Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5665

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

2.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

							(2.12)
M X	np,	D X	npq,	X	npq.		(2.12)
Для данной случайной величины по формулам (2.11) получим

M X 5 0,8	4, D X	5	0,8 0,2	0,8,	X	0,8	0,89.

Это означает следующее: при 5 посаженных саженцах в среднем будут приживаться четыре, рассеяния значений относительно центра M X 4 практически нет, так как X небольшое число.

Ответы: M X 4 ; D X 0,8 ; X 0,89 .

Пример 13. В процессе производства изделие высшего качества удаётся получить только с вероятностью 0,2. С конвейера берутся наугад детали до тех пор, пока не будет взято изделие высшего качества. Найти математическое ожидание числа прове-

ренных изделий.
Решение. Обозначим через	X число проверенных изделий до получения изделия
высшего качества. Очевидно, что X имеет геометрическое распределение с парамет-
ром p 0,2 :
P X m	1 p m 1 p, m 1, 2, ... .

Для решения задачи найдём формулу для нахождения математического ожидания геометрического распределения. По определению математического ожидания имеем:

M X

m P X m

m 1 p m 1 p

m 1

p m 1

p m

m 1

1 p

p 2

1 1

Учитывая, что p 0,2 , получим M X

5 .

0,2

Ответ: M X 5 .

Пример 14. Группа туристов, состоящая из 10 девушек и 5 юношей, выбирает по жребию дежурную команду в составе трёх человек. Составить ряд распределения случайной величины X – числа девушек, попавших на дежурство.

Решение. Случайная величина этого примера имеет гипергеометрический закон

распределения. Обозначим параметры этого распределения через						N, S, K . При этом
число N есть общее число элементов совокупности, S – это число элементов данно-
го качества (свойства) во всей совокупности,	K – число элементов случайной выбор-
ки без их возвращения в совокупность. Если случайная величина						X есть число эле-
ментов r данного свойства в выборке, то X	r : 0, 1, 2, ..., min S, K . Вероятности собы-
тий X r вычисляются по формуле
		r	K	r
P X r		CS	CN	S	.	(2.13)
P X r			CNK		.	(2.13)
			CNK
51

По данным этого примера составим схему:

N	15	S	10	N	S	5
K	3	r	0, 1, 2, 3	K	r	3, 2, 1, 0

Стрелки поясняют, как происходит выборка элементов. Действуя по формуле (2.13), получим следующие результаты:

			C 0		C 3	1 10	10
P X	0		10		5						,
P X	0			C 3		455	455				,
					15
		C1			C 2	10 10	100
P X	1	10			5								,
P X	1			C	3	455			455				,
		15
			C 2		C1	45 5	225
P X	2		10		5							,
P X	2			C 3		455		455				,
					15
				C 3	C 0	120 1	120
P X	3			10	5									.
P X	3			C 3		455				455				.
					15

Таким образом, ряд распределения случайной величины имеет вид:

	X	0		1	2	3
	P	2		20	45	24

		91		91	91	91
Очевидно, что свойство			P X xi	1 выполняется.
		i
Ответ:
	X	0		1	2	3
	P	2		20	45	24

		91		91	91	91

Пример 15. Найти основные числовые характеристики случайной величины примера 14.

Решение. Для дискретной случайной величины, распределённой по гипергеометрическому закону, математическое ожидание и дисперсия выражаются через пара-

метры N, S, K закона по формулам
			M X			K		S		,							(2.14)
			M X			K		N		,							(2.14)
								N
			D X K		S	1			S		1		K	.			(2.15)
			D X K			1					1			.			(2.15)
				N	1				N				N
Так как N 15, S 10, K		3 , то
M X 3	10		2 , D X 3		10	1	10				1	3			4	, X	2	.

	15				14		15					15			7
	15				14		15					15			7		7
						52

Ответы: M X

2 ; D X

;

Пример 16. Случайная величина распределена по закону Пуассона

P X m

e 2 .

Найти M X , D X

и X .

Решение. Дискретную

случайную

величину,

принимающую значения

X m: 0, 1, 2, ... с вероятностями

P X

0 ,

(2.16)

называют распределённой по закону Пуассона с параметром

. При этом справедли-

вы равенства

M X

D X

(2.17)

Так как в данном примере

2 , то M X

2 , D X

2 ,

2 .

Ответы: M X

2 ; D X

2 ;

2 .

Пример 17. Завод, изготовляющий телевизоры, отправил потребителю партию из 2 000 доброкачественных телевизоров. Вероятность того, что при транспортировке какой-либо телевизор будет повреждён, равна 0,001. Найти вероятность того, что потребитель получит 5 телевизоров с дефектами.

Решение. Для решения задачи можем предположить, что мы испытываем 2 000 телевизоров на приобретение повреждений при транспортировке. Эти испытания не-


зависимы друг от друга и дефекты возникают с одинаковой вероятностью					p 0,001.
Имеем схему независимых испытаний Бернулли B n, p ,	где n	2 000, p			0,001. Ис-
комая вероятность будет равна P2 000 5 . Так как n 2 000	велико, а		p	0,001 мало и
n p 2 000 0,001 2 10 , то можно ввести случайную величину		X	–	число повре-

ждённых при транспортировке телевизоров, распределённую по закону Пуассона с параметром n p 2 . Тогда, используя формулу (2.16), получим

	P	5		P X		5	25	e 2	0,036 .
	P	5		P X		5		e 2	0,036 .
	2 000						5!
							5!
Ответ: P2 000 5	0,036 .
Пример 18. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения
					0		при	x	3,
	F x		1	x	3 2		при	3	x 6,
	F x	9		x	3 2		при	3	x 6,
		9
					1		при	x	6.
Найти плотность	f x распределения вероятностей и вероятность события 4 X 7 .
Построить графики функций F x				и	f	x .
							53

Решение.	В точках дифференцирования функции F x плотность (дифференци-
альная функция) задаётся равенством					f x	F	x . Тогда по правилам дифференциро-
вания получим
		0				при	x	3,
	f x		2	x	3	при	3	x 6,
	f x	9		x	3	при	3	x 6,
		9
		0				при	x	6.
В точке x	6 функция F x	не имеет производной. Геометрически это объясняется

тем, что в точке (6, 1) кривая, заданная функцией F x , не имеет касательной (рисунок 10).

Графики функции распределения и плотности изображены на рисунках 10 и 11. y

1
1

0		3				6	x
	Рисунок 10 – График функции распределения F x
	y
1
2 3

0		3				6		x
	Рисунок 11 – График плотности f						x
Для нахождения вероятности события a					X	b в случае непрерывной случайной
величины справедливы равенства
	P a		X	b	F b	F a ,	(2.18)
					b
	P a X			b	f	x dx .	(2.19)

Так как уже известны обе функции F x и f x , то вероятность заданного события можно найти по любому из равенств (2.18), (2.19). Согласно (2.18), имеем

P 4 X 7 F 7 F 4 1	1	4 3 2	1	1		8	. Согласно (2.19), имеем
	9			9	9

7	6	2		7
Р 4 X 7	f x dx		x 3 dx	0 dx
Р 4 X 7	f x dx	9	x 3 dx	0 dx
4	4	9		6

2		x 2	3x	6


9	2			4

2	18	18	8	12	2	4	8	.
9					9		9

В силу задания функции f x интеграл по отрезку 4, 7 был разбит на два интеграла; при вычислении интеграла по отрезку 4, 6 была применена формула Ньютона – Лейбница. Естественно, что по любой из формул (2.18), (2.19) получен один и тот же результат.

при

Ответы:

f x

x 3

при 3

6, ;

2) P 4

; 3) графики функ-

при

ций F x и

f x

изображены на рисунках 10 и 11.

Пример 19. Пусть задана функция

при

F x

cos x

при 0

при

Будет ли эта функция функцией распределения какой-нибудь случайной величины? Решение. Функция распределения (ф.р.) случайной величины X определяется

формулой FX x P X x . Из определения ф.р. как вероятности вытекают свойства: 1) определена всюду; 2) не убывает; 3) 0 FX x 1; 4) непрерывна слева. Нетрудно проверить, что все свойства, кроме свойства 2), выполнены. Однако

функция cos x убывает на промежутке 0, 2 . Поэтому данная функция F x не явля-

ется функцией распределения никакой случайной величины.

Ответ: не будет функцией распределения никакой случайной величины.

Пример 20. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей

	0	при	x	0,
f x	cos x	при 0	x				,
					2
	0	при	x			.
				2

Найти функцию распределения F x и вероятность события		X	. Построить
Найти функцию распределения F x и вероятность события	4	X	. Построить
	4
графики функций f x и F x .

Решение. Так как задана плотность, то вероятность указанного события можно

найти по формуле (2.19). Учитывая вид					f	x , по этому равенству получим

					2
P		X		f x dx		cos x dx 0 dx
P	4	X		f x dx		cos x dx 0 dx

			4		4	2

sin x 2

sin		sin		1		2	0,3.

	2		4		2

График плотности f x изображён на рисунке 12. y

0		x

2
Рисунок 12 – График плотности f x	примера 20

Функция распределения F x связана с плотностью распределения вероятностей f x равенством

	x
F x	f t dt .	(2.20)

Отметим, что в связи с этим равенством функцию F x называют ещё интегральной функцией.

На основании (2.20) с учётом задания f x получим, что

		0
		0		dt			при	x	0,
	0			x
F x	0	dt		cost dt			при 0	x				,
F x	0	dt		cost dt			при 0	x		2		,
				0
0					x
0		2			x
0	dt		cost dt			0 dt	при	x			.
0	dt	0	cost dt			0 dt	при	x	2		.
		0
					2

Эти записи легче понять, обратив внимание на график функции f x (рисунок 12). Вычислив интегралы, окончательно получим

	0	при	x	0,
F x	sin x	при 0	x				,
					2
	1	при	x			.
				2

График этой функции изображён на рисунке 13. y

0		x
	2

Рисунок 13 – График интегральной функции примера 20

Из графика F x видно, что выполняются все свойства функции распределения:

0	F x	1,
x2 x1	F x2 F x1 ,
lim F x	0,	lim F x 1.
x		x

Так как теперь известна функция распределения, то вероятность требуемого события можно найти и по формуле (2.18). Применяя её, получаем

P		X	F	F		1		sin			1		2		.
P		X	F	F		1		sin			1				.
	4				4		4					2
			0	при		x	0,
Ответы:	1) F x		sin x	при	0 x					, ;	2)	P				X	1	2	; 3) графики
							2

												4						2
			1	при		x			.
			1	при		x		2	.
функций f x		и F x	изображены на рисунках 12 и 13.
Пример 21. Может ли функция
							0				при			x		0,
				f	x		sin x				при		0 x				,
							0				при			x .

быть плотностью распределения некоторой случайной величины?

Решение. Главным свойством любой плотности распределения является неотрица-

тельность всюду. Данная функция отрицательная в интервале		, , поэтому не мо-
	2

жет являться плотностью распределения ни для какой случайной величины. Ответ: f x не является плотностью.

Пример 22. Плотность распределения случайной величины X имеет вид

	0	при	x	1,
f x	C x 2 x	при 1	x	4,
	0	при	x	4.

Найти 1) константу С ; 2) функцию распределения F x ; 3) вероятность попадания в интервал 3, 6 .

Решение. 1. Найдём константу С из условия, что f x dx 1. При интегрирова-

нии разобьём числовую прямую на три части, в каждой из которых плотность определена однозначно:

f x dx	1 0 dx		4 C x 2			x dx		0 dx C	x3		x 2	4
												4

									3	2
			1				4		3	2		1
	C	64	8	1	1	C	57	1.				1
		64		1	1		57
		3		3	2		2
		3		3	2		2

Поэтому С 572 .

2.Для нахождения функции распределения достаточно найти её выражение для

x1, 4 :

F x	x	f t dt		1 0 dt				x 2	t 2	t dt		2 t 3				t 2	x
																	x


								1 57			57			3	2		1
								1 57			57			3	2
	2 x3			x2	1		1		2 x3		x2		5	.
	2 x3			x2	1		1		2 x3		x2		5

	57		3	2		3	2		57	3	2		6
	57		3	2		3	2		57	3	2		6

Таким образом, функция распределения имеет вид:

								0					при		x	1,
		F x		2			x3		x2		5		при	1 x		4,
		F x	57			3		2			6		при	1 x		4,
			57			3		2			6
								1					при		x	4.
3. Вероятность попадания в интервал найдём по формуле (2.18):
P X	3, 6 F 6	F 3		1		2		27		9		5	1	0,444			0,556 .

						57		3		2		6
						57		3		2		6
																	0			при	x	1,
Ответы:	1)	С	2		;			2)					F x		2	x3		x2	5	при	1 x	4,
Ответы:	1)	С	57		;			2)					F x	57		3	2		6	при	1 x	4,
			57											57		3	2		6
																	1			при	x	4.
3) P X 3, 6	0,556 .

Пример 23. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и стандарт случайной величины примера 18.

Решение. Математическое ожидание непрерывной случайной величины вычисляется по формуле

								M X				x	f x dx .										(2.21)
Учитывая задание плотности					f	x , получим
							6		2						2			x3		3x		2		6
																								6
			M X							x x	3 dx													5 .
			M X				3	9		x x	3 dx		9			3					2			5 .
							3	9					9			3					2			3
																								3
Для	вычисления	дисперсии							D X			применим										равенство (2.8), где
M X 2	x2 f x dx . Тогда
			6	2		2						2		2			x 4				3		6
																							6
		D X			x		x		3 dx		5								x				25 0,5 .
		D X	3	9	x		x		3 dx		5		9			4			x				25 0,5 .
			3	9									9			4							3
Согласно (2.7) имеем																							3

		X	0,5			0,7.
Ответы: 1) M X		5 ; 2) D X				0,5 ; 3)					X		0,7.
Пример 24. Случайная величина X задана функцией распределения
							0				при					x 0,
		F x			0,5 1				cos x		при		0					x			,
							1				при					x .

Найти плотность, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Решение. Плотность распределения непрерывной случайной величины связана с

функцией распределения соотношением f			x	F x	, поэтому
	0	при		x 0,
f x	0,5sin x	при	0	x	,
	0	при		x .

Найдём математическое ожидание, используя формулу (2.21):

	0
M X	x 0 dx	x 0,5sin x dx	x 0 dx	0,5 x sin x dx .
		0	0	0

Воспользуемся методом интегрирования по частям, то есть применим формулу

b		b
u dv u v	ba	v du , где u x, dv sin x dx, du dx, v	cosx .


a		a

В результате получим

M X	0,5 x sin x dx	0,5 x cosx	0	0,5 cosx dx		0,5sin x	0		.
					2			2
	0			0

Для нахождения дисперсии, как и в примере 23, воспользуемся равенством (2.8) и интегрированием по частям:

					2
D X	0,5	x 2 sin x dx				u	0,5x 2 , dv			sin x dx, du xdx, v				cosx
D X	0,5	x 2 sin x dx				u	0,5x 2 , dv			sin x dx, du xdx, v				cosx
	0		2
			2

							2		2					2
	0,5	x 2 cos x		x cos x dx						x sin x	0		sin x dx
	0,5	x 2 cos x		x cos x dx			4		4	x sin x			sin x dx	4
			0
			0									0
			0									0
		2
	cos x dx			2.
	cos x dx			2.
	0	4
	0
			0		при			x	0,					2
														2
Ответы: 1)		f x	0,5sin x		при		0 x		,	2) M X			; 3) D X		2 .
Ответы: 1)		f x	0,5sin x		при		0 x		,	2) M X		2	; 3) D X	4	2 .
			0		при			x	.

Пример 25. Непрерывная случайная величина имеет своей плотностью распределения вероятностей функцию

	0	при	x	2,
f x	1	при	2	x 6,

	4
	4
	0	при	x	6.
Найти числовые характеристики M X , D X ,			X .
Решение. Так как задана функция f x		, то для вычисления указанных характери-

стик можно действовать по аналогии решения примера 23, то есть применить форму-

лы (2.21), (2.8) и (2.7).

Однако проще поступить так. Очевидно, что данная случайная величина имеет так называемый равномерный закон распределения. В случае такого закона функция f x имеет вид:

		0		при	x	a,
f x		1		при	a	x b,	(2.22)


	b		a
		0		при	x	b.
Очевидно, что в данном случае a			2, b 6 .

В случае равномерного закона распределения математическое ожидание и дис-

персия случайной величины выражаются через параметры a, b															закона следующим
образом:
		M X	a		b	,	D X		b			a 2	.						(2.23)
		M X	2			,	D X	12					.						(2.23)
			2					12
В силу последних равенств получим							M X			2		6		4, D X		6 2 2		4	. Тогда
В силу последних равенств получим							M X					2		4, D X	12		3		. Тогда
												2			12		3
X	2	.
		.
	3
	3
Ответы: 1) M X 4 ; 2) D X				4	; 3)		X	2			.
			3
								3
								3
							60

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20222.72 Mб35660.pdf
#
13.11.20222.72 Mб25661.pdf
#
13.11.20222.72 Mб15662.pdf
#
13.11.20222.81 Mб25663.pdf
#
13.11.20222.82 Mб65664.pdf
#
13.11.20222.86 Mб115665.pdf
#
13.11.20222.89 Mб15666.pdf
#
13.11.20222.92 Mб25667.pdf
#
13.11.20222.96 Mб55668.pdf
#
13.11.20222.96 Mб25669.pdf
#
13.11.20223.01 Mб15670.pdf