5665
.pdfЗадание 24. Если генеральная совокупность имеет нормальное распределение, то вероятность того, что выборочное среднее будет меньше генеральной средней, равна …
Варианты ответов: 1) 0; 2) 1; 3) 0,5; 4) 0,3.
Решение. |
|
Пусть |
X ~ N a, |
2 , |
тогда |
известно, что |
xв a |
~ N 0, 1 . Поэто- |
||
|
|
|||||||||
му P xв a |
P |
|
xв a |
0 0,5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задание 25. Неизвестная случайная величина X имеет функцию распределения |
||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
при |
x |
0, |
|
|
|
|
|
|
F x |
x |
при 0 |
x |
1, |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
при |
x |
1. |
|
|
Тогда оценка параметра , полученная методом моментов, равна …
Варианты ответов: 1) |
xв ; 2) |
|
|
xв |
; 3) |
xв |
; 4) |
1 |
xв |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
xв |
1 xв |
|
1 |
xв |
Решение. Для того чтобы найти математическое ожидание случайной величины,
вычислим плотность распределения f x |
|
F |
x |
: |
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
при |
|
x |
0, |
|
|||
|
f |
x |
x |
1 |
при |
0 |
|
x |
1, |
|
||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
0 |
|
при |
|
x |
1. |
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
x |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда M X |
xf x dx |
x |
x 1dx |
|
|
|
|
|
|
. Из равенства теоретического |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
0 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
момента (математического ожидания) и выборочного момента (выборочного средне-
го) получим оценку параметра |
: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
xв |
xв |
xв |
|
ˆ |
|
xв |
. |
|
|
|
|
xв |
|||||
1 |
|
|
|
1 |
|
||||
Задание 26. Неизвестная случайная величина X имеет функцию распределения: |
|||||||||
|
|
F x |
0 |
при |
x |
0, |
|
|
|
|
|
1 e x2 |
при |
x |
0. |
|
|
|
Тогда оценка параметра , полученная методом максимального правдоподобия, имеет вид …
Варианты ответов: 1) |
xв ; 2) |
1 |
|
; 3) |
|
|
|
1 |
|
|
; 4) |
1 |
|
n |
2 |
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|||||||
|
xв |
1 |
n |
2 |
|
n i |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Найдём плотность распределения случайной величины X : |
||||||||||||||||||||||||
f x |
F |
x |
|
|
|
0 |
|
|
при |
|
x |
|
0, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
xe |
x2 |
|
при |
|
x |
|
0. |
|
|
|
|
||||||||||
Составим функцию правдоподобия L |
f |
x1 |
f |
x2 |
|
... f xn |
: |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
x2 |
L 2 x e |
x12 2 |
|
x |
e |
x22 |
... 2 |
x |
e |
xn2 |
|
|
2n |
n |
|
x |
i |
e i 1 i . |
|||||||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оценку параметра найдем из условия максимума логарифма функции правдо-
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
подобия l ln L n ln 2 n ln |
|
x |
i |
x 2 |
. Тогда |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
dl |
n |
n |
|
|
ˆ |
|
1 |
|
|
||
|
|
2 |
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
d |
|
|
xi |
0 |
1 |
n |
|
||||
|
|
i 1 |
|
|
x 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n i 1 |
i |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 27. Ежедневная заработная плата в отрасли является случайной величиной, распределённой по нормальному закону со средним 13,2 дол. и среднеквадратическим отклонением 2,5 дол. В каком интервале должна быть средняя заработная плата рабочих в компании, имеющей 25 рабочих, чтобы при уровне значимости 0,05 компанию не обвинили в заниженной или завышенной заработной плате?
Варианты ответов: 1) 12,22; 14,18 ; 2) 11,2; 15,2 ; 3) 12, 14,; 4) 11,22; 15,18 .
Решение. Пусть X – ежедневная заработная плата рабочего. Справедливо утверждение, что средняя заработная плата в компании также имеет нормальное распреде-
ление: |
xв ~ N 13,2; 2,5 / 5 . Тогда |
xв |
13,2 |
|
~ N 0; 1 |
, и для уровня значимости 0,05 имеем |
|||||||||||||||
|
|
0,5 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
xв |
13,2 |
|
1,96 |
13,2 0,98 |
|
xв |
13,2 0,98 |
|
|
xв 12,22; 14,18 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Задание 28. Пусть случайная величина принимает значения -1, 0, 1 с вероятностя- |
||||||||||||||||||||
ми |
1 |
|
, |
1 |
, |
1 |
|
соответственно. Тогда точечная оценка величины , полученная ме- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
3 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
тодом наименьших квадратов, равна … |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Варианты ответов: 1) xв ; 2) |
|
1 |
xв |
; 3) |
|
2 |
xв ; 4) |
|
3 |
xв . |
||||||||||
|
2 |
3 |
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Так как параметр один, то рассмотрим уравнение, связывающее первые начальные моменты случайной величины X – теоретический и выборочный. Выборочным моментом будет выборочное среднее xв , а теоретическим – математическое
ожидание:
M X |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
2 |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
3 |
3 |
|
|
|
3 |
3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Получаем уравнение |
2 |
x |
|
, откуда ˆ |
|
|
3 |
x |
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
в |
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задание 29. Дана выборка пары случайных величин |
X ,Y : |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1, 2 , |
|
0,3 , 1,5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда линейное уравнение регрессии, коэффициенты которого вычислены мето-
дом наименьших квадратов, имеет вид … |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варианты ответов: 1) yx 1 x ; 2) yx |
10 |
|
3 |
x ; 3) yx |
1 |
|
3 |
x ; 4) yx |
3 x . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
|
2 |
|
3 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. Линейное уравнение регрессии |
|
имеет |
вид: |
y a bx . |
Идея метода |
наименьших квадратов состоит в минимизации суммы квадратов отклонений теоре-
тических значений y xi |
от фактических yi : |
|
|
3 |
2 min . |
L |
a bxi yi |
|
|
i 1 |
|
|
|
22 |
Это в данном случае равносильно равенству нулю частных производных функции L :
L |
3 |
|
|
|
3 |
3 |
|
2 a bxi |
yi |
0, |
3 a |
xi b |
yi , |
||
|
|||||||
|
a |
|
i 1 |
|
|
|
|
или |
|
|
i 1 |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
L |
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
3 |
|
|
2 |
a bx y |
|
x |
|
0. |
|
x |
|
a |
x2 |
x |
y |
. |
|
|
i |
i |
|
i |
||||||||||
|
|
|||||||||||||
b |
|
i |
|
|
|
|
|
i |
i |
i |
|
|||
|
i 1 |
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
i 1 |
i 1 |
|
|
Решая систему линейных уравнений методом Крамера, получим:
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
yi |
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
i |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
xi2 |
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
xi yi |
|
|
|
|
|
yi |
|
xi2 |
|
|
xi |
|
|
|
|
xi yi |
|
|
|
|||||||||
a |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
i 1 |
i 1 |
i 1 |
|
|
|
|
|
i 1 |
|
, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x 2 |
|
|
|
x |
i |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
i |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x |
i |
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
yi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
xi yi |
|
3 |
|
xi yi |
xi |
|
|
|
|
|
yi |
|
|
|
|||||||||
b |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
i |
1 |
|
|
i 1 |
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x 2 |
|
|
x |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
1 |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x |
i |
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|||||
Из условия задачи получаем: |
|
|
|
xi |
0, |
yi |
10, |
|
|
xi2 |
2, |
xi yi 3 . Далее, под- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
1 |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
1 |
|
|
i 1 |
|
|
ставляя это в формулы для коэффициентов, имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
10 2 0 |
|
10 |
, b |
|
3 3 0 |
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
0 |
|
|
|
3 |
|
|
3 2 |
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задание 30. Дана выборка пары случайных величин |
|
X ,Y : |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 2 , 0,3 , |
1,5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда оценка ковариации случайных величин X и Y равна … |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Варианты ответов: 1) 1; 2) 0; 3) -1; 4) 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Решение. Ковариация cov X ,Y |
|
случайных величин X |
|
и Y |
определяется равен- |
||||||||||||||||||||||||||||
ством cov X ,Y M X |
|
|
M X |
Y |
M Y |
M X Y |
|
|
|
M X |
M Y . |
|
Заменяя математические ожидания их оценками (выборочными средними), полу-
чим выражение для оценки ковариации: cov X ,Y |
|
x |
y |
|
xв yв . Так как |
||||||||||
|
|
|
1 2 0 3 1 5 |
|
1 0 1 |
|
2 |
|
3 |
5 |
10 |
|
|
|
|
|
x y |
1, xв |
0, yв |
|
, то cov X ,Y 1 0 1. |
||||||||||
|
|
3 |
3 |
|
|
3 |
|
|
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Модуль 1. Случайные события
Пример 1. Бросается игральная кость. Найти вероятности следующих событий:
1)А – выпадет пять очков;
2)В – выпадет нечётное число очков;
3)С – выпадет чётное число очков.
Решение. Обратимся к классическому определению вероятности P события,
согласно которому |
|
|
|
|
P |
m |
, |
(1.1) |
|
n |
||||
|
|
|
где n – общее число элементарных исходов эксперимента, а m – число исходов, благоприятных рассматриваемому событию. В данном эксперименте (брошена игральная кость) n 6 (на кости 6 граней). Исходы, что кость упадёт на какое-нибудь ребро или какую-нибудь вершину, отбрасываются как невозможные. Итак, множеством элементарных исходов опыта является конечное множество 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Цифра означает возможное число выпавших очков. Все благоприятные исходы какого-нибудь события А будут подмножествами выписанного множества.
В случае события А благоприятным ему исходом является исход 5 , |
то есть m |
1. |
||||||||||||||||||
Следовательно, P A |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Множеством благоприятных исходов событию В будет множество 1, 3, 5, |
, а собы- |
|||||||||||||||||||
тию |
С |
– множество |
2, 4, 6 . |
В |
каждой |
ситуации m 3 . Тогда |
P B |
|
3 |
|
1 |
, |
||||||||
6 |
|
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
P C |
|
3 |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответы: 1) P A |
1 |
; 2) P B |
1 |
|
; 3) P C |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
6 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Бросаются две игральные кости. Найти вероятности того, что сумма выпавших очков:
1)равна десяти,
2)не менее десяти,
3)делится без остатка на три.
Решение. В этом эксперименте (бросаются две игральные кости) элементарными исходами являются возможные пары граней (пары цифр, которые означают число выпавших очков на соответствующих гранях). Из основной теоремы комбинаторики получаем, что n 6 6 36 . Благоприятные исходы к рассматриваемым событиям данного примера будут среди этих 36 элементов. При подсчёте элементарных исходов легко допустить ошибку. Например, студенты говорят, что множеством благоприятных исходов событию А (сумма очков равна 10) будет множество
4,6; 5,5 , что не верно.
Чтобы не допустить ошибку, выпишем все элементарные исходы в виде таблицы (первая цифра которой означает число выпавших очков на первой кости, а вторая – на другой):
24
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
1,6 |
2,1 |
2,2 |
2,3 |
2,4 |
2,5 |
2,6 |
3,1 |
3,2 |
3,3 |
3,4 |
3,5 |
3,6 |
4,1 |
4,2 |
4,3 |
4,4 |
4,5 |
4,6 |
5,1 |
5,2 |
5,3 |
5,4 |
5,5 |
5,6 |
6,1 |
6.2 |
6,3 |
6,4 |
6,5 |
6,6 |
Из этой таблицы видно, что множеством благоприятных исходов первому рассматриваемому событию будет множество 4,6; 5,5; 6,4 , то есть m A 3 , и тогда по
формуле (1.1) имеем P A |
3 |
|
1 |
. |
|
36 |
12 |
||||
|
|
Множество 4,6; 5,5; 6,4; 5,6; 6,5; 6,6 является множеством благоприятствующих исходов событию В: сумма выпавших очков будет не менее 10, то есть равна 10 или
больше 10. Тогда m B |
6 и по (1.1) P B |
6 |
|
1 |
. |
|
36 |
6 |
|||||
|
|
|
||||
Исходы множества |
1,2; 1,5; 2,1; 2,4; 3,3; 3,6; 4,2; 4,5; 5,1; 5,4; 6,3; 6,6 и только они будут |
благоприятны событию С: сумма выпавших очков делится на 3 без остатка. Тогда
m С 12 и P C |
12 |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
36 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответы: 1) |
P A |
1 |
; 2) |
P B |
1 |
; 3) |
P C |
1 |
. |
|||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
12 |
|
|
6 |
|
|
3 |
Пример 3. Акционерное собрание выбирает из 30 человек президента компании, председателя совета директоров и 5 членов совета директоров. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Найдём число способов выбора, используя основную теорему комбинаторики, согласно которой число различных наборов пар объектов будет ровно m n , где m – число объектов типа А, а n – число объектов типа В. Выбрать президента и председателя совета директоров можно 3029 87 способами, так как выбор происходит без повторений и с учётом порядка. Из оставшихся 28 человек можно выбрать
5 в совет директоров |
C 5 |
28! |
|
28 |
27 |
26 |
25 |
24 |
98280 |
способами, так как выбор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
28 |
5! 23! |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
происходит без повторений и учёта порядка. Поэтому искомое число способов выбора, согласно основной теореме, комбинаторики будет 87 98280 8550360.
Ответ: 8550360 способов.
Пример 4. В очереди стоят 4 женщины и три мужчины. Найти вероятность того, что все женщины стоят рядом.
Решение. В эксперименте (размещение 7 человек в очереди) имеется ровно 7! различных равновозможных исходов, так как производится выборка 7 человек из 7 возможных без повторений и с учётом порядка. Применим классическую схему определения вероятности (с n 7!). Для подсчёта числа благоприятствующих исходов событию А (все женщины находятся рядом) выясним, что возможны всего 4 схемы расположения в очереди: (ж, ж, ж, ж, м, м, м), (м, ж, ж, ж, ж, м, м), (м, м, ж, ж, ж, ж, м), (м, м, м, ж, ж, ж, ж). В каждой такой схеме при учёте порядка мы можем переставлять между собой женщин 4! способами и мужчин – 3! способами. Число благоприятству-
25
ющих исходов, согласно основной теореме комбинаторики, будет равно 4 4!3!. Тогда,
применяя формулу (1.1), получим P A |
4 4! 3! |
4 |
. |
|||
|
|
|
||||
|
|
|
7! |
|
35 |
|
Ответ: P |
4 |
. |
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Пример 5. 4 клиента обращаются в 3 фирмы равновероятно. Найти вероятность, что во все фирмы будут обращения.
Решение. Так как любой из четырёх клиентов может обратиться в любую из трёх фирм, то можно применить для определения вероятности события А (во все фирмы будут обращения) классическую схему (1.1). В данном случае, так как выбор фирм
для обращения клиентами будет производиться с повторениями, то n |
34 81. Чтобы |
|||
подсчитать |
благоприятствующие для А исходы отметим, что |
имеется ровно |
||
A3 |
4! |
24 |
способов размещения обращений четырёх клиентов в три фирмы и 3 схе- |
|
|
||||
|
||||
4 |
1! |
|
|
|
|
|
|
|
мы обращения клиентов в фирмы: (2, 1, 1), (1, 2, 1) и (1, 1, 2). Так как неважно, в ка-
ком порядке обратятся 2 клиента в одну фирму, то |
m |
3 |
24 |
36 |
. Поэтому (по форму- |
||||||
|
|
||||||||||
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ле (1.1)) имеем: P A |
36 |
|
4 |
. |
|
|
|
|
|
||
81 |
9 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: P A |
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 6. Из 10 студентов группы, изучающих французский язык, 6 имеют оценку «отлично». Для проверки знаний отобрали четырёх студентов этой группы. Найти вероятность того, что в выборке окажется три студента, имеющих оценку «отлично» по французскому языку.
Решение. Для решения задачи составим схему:
N |
10 |
s |
6 |
|
N |
s |
4 |
|
|
k |
4 |
|
r |
3 |
|
k |
r |
1 |
|
В этой схеме применены следующие обозначения: |
N – число элементов всей со- |
||||||||
вокупности; s |
– |
число элементов данного качества (свойства), имеющихся во всей |
|||||||
совокупности; |
k |
– число элементов случайной выборки без возвращения в совокуп- |
ность; r – число элементов данного качества, попавших в выборку объёма k . Согласно условию задачи, в таблице расставлены соответствующие значения N, s, k, r , а также значения чисел N s и k r .
Пусть событие А – это r элементов, попавших в выборку объёма k , имеют данное качество. Тогда из классического определения вероятности события вытекает формула
|
|
|
r |
k |
r |
|
|
|
P A |
|
Cs |
CN |
s |
, |
(1.2) |
|
|
|
CNk |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
где символом CMl |
обозначается число сочетаний из |
M элементов по l |
элементов. В |
||||
формуле (1.2) n |
C Nk есть общее число элементарных исходов, а m |
Csr CN s k r – |
|||||
|
|
26 |
|
|
|
|
число исходов, благоприятных событию А (для его вычисления применена основная теорема комбинаторики).
В данном примере событие А состоит в том, что три студента выборки имеют оценку «отлично» по французскому языку. Тогда по (1.2)
|
|
|
|
|
|
|
|
C 3 |
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P A |
6 |
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
C 4 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
Так как C 4 |
|
10 9 8 7 |
210 , C 3 |
6 5 4 |
20 , C 1 |
4 , то P A |
80 |
|
8 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
10 |
|
1 2 |
3 4 |
6 |
1 2 3 |
|
|
4 |
|
|
210 |
21 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: P |
8 |
|
0,38 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 7. |
В датчике случайных чисел содержатся все числа из отрезка 0, 100 . |
||||||||||||||
Найти вероятность того, что наугад извлечённое число будет из отрезка |
10, 50 . |
Решение. Применим геометрическое определение вероятности события. Пусть всем возможным результатам эксперимента соответствуют точки области , а данному собы-
тию А – точки области D, которая является частью области |
D |
. Тогда |
||
P A |
mesD |
, |
|
(1.3) |
mes |
|
|||
|
|
|
|
где mesG – мера множества G (соответственно в одномерном, двумерном, трёхмерном пространствах – это длина, площадь, объём этой области).
В данном примере событие А состоит в том, что выбранное случайно число при-
надлежит отрезку 10, 50 ; |
область |
– это отрезок 0, 100 , а область D – отрезок |
|||||
10, 50 . Так как mes 100 |
0 100, |
mesD 50 |
10 40 (мерами являются длины со- |
||||
ответствующих отрезков), то, согласно (1.3), имеем P A |
40 |
0,4 . |
|||||
|
|
||||||
100 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
Ответ: 0,4. |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 8. Имеются два круга радиусов r |
10 и r |
5 с общим центром. В боль- |
шой круг наугад бросается точка. Найти вероятности следующих событий:
1)А – точка попадёт в круг меньшего радиуса;
2)В – точка попадёт в кольцо между окружностями этих радиусов.
Решение. В данном случае необходимо использовать геометрическую схему опре-
деления вероятности, то есть формулу (1.3). В качестве области |
имеем круг боль- |
||
шего радиуса. Тогда mes |
Sr 10 |
10 2 100 (мерой круга является его площадь |
Sr 2 ).
Вслучае события А областью D является круг меньшего радиуса. Тогда
mesD Sr 5 |
52 25 . Применив формулу (1.3), получим P A |
|
25 |
|
0,25 . |
||||
100 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В случае события В областью D будет кольцо. Тогда |
|
|
|
|
|||||
|
mesD Sr 10 |
Sr 5 100 25 75 . |
|
|
|
|
|||
По формуле (1.3) получим P B |
75 |
|
0,75 . |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
100 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Обратим внимание, что событие В противоположно событию А. Тогда |
|
||||||||
|
|
P B |
1 P A , |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
так как сумма вероятностей противоположных событий равна единице. Так как число
P A было уже найдено, то P B |
1 0,25 0,75 . Для вероятности события В получен |
тот же ответ. |
|
Ответы: 1) P A 0,25 ; 2) P B |
0,75 . |
Пример 9. Два теплохода должны подойти к одному причалу. Время прихода обоих теплоходов независимо и равновозможно в течение восьми часов с 8.00 до 16.00. Найти вероятность того, что ни одному из теплоходов не придётся ожидать освобождения причала, если время стоянки первого теплохода – 1 час, а второго – 2 часа.
Решение. Обозначим через x – время прихода первого теплохода, а через y – время прихода второго теплохода. Для того чтобы теплоходы не ожидали освобождения причала, необходимо либо x y 2 , либо y x 1.
Используем геометрическую схему определения вероятности события А (формулу (1.3)). Изобразим x и y как координаты на плоскости, в качестве единицы масштаба выберем 1 час. Всевозможные исходы представляются точками квадрата со стороной 8, а благоприятствующие событию А располагаются в заштрихованной области (рисунок 4).
y |
8 |
1 |
0 |
2 |
8 |
x |
Рисунок 4 – Рисунок примера 9 |
|
Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры (два равнобедренных прямоугольных треугольника с катетами, равными 6 и 7 соответственно) к площади квадрата:
|
|
1 |
6 |
2 |
1 |
7 |
2 |
|
|
|
|
|
|
P A |
|
2 |
|
2 |
|
|
36 |
49 |
|
85 |
. |
||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
82 |
|
|
128 |
|
128 |
Ответ: P A 12885 .
Пример 10. Первый стрелок поражает мишень в 80 % случаев, а второй – в 60 %. Стрелки сделали по одному выстрелу в мишень. Найти вероятности событий:
1)B0 – оба стрелка промахнутся;
2)B1 – попадёт только один какой-нибудь стрелок;
3)B2 – попадут оба;
4)B – попадёт в мишень хотя бы один из них.
Решение. Решение подобных задач связано с применением понятий алгебры событий, теорем сложения и умножения вероятностей. При этом необходимо знать такие понятия, как зависимые, независимые, совместные и несовместные события.
28
Введём вспомогательные события: 1) A1 – первый стрелок попадёт в мишень, 2) A2 – второй стрелок попадёт в мишень. По условию имеем: P A1 0,8; P A2 0,6 (на основе обследования стрелков применено статистическое определение вероятно-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
сти случайного события). Введём также противоположные события: A1 |
– первый |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
стрелок не попадёт (промахнётся), A2 |
– |
|
второй промахнётся. Тогда |
P A1 0,2 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
P A2 0,4 (сумма вероятностей противоположных событий равна единице). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Очевидно событийное равенство B0 |
A1 |
A2 . Тогда, |
ввиду независимости событий, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 0,4 0,08 . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
P B0 |
P A1 A2 |
|
P A1 |
P A2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Событие B1 |
можно представить как B1 |
A1 A2 |
A1 A2 . При этом очевидно, что собы- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
тия A1 A2 и A1 A2 не совместны. Применив теорему сложения несовместных событий и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
учитывая независимость событий, стоящих в произведениях, получим |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 0,6 0,44 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P B1 |
P A1 |
P A2 |
P A1 |
P A2 |
0,8 0,4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Так как B2 |
A1 |
A2 , то по теореме умножения вероятностей независимых событий |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
получим, что P B2 |
0,8 0,6 0,48 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Обратим внимание на то, что события B0 , B1 , |
B2 образуют полную группу событий. |
Известно, что сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна еди-
нице. Очевидно, что для B0 , B1 , B2 |
|
это свойство выполняется: |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
P B0 |
P B1 |
|
P B2 |
0,08 |
0,44 |
|
0,48 |
1. |
|
|
|
|||||||||
Вероятность четвёртого события B можно найти различными способами, исполь- |
||||||||||||||||||||||
зуя алгебру событий. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Во-первых, из определения суммы событий вытекает равенство B |
A1 |
A2 . Так |
||||||||||||||||||||
как A1 и A2 совместны, |
то можно применить теорему сложения вероятностей сов- |
|||||||||||||||||||||
местных событий, то есть равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
P A1 |
A2 |
P A1 |
P A2 |
P A1 A2 . |
|
|
|
||||||||||||
Тогда P B |
0,8 0,6 |
0,8 |
0,6 |
0,92 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Во-вторых, очевидно равенство |
B |
B1 |
B2 , и по аксиоме сложения вероятностей |
|||||||||||||||||||
несовместных событий B1 , B2 |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
P B |
P B1 |
P B2 |
0,44 |
0,48 0,92 . |
|
|
|
|||||||||||||
В-третьих, ясно, что B противоположно B0 . Тогда P B |
1 P B0 |
1 |
0,08 |
0,92 . |
||||||||||||||||||
Все три способа вероятности события B привели к одному и тому же результату. |
||||||||||||||||||||||
Ответы: 1) P B0 |
0,08 ; 2) P B1 |
0,44 ; 3) |
P B2 |
0,48 ; 4) P B |
0,92 . |
|
|
|||||||||||||||
Пример 11. Пусть при испытаниях могут иметь место события |
A и B , при этом |
|||||||||||||||||||||
известно, что P A |
0,7 ; |
P B |
0,5 ; |
|
P AB |
0,3 . Найти условные вероятности события |
||||||||||||||||
B при условиях, что событие A произошло или не произошло. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
Решение. |
Так как P A |
P B |
|
|
|
0,7 |
0,5 |
1,2 |
1, |
|
то события A |
и B |
совместны. |
|||||||||
Справедливы равенства |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
P A , откуда найдём услов- |
||||||||
P B |
P AB |
P AB |
|
P A |
1 |
|||||||||||||||||
ные вероятности события B по формулам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
P |
B |
|
P AB |
|
|
0,3 |
|
3 |
, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
P A |
|
0,7 |
7 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
B |
P AB |
|
P B |
P AB |
0,5 |
0,3 |
0,2 |
|
2 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
A |
P A |
1 |
P A |
1 |
0,7 |
0,3 |
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
Ответы: 1) PA B 73 ; 2) PA B 23 .
Пример 12. Студент выучил 40 вопросов из 50, имеющихся в списке экзаменационных вопросов. В каждый билет преподаватель внёс случайно два вопроса из списка. Найти вероятность того, что студент знает оба вопроса своего билета.
Решение. Пусть A – студент знает первый вопрос своего билета, а B – знает второй вопрос. Тогда AB означает, что он знает оба вопроса. Так как A и B – зависимые события, то по теореме умножения имеем
|
|
P AB P A P B |
40 |
39 |
|
156 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
A |
50 |
49 |
245 |
|||
|
|
|
||||||
Ответ: |
156 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
245 |
|
|
|
|
|
|
Пример 13. В урне имеются 10 шаров, из которых 6 белые, а остальные – чёрные. Из неё подряд извлекают 3 шара, не возвращая их обратно. Найти вероятность собы-
тия A – все три шара являются чёрными. |
|
|
||||||||
Решение. |
Для |
нахождения |
вероятности P A можно |
применить |
классическое |
|||||
определение |
вероятности и |
формулу (1.2). Так как |
N 10 , s |
4 , k 3, то |
||||||
P A |
C43 C60 |
|
4 1 |
1 |
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
C 3 |
120 |
30 |
|
|
|
|||||
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Другой способ состоит в применении теоремы умножения вероятностей зависимых событий, то есть формулы
P A1 A2 A3 |
P A1 |
PA |
A2 |
PA A A3 . |
(1.4) |
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
Для этого введём обозначения событий: |
A1 |
– первый взятый шар является чёрным, |
||||
A2 – второй взятый шар чёрный, A3 |
– третий взятый шар чёрный. Так как шары не |
возвращаются, то эти события зависимы, и при этом, согласно определению произве-
дения |
|
событий, |
справедливо равенство A A1 A2 A3 . Тогда из (1.4) имеем, что |
|||||||||
P A |
|
4 |
|
3 |
|
2 |
|
1 |
. |
|
||
10 |
9 |
8 |
|
30 |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: P A |
|
1 |
. |
|||||||||
30 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 14. Найти надёжность системы, состоящей из двух последовательно соединённых элементов, работающих независимо друг от друга, при указанной на ри-
сунке 5 надёжности каждого элемента Ai i |
1, 2 этой системы. |
|||||||
|
|
A1 |
|
|
A2 |
|
|
|
|
0,9 |
|
|
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 5 – Схема соединения системы
Решение. Надёжностью элемента (системы) называют вероятность безотказной работы в течение определённого времени этого элемента (системы).
30