5665

дятся варианты xi

и их относительные частоты

wi . Из вида данной эмпирической

функции

имеем:

x1 5, x2 10, x3 15 и

w1

0,2 0 0,2 ; w2 0,7

0,2

0,5 ;

w3 1 0,7

0,3 . Уже имеем один из ответов.

Так как задан объём выборки

n

100 ,

то по (3.1)

получаем следующие значения частот: n1 20, n2 50, n3 30 .

Ответ:

xi

5

10

15

ni

20

50

30

wi

0,2

0,5

0,3

0

при

x

1,

0,05

при

1

x

2,

F100

x

0,20

при

2

x

3,

0,40

при

3

x

4,

0,65

при

4

x

5,

1

при

x

5.

xi

1

2

3

4

5

wi

0,05

0,15

0,20

0,25

0,35

n1 5, n2 15, n3 20, n4

25, n5 35 . Тогда число рабочих, имеющих тарифный разряд

не ниже четвёртого xi

4 , равно n4 n5 60 .

Ответ: 60.

Пример 7. Признак

X генеральной совокупности является непрерывной случай-

ном вариационном ряду будет r

частичных интервалов, то для всех i 1, ..., r

h

ai 1 ai .

(3.6)

При этом первый интервал

a1 , a2

должен содержать

xm in , а последний интервал

h

xm ax xm in

.

(3.7)

r

ния. За начало a1 первого интервала принимается значение

a

x

h

.

(3.8)

m in

1

2

Тогда концом первого интервала будет число a2

a1

h (оно же служит началом вто-

рого интервала) и т.д. Отметим, что число xm ax

xm in

называется размахом варьирования.

В практической статистике приняты обычные требования: n

30,

r

5 .

Существуют различные рекомендации по выбору числа r

частичных интервалов

выборки. Самыми простыми являются приближённые формулы

1.

(3.9)

r

n,

r

log 2 n

Второе приближённое равенство из (3.9) называют формулой Стёрджеса.

В данном примере xm in

95, xm ax

155 , а n

30 ;

xm ax

xm in

155

95

60

есть раз-

мах варьирования. Теперь определимся с числом

r .

Так как

n

30

5,477 , а

log 2 n log 2 30 5 log 2 32

5 , то, согласно (3.9),

можно положить r

6 . Из (3.7) сле-

дует, что такое число групп приведёт к удобному шагу выборки, а именно h

60

10 .

6

За начало первого интервала надо взять число

a1

95

10

90

(см. равенство (3.8).

2

Правым концом последнего интервала

a6 , a7

будет

a7

a6

h

150 . Согласно ска-

занному выше в этот интервал надо отнести единственное значение xm ax

155 .

Пример 9. Гистограмма частот интервальной выборки объёма n

100 имеет вид:

ni

/ h

18

a

12

4

0

2

4

6

8

x

Рисунок 22. – Гистограмма частот примера 9

Требуется найти значение величины a .

Решение.

Неизвестная величина

a есть высота

h4 четвёртого прямоугольника

a

h4

. Так как высоты hi

гистограммы частот определяются равенством (3.11), то

h

n4

. Из рисунка 22 видно, что h

2 . Тогда h

n4 и, следовательно, надо найти

4

h

4

2

частоту n4 вариант,

попавших в четвёртый интервал. Поскольку сумма частот равна

объёму выборки,

то

n4

n

n1

n2

n3 . Так как объём выборки задан ( n

100),

то

надо найти частоты n1 , n2 , n3 . Из (3.11) имеем, что ni

h

hi . В данном примере h

2

и нужные hi заданы: h1

4, h2

12, h3

18 (см. ось ординат на рисунке 22). Итак, имеем

n1

2 h1

2 4 8, n2

2 h2

2 12 24 , n3

2 h3

2 18 36 .

Тогда n4

100

8

24

36

32

и, следовательно,

h4

n4

32

16 . Нужная величина

h

2

найдена.

Ответ: a 16 .

Пример 10. Случайная выборка некоторого признака

X генеральной совокупно-

сти имеет вид:

xi

5

10

15

20

ni

10

15

20

5

r

xi

ni

xв

i 1

,

(3.13)

n

Так как n 10 15 20 5

50 , то из (3.13) получаем

xв

5 10

10 15

15 20

20 5

12 .

50

x k n

i

x k

i 1

k 1, 2, 3, ... ,

(3.14)

n

D

x2

x 2

,

(3.15)

в

называемую выборочной дисперсией.

Отметим,

что вычисление

Dв по равенству

n

n

x 2 .

s

2

D

x2

(3.16)

n 1

в

n 1

Так как первый момент x

(очевидно, что первым выборочным моментом является

выборочная средняя) уже вычислена в примере 10,

то надо вычислить x 2 . Согласно

(3.14) и данным выборки, имеем

52

10

10 2

15

15 2

20

20 2

5

8250

x 2

165 .

50

50

Тогда по (3.16) получим, что s 2

50

165

12

2

50

21

21,43 .

49

49

Ответ: D X

s 2 21,43 .

Замечание. Формула (3.16) показывает,

что

s 2

отличается от Dв

поправочным

множителем

n

. Так как lim

n

1, то при достаточно больших значениях объёма

n

1

n

1

n

ai ai 1

10-20

20-30

30-40

40-50

50-60

60-70

70-80

ni

5

10

7

9

6

5

8

75

M X

a b

, D X

b a 2

.

2

12

Для нахождения параметров

a, b применим метод моментов.

Так как точечной

оценкой математического ожидания является выборочная средняя

M X

xв , а то-

чечной оценкой дисперсии

является

исправленная выборочная

дисперсия

n

2 , то

D X s 2

x 2

xв

a, b

найдутся из системы уравнений:

n

1

a

b

xв ,

2

b

a 2

n

2 .

x 2 x

12

n 1

в

a

b

44,6,

2

2

b

a

387,6.

12

Или b a

89,2 , а b a

68,2 . Тогда a

10,5 и b

78,7 . При вычислении моментов за

значения xi

берутся середины интервалов.

Согласно (2.22), плотность имеет вид:

0

при

x

10,5,

f

x

1

при

10,5

x

78,7,

68,2

0

при

x

78,7.

0

при

x

10,5,

Ответы: a 10,5 ; b

78,7

;

f x

1

при 10,5

x 78,7,

68,2

0

при

x

78,7.

76

ai ai 1

5-10

10-15

15-20

20-25

25-30

30-35

35-40

ni

4

7

9

12

10

8

5

оценить параметры a,

2 случайной величины

X ,

распределённой по нормальному

закону, и найти её дифференциальную функцию

f x .

величины a M X , а параметр

2 –

с дисперсией 2 D X . Тогда по методу

моментов эти параметры находятся из равенств

n

2 .

a x

,

2

x2 x

в

n 1

в

при решении предыдущего примера.

По формуле (3.14) получим следующие значения моментов:

x

в

23,05, x2 603,52 .

Тогда a

23,05 , а

2

43,30 .

Согласно (2.28), дифференциальная функция (плотность) имеет вид:

1

x 23,05 2

f x

e 147,24 .

2

43,30

1

x 23,05 2

Ответы: a 23,05 ;

2

43,30 ;

f x

e

147,24 .

2

43,30

Пример 14. Оценить параметр

и выписать плотность f

x

случайной величины

X , распределённой по показательному закону, по результатам случайной выборки:

ai

ai

1

0-8

8-16

16-24

24-32

32-40

40-48

ni

13

11

9

7

6

4

Решение.

Плотность

f

x показательно (экспоненциально)

распределённой слу-

чайной величины

X имеет вид (2.24), а параметр

закона связан с математическим

ожиданием случайной величины равенством (2.25),

то есть

M X

1

. Так как не-

ная средняя M X xв , то найдётся из равенства

1

xв . Следовательно,

1

.

(3.17)

xв

Теперь по данным выборки вычисляем xв по формуле (3.13). За значения xi

берутся

4 13

12 11

20 9

28 7

36 6

44

4

952

19,04 .

xв

50

50

Согласно (3.17), находим

0,053 . Из (2.24) следует, что f x имеет вид:

f x

0

при

x

0,

0,053e 0,053x

при

x

0.

Ответы:

0,053 ;

f

x

0

при

x

0,

0,053e

0,053x

при

x

0.

Пример 15. Пусть

g

– несмещённая оценка g

с конечной положительной дис-

персией D g

. Будет ли статистика

g 2 несмещённой оценкой для параметра g 2 ?

димо проверить равенство M g

2

g 2 . По условию g является несмещённой оцен-

кой

параметра

g ,

откуда

M g

g .

D g

M g

2

M g

2

и

потому

M g

2

g 2

D g . Ввиду того, что D g

0 , то оценка будет смещённой.

Ответ: статистика

g 2 будет смещённой оценкой для параметра g 2 .

Пример 16. В случае равномерного распределения случайной величины

X на от-

резке

1 , 1

2

найти методом моментов точечные оценки параметров

1 и

2 .

k

M X k

; в частности,

1

M X . Теоретическим центральным моментом k-го по-

рядка

называют

величину

k

M X

M X k , при этом

2

D X . Для

решения

большинства практических задач необходимы только эти два момента (

1

M X

и

2 D X ).

Выборочные

моменты,

соответствующие им,

будут a1

1

n

и

xi x

n i

1

1

n

2

, где x , x

– выборка объёма n . Систему уравнений для нахож-

b

2

x

i

x

2

, ..., x

n

n

1

i 1

дения неизвестных параметров

1 и

2

получим, используя известные выражения для

(2.23), где a

1 , b

1

2 ):

a

b

x,

2

a1

x,

1

2

1

2

,

или

2

,

или

.

b2

b

a

2

2

b2 .

2

b2 .

12

12

Из второго уравнения системы выразим

2 2

3b2 ; подставим

2 в первое, полу-

чим 1 x

3b2 .

Ответ: 1

x

3b2 ,

2 2

3b2 .

78

n

L p 1 p x1 1 p 1 p x2 1 ...

p 1 p xn 1

p n 1

p i

1

xi n .

Перед нами стоит задача нахождения оценки параметра

p ,

при котором функция L

достигает максимума. Задачу можно упростить, взяв вместо функции L её натуральный

n

логарифм, так как функции L и l ln L

n ln p (

xi n)

ln 1

p достигают максиму-

i 1

n

dl

n i

xi

n

1

0

,

dp

p

1

p

Приводя левую часть равенства к общему знаменателю, получим

n

1

1

1

p n p (

xi

n) или

1 x

1, или p

.

p

i 1

x

Ответ: p

1

.

X

Пример 18. Признак X генеральной совокупности подчинён нормальному закону

распределения со стандартом

X

1,8 . По случайной выборке объёма n 100 полу-

чено значение

xв

4,6 . Найти доверительный интервал для оценки математического

ожидания a a M X при надёжности (доверительной вероятности)

0,95 .

xв

u , xв