
! |
! |
Q\ |
Q2 |
/( |
|
\ |
|||||
Е-стекло |
PW |
|
|
|
|
0,1701 |
0,1718 |
|
PS |
2,0 |
8,0351 |
0,2733 |
|
0,1261 |
0,2026 |
|
D1 |
20,0 |
7,5451 |
0,2769 |
|
0,1517 |
0,2057 |
|
МВ (л, = 1) |
1,0 |
8,0749 |
0,2859 |
|
0,1286 |
0,2004 |
|
МВ (л2 = 1) |
0,5 |
8,1887 |
0,3006 |
|
0,1704 |
0,1965 |
|
Ml (л, = 1) |
10,0 |
7,5464 |
0,2890 |
|
0,1908 |
0,1958 |
Лен |
PW |
|
|
|
|
0,2067 |
0,2064 |
|
PS |
0,8 |
7,4387 |
0,4530 |
|
0,0473 |
0,2271 |
|
D1 |
7,5 |
6,6554 |
0,4820 |
|
0,1689 |
0,1204 |
|
МВ (л, = 1) |
5,0 |
6,8434 |
0,5535 |
|
0,0821 |
0,1530 |
|
Ml (л, = 1) |
5,0 |
6,6004 |
0,4979 |
|
0,1364 |
0,1279 |
MECHANICS OF COMPOSITE MATERIALS.— 2006 — Vol. 42, No. 2. |
187 |
Рис. 1. Сравнение экспериментальных значений Ху со значениями ху> рассчитан ными по моделям PW (О) и МВ (*) для объединенной выборки стекловолокон при 1= 10, 20, 40 и 80 мм.
Если л 2 = 1, то предполагается наличие одного дефекта в еще не нагружен ном образце. Более сложные варианты задания вектора л не рассматривали.
Отметим некоторые особенности расчетов с использованием цепей Мар кова. Результат расчета зависит от последовательности {хт }. Приведенные в таблице данные получены при расчете стандартной КФР для последова-
Рис. 2. Сравнение экспериментальных значений Ху со значениями Ху, рассчитан ными по модели МВ (*) для отдельных выборок стекловолокон при L = 10 (а); 20 (б)\ 40 (в); 80 мм (г).
Рис. 3. Значения среднего логарифма прочности волокна xh рассчитанного по экс периментальным данным (+), и значения , рассчитанные по моделям PW (О) и МВ (*).
тельности из N х = 100 равноотстоящих точек на отрезке [*i,*ioo]> где гра ницы выбраны таким образом, чтобы можно было проследить изменение функции F(x) от нуля до 1. Например, при расчете по модели МВ для стек ловолокна был выбран отрезок [-7, +2]. Изменение последовательности {хт} изменяет результат расчета, т. е. фактически сама эта последователь ность, а при заданных ее границах и постоянном шаге, и число N x также яв ляются параметрами модели. Есть и некоторый произвол при округлении числа Z,//j, что совершенно необходимо для расчетов с применением цепей Маркова. В настоящей работе использовали либо округление до ближайше го целого, либо увеличенную на единицу целую часть рассматриваемого от ношения. В таблице приведены данные, соответствующие минимуму Q2. Для моделей PS и D1 возможна прямая замена величины п числом Ц1у На пример, для модели D 1 принято
Рис. 4. Вид функций стандартного распределения F(x)npM 0О= 0, 0! = 1, для мо дели МВ при 1= 80 (7); 40 (2); 20 (2); 10 мм (4).
л
Рис. 5. Сравнение экспериментальных значений ху со значениями Ху, рассчитан ными по моделям PW (О) и D1 (*) для объединенной выборки при L = 5, 10, 20 мм.
F(x) = <1- exp -Л.Ц1i)exp |
1 - exp -exp |
'1 J |
V |
Результаты обработки данных об испытании стекловолокна показаны на рис. 1—4, а волокон льна — на рис. 5— 8.
Рис. 6. Сравнение экспериментальных значений Ху со значениями Ху, рассчитан ными по модели D1, для отдельных выборок волокна льна при L = 5 (а); 10 (б); 20 мм (в).
Рис. 7. Значения среднего логарифма прочности волокна JC,, рассчитанного по экспери ментальным данным, (+), и значения рассчитанные по моделям PW (О) и D1 (*).
Рис. 8. Вид функций стандартного распределения F{х)при 0О= 0, 0| = 1для мо
дели D1 при 1= 20 (7); 10 (2); 5 мм (2).
Заключение
Как видно из результатов расчета по данным испытаний стекловолокна (см. таблицу) по критерию Q2 (“более глубокому”), наилучшей остается мо дель PW, затем следуют модели МВ (л2 = 1,1\ = 0,5) и Ml (л j = 1). По крите рию g j примерно одинаковые результаты дают модели PS и МВ (л 2 = 1, 1\ = = 0,5). Использование априорного распределения с л 2 = 1 позволило до биться некоторого снижения величины Q2 для модели МВ.
По данным испытаний волокон льна по критерию Q2 наилучшей оказа лась модель D1, затем следуют модели Ml (л j = 1) и МВ (л j = 1). По крите рию Qi наилучшей оказалась модель PS и МВ (л j = 1). Модель PW уступает им весьма значительно.
Предложенное семейство моделей открывает новое поле для поиска реше ния исследуемой проблемы. Полученные результаты следует считать сугубо предварительными. Очевидно, требуется обсчет более обширного экспери ментального материала и углубленное исследование моделей, основанных на использовании теории цепей Маркова, в частности исследование влияния вы бора последовательности {*,„} и правила округления числа Ц1\.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Pierce F. Т. S. ИJ. Text. Inst. — 1926. — Vol. 17. — 355 Р.
2.Weibull W. A. A statistical theory of the strength of materials // Pros. Roy. Swedish
Inst. Eng. Res. — 1939. — No. 151.
3. Daniels H. E. The statistical theory of the strength of bundles of threads // Proc. Roy. Soc. London. — 1945. — Vol. A 183. — P. 405—435.
4.Zweben С. Tensile failure of composites // AIAA J. — 1962. — Vol. 12. — P. 2325—2331.
5.Zweben C. and Rosen B. A statistical theory of material strength with application to
composite materials//J. Mech. Phys. Solids.— 1970. — Vol. 18, No. 3. — P. 189—206.
6.Клейнхоф M. А. Исследование статической и усталостной прочности компо зитных материалов, используемых в конструкции летательных аппаратов. — Дис. канд. техн. наук. — Рига, 1983.
7.Гутанс Ю. А., Тамуж В. П. К масштабному эффекту распределения Вейбулла прочности волокон // Механика композит, материалов. — 1984. — № 6. —
Р.1107— 1109.
8.Watson A. S. and Smith R. L. An examination of statistical theories for fibrous
materials in the light of experimental data // J. Mater. Sci. — 1985. — Vol. 20. —
P.3260—3270.
9.Padgett W J., Durham S. D., and Mason A. M. Weibull analysis of the strength of carbon fibers using linear and power law models for the length effect // J. Comp. Mater. — 1995. — Vol. 29, No. 14. — P. 1873— 1884.
10.Curtin W. A. Tensile strength of fiber-reinforced composites: III. Beyond the traditional Weibull model for fiber strengths // J. Comp. Mater. — 2000. — Vol. 34, No. 15. — P. 1301— 1332.
11.Andersons J Jo ff e R., Hojo M., and Ochiai S. Glass fibre strength distribution determined by common experimental methods // Comp. Sci. Techn. — 2002. — Vol. 62. — P. 131— 145.
12Andersons J., Spdrnins E., Joffe R., and Wallstrom L. Strength distribution of elementary flax fibers // Comp. Sci. Techn. — 2005. — Vol. 65. — P. 693— 702.
13.Knoff W. F. Combined weakest link and random defect model for describing strength variability in fibres // J. Mat. Sci. — 1993. — Vol. 28. — P. 931—941.
14.Paramonov Yu., and Andersons J. A family of weakest link models for fibre strength distribution (Submitted to Composites A).
15.Standard Test Method for Tensile Strength and Young’s Modulus for High-Modulus Single-Filament Materials. ASTM D 3379 — 75.
16.Гумбелъ Э. Статистика экстремальных значений. — М.:Мир, 1965. — 450 с.
Поступила в редакцию 20.01.2006 Received Jan. 20, 2006
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ,— 2006,— |
Т. 42, № 2. |
— С. 193— 208 |
MECHANICS OF COMPOSITE MATERIALS. — 2006,— |
Vol. 42, No. 2. |
— P. 193— 208 |
А. Лагздинь, А. Зилауц
Латвийский университет. Институт механики полимеров, Рига, LV-1006 Латвия
ОПИСАНИЕ УПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ И ДЕГРАДАЦИИ УПРУГИХ СВОЙСТВ ДИСПЕРСНО РАЗРУШАЮЩИХСЯ ИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ
A. Lagzclins and A. Zilaucs
DESCRIPTION OF THE ELASTIC DEFORMATION AND DEGRADATION OF ELASTIC PROPERTIES OF DISPERSEDLY FAILING ISOTROPIC MATERIALS
Keywords: initially isotropic material, scattered microdamages, damage function, failure, equivalent stress, degradation of elastic properties, acquired anisotropy, failure surface, strength surface
A model is put forward for describing the elastic deformation of a quasi-homogeneous isotropic material capable of accumulating scat tered microdamages during loading, which eventually leads to its total failure. The degree of damage of the material at a point is character ized by a centrosymmetric scalar function on the unit sphere, named the damage function, whose values depend on an dimensionless equivalent stress. This function is approximated by a fourth-rank ten sor, which is used to construct a constitutive relation between stresses and strains in a differential form. By way of example, the elastic deformation of concrete and the degradation of its linearly elastic properties are described, and the basic two-dimensional sec tions of the corresponding strength surface are constructed.
Ключевые слова: материал начально изотропный, микропо вреждения рассеянные, функция поврежденности, разрушение, напряжение эквивалентное, деградация упругих свойств, ани зотропия приобретенная, поверхности разрушения и прочности
Предложена модель для описания упругого деформирования квазиоднородного изотропного материала, в котором при нагруже нии постепенно накапливаются рассеянные микроповреждения, приводящие в итоге к его окончательному разрушению. Степень разрушения точки материала характеризуется центрально-сим метричной скалярной функцией на единичной сфере — функцией поврежденности, значения которой зависят от некоторого без размерного эквивалентного напряжения. Эта функция аппрокси мируется тензором четвертого ранга и с его помощью строится определяющее соотношение между напряжениями и деформа
циями в дифференциальной форме. Рассмотрен пример описа ния упругого деформирования и деградации линейно-упругих свойств бетона и построены основные двухмерные сечения со ответствующей поверхности прочности.
Хорошо известно, что под действием внешних нагрузок во многих кон струкционных материалах, таких, как металлы, бетон и композиты, происхо дят различные структурные изменения, если эти нагрузки превышают некото рое пороговое значение. К таким изменениям можно отнести, например, разрывы микросвязей и образование рассеянных микротрещин. По мере на копления все большего количества этих повреждений начальные упругие свойства материалов постепенно изменяются — их жесткость уменьшается. В общем случае изменяется также класс симметрии их макросвойств, на пример, изотропный материал становится анизотропным.
Для феноменологического описания этого явления строятся различные континуальные модели, где поврежденность материала в каждой точке в простейшем случае характеризуется одним скаляром, а в более сложных те ориях используются тензоры второго, четвертого или более высокого ранга. Соответствующие определяющие соотношения конструируются по образ цу классической инкрементальной теории пластичности с использованием понятия о поверхности нагружения [1, 2] в 6D пространстве тензоров напряжений или деформаций.
Внастоящей работе для характеристики степени разрушения материала
впроизвольной точке используется центрально-симметричная скалярная функция на единичной сфере, впервые введенная в [3], которая позволяет конструировать общие 6D тензорные определяющие соотношения на осно ве одномерных. Такой подход уже применялся ранее в случае трансверсаль но-изотропного (однонаправленно армированного) композитного материа ла [4, 5].
1. Общая теоретическая схема
Основные соотношения, описывающие рассматриваемую феноменоло гическую модель дисперсно разрушающихся материалов, были ранее при ведены в [4, 5] применительно к пространству деформаций. Здесь их вкрат це повторим применительно к пространству напряжений.
Рассмотрим квазиоднородный материал, который можно моделировать однородной сплошной средой. Примем, что в 6D пространстве симметрич ных тензоров напряжений а второго ранга существует область Q 0, ограни ченная поверхностью Г0, внутри которой материал деформируется без на копления микроповреждений и подчиняется обобщенному закону Гука
ее =С а, |
(!) |
где г — симметричный тензор малых упругих деформаций, а С — тензор упругой податливости четвертого ранга. Назовем V0 поверхностью началь ного разрушения. Допустим, что поверхность Г0 может быть задана в виде