- •Министерство образования и науки Российской федерации
- •Кафедра математики и математических методов в экономике
- •ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
- •Хабаровск 2014
- •1.1. Постановка задачи о приближении функций
- •1.2. Метод множителей Лагранжа
- •Идея метода – искать полином не в виде (1.2), а как
- •Схема построения полиномов Лагранжа
- •Шаг 2. Пусть x – переменная. Составим произведение
- •Шаг 3. Раскрывая внешние скобки, можно получить многочлен степени n
- •Пример. По таблице
- •Шаг 1. Находим коэффициенты
- •Шаг 3. Раскрыв скобки, получим
- •1.3. Метод разделённых разностей и полиномы Ньютона
- •Часть 1. Разностные аналоги производных
- •Часть 2. Рекурсивное вычисление функции
- •Пример. Известна таблица значений функции
- •Ответ: значения полинома Ньютона равны 18 в точке 2 и 2,2401 в точке 0,7.
- •Аналогично
- •Продифференцировав каждое слагаемое три раза, получим
- •1.5. Метод наименьших квадратов
- •Поиск линейной зависимости
- •Подставив суммы в систему (1.11), получим
- •Подставив найденные суммы в систему (1.12), получим
- •Пример 4. По приведённым данным
- •Отсюда очевидным образом имеем, что
- •Схема метода касательных
- •Вычисление корней при помощи метода простых итераций
- •Составим систему
- •Соответствующая линейная система имеет вид
- •Таблица 2.3 – Решение примера 2
- •Общая схема метода
- •Остаётся сравнить значения
- •Общая схема метода золотого сечения
- •Пусть функция f(x) задана таблицей
- •Проинтегрировав, получаем, что
- •Последовательно находим
- •Интегрируя каждое слагаемое, получим, что
- •Тогда интеграл сводится к
- •Проинтегрировав каждое слагаемое, получим
- •По теореме об интегрировании сходящихся степенных рядов
- •Если интеграл определённый, то
- •Найдём значения
- •По формуле трапеций получим
- •По формуле Симпсона будет
- •По формуле парабол
- •Поскольку значения на концах не зависят от числа точек и
- •Ответ:
- •Шаг 4. Ответ:
- •Тогда
- •Ответ:
- •Ответ:
- •Формула метода 3-го порядка точности:
- •Ответ:
- •Формула метода 4-го порядка точности
- •Все дальнейшие вычисления аналогичны и приведены в таблице.
- •Таблица (начало)
- •Таблица (окончание)
- •Ответ:
- •Пример 1. Решим систему
- •Ответ:
- •Последнее преобразуется к виду
- •Задачу (5.10) – (5.11) будем записывать в виде операторного уравнения
- •Из ограниченности третьей производной следует, что
- •Таким образом, точность близости будет О(h).
- •В силу граничных условий имеет место и неравенство
- •Если yh есть решение уравнения (5.12), то из (5.27) имеем оценку
- •Замечание о делении отрезка на части
- •Решение уравнений делением отрезка
- •Метод секущих (хорд)
- •При реализации в EXCEL достаточно заполнить строчку
- •Метод касательных
- •Реализация метода мало отличается от метода секущих, заполняем строку
- •Таблица 6.1 – Решение уравнения
- •Подбор полиномов, проходящих через точки
- •Таблица 6.2 – Поиск полинома при помощи обратной матрицы
- •Полиномы Лагранжа
- •Таблица 6.3 – Построение полинома Лагранжа
- •Таблица 6.4 – Построение полинома Ньютона
- •Метод Эйлера решения задачи Коши
- •Таблица 6.5 – Решение уравнения методом Эйлера
- •Приближённое интегрирование
- •Таблица 6.6 – Вычисление интеграла методом трапеций и методом Симпсона
- •ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
- •Часть 1. Задания для работы без пакетов прикладных программ
- •Задание 1. Решение уравнений
- •Задание 2. Метод простых итераций
- •Задание 3. Метод простых итераций в приближённых вычислениях
- •Задание 4. Полиномы Лагранжа и Ньютона
- •Задание 5. Метод наименьших квадратов
- •Задание 6. Приближённое интегрирование
- •Задание 7. Задача Коши
- •Часть 2. Задания для работы в пакете EXCEL
- •Задание 1. Приближение функций полиномами
- •Задание 2. Задача Коши
- •Задание 3. Системы дифференциальных уравнений
- •Задание 4. Задача Коши 2-го порядка
- •Задание 5. Приближённое интегрирование
- •Задание 7. Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений
- •Задание 9. Применение рядов в приближённом интегрировании
- •Оглавление
Таблица 6.2 – Поиск полинома при помощи обратной матрицы
x0 |
x1 |
x2 |
x3 |
|
Обратная матрица |
|
Ответ |
|||
1 |
-1 |
1 |
-1 |
|
0,25 |
1,5 |
–1 |
0,25 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
–0,458 |
0,25 |
0,333 |
–0,125 |
|
–3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
4 |
8 |
|
0,25 |
–1 |
1 |
–0,25 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
9 |
27 |
|
–0,042 |
0,25 |
–0,33 |
0,125 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полиномы Лагранжа
В таблице 6.3 показано, как построить полином Лагранжа, проходящий через
точки 1; 1 , 2; |
0 , |
3; |
5 , 4; 7 . Точки указаны в 1-й и 2-й строках. |
||||||||||
|
|
Таблица 6.3 – Построение полинома Лагранжа |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х |
1 |
|
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
–1 |
|
0 |
5 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
x1 |
x2 |
x3 |
Пk |
Х–Хk |
Yk |
Дробь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
1 |
|
|
1 |
–1 |
–2 |
–3 |
–6 |
–1 |
–1 |
–0,167 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
2 |
|
|
1 |
1 |
–1 |
–2 |
2 |
–2 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
3 |
|
|
2 |
1 |
1 |
–1 |
–2 |
–3 |
5 |
0,8333 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
4 |
|
|
3 |
2 |
1 |
1 |
6 |
–4 |
7 |
–0,292 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х |
0 |
|
|
|
|
|
|
ПХ |
24 |
Сумма |
0,375 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y(X) |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аргументы x0 , x3 |
занесены 2 раза – строкой и столбцом. Курсивом отмече- |
ны их разности: от левого аргумента отнимаем верхний. По диагонали поменяли
0 на 1.
В столбце Пk найдены произведения. Так, 6 1 1 2 3 , и т.д. Число Х – то, в котором надо найти значение полинома Лагранжа.
Встолбце Х–Хk найдены соответствующие разности.
Встолбце Yk занесены значения функции из условия задачи.
y
В столбце Дробь найдены значения k , в ячейке Сумма стоит сумма
k x xk
этих дробей. В ячейке ПХ стоит произведение элементов столбца Пk.
101
Наконец, Y(X) – произведение ПХ и Суммы. Это и есть значение полинома Лагранжа в интересующей нас точке Х.
Меняя число Х, будем мгновенно получать значения полинома Лагранжа в соответствующей точке. Проверить правильность решения можно так:
а) если в качестве аргумента Х брать данные задачи, т.е. числа xk , появится сообщение о делении на 0;
б) если в качестве аргумента Х брать числа, очень близкие к xk , в ячейке
Y(X) появятся числа, похожие на соответствующие значения функции yk .
Полиномы Ньютона
В таблице 6.4 построен полином Ньютона по 5 точкам
Таблица 6.4 – Построение полинома Ньютона
|
k |
X |
|
Y |
|
k |
|
|
2k |
|
|
|
3k |
|
|
4k |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
–2 |
|
37 |
–29 |
|
13 |
|
|
–4 |
|
1 |
|
|
x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
–1 |
|
8 |
|
–3 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
5 |
|
–1 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
4 |
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x0 |
x1 |
|
|
x2 |
|
|
|
x3 |
|
|
x4 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
–2 |
–1 |
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
5 |
|
–8 |
|
|
7 |
|
|
|
–3 |
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
В столбце k – номера точек и разностей, в X и Y – соответственно xk |
и yk . |
|||||||||||||||||||||
Число –29 в столбце |
|
|
– это |
|
8 37 |
|
, т.е. |
|
|
|
y1 |
y0 |
. Вместо чисел ука- |
|||||||||
k |
1 2 |
0 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
x0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зывались ссылки на соответствующие ячейки, при этом столбец X зафиксирован. Числа –3, –1 и 14 получены копированием формулы вниз.
Числа 13, –4 и 1 после 29 получены копированием той же формулы вправо, однако ссылка на число –1 из столбца X последовательно заменялась ссылками на числа 0, 1 и 3.
4 |
|
1 4 |
4 |
|
3 3 |
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|||
Таким образом, число 1 в столбце k |
– это |
|
|
|
, т.е 0 |
|
|
|
. |
|
3 |
2 |
x4 |
x0 |
|||||||
|
|
|
|
|
102
Число x справа – то, в котором надо найти значение полинома. Строку чисел от –2 до 3 можно получить транспонированием X.
Особый интерес представляет последняя строка, заполняемая справа налево. Число 1 в ней получено ссылкой на 40 1 , число –3 получено так:
а) нашли разность x xn 1 , где xn 1 – ссылка на число в строке, а не столбце;
б) умножили на число справа;
в) прибавили число, стоящее сверху в строке k 0 .
Таким образом, 3 x 1 *1 4 , где в данный момент x 2 .
Числа 7, –8 и 5 получены копированием формулы влево. В результате получили, что полином Ньютона в точке x 2 равен 5.
Меняя точку x, будем получать новые значения полинома.
Метод Эйлера решения задачи Коши
Удобно отвести 1-й столбец под xk – узловые точки отрезка, а 2-й столбец под yk – значения искомой функции. Под значения правой части уравнения, т.е.
под f xk , yk , отводим 3-й столбец. Столбец с точками xk можно заполнить по приведённой ранее схеме.
В 1-й строке заносим x0 и y0 из начального условия y x0 y0 , в 3-м столбце считаем f x0 , y0 со ссылками на эти ячейки.
Во 2-й строке под y0 заносим формулу вычисления yk 1 yk hf xk , yk , т.е.
y0 hf x0 , y0 со ссылками на 1-ю строку. Скопировав формулы 2-го и 3-го столбца мышью, получаем во 2-м столбце значения функции в узловых точках.
В таблице 6.5 решено таким способом уравнение y x y при условии y 1 1 на отрезке 1; 2 . Для сравнения рядом решено то же уравнение на том
же отрезке при условии |
y 1 0 , а справа – |
уравнение при условии y 0 2 на |
||||||||||||
отрезке 0; |
1 . Точность решения во всех случаях невысока. |
|
|
|
||||||||||
|
|
Таблица 6.5 – Решение уравнения методом Эйлера |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
–1 |
0 |
|
|
1 |
0 |
|
1 |
|
0 |
2 |
1,414 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
–1 |
0,447 |
|
|
1,2 |
0,2 |
|
1,183 |
|
0,2 |
2,283 |
1,576 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,4 |
–0,91 |
0,7 |
|
|
1,4 |
0,437 |
|
1,355 |
|
0,4 |
2,598 |
1,731 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,6 |
–0,77 |
0,911 |
|
|
1,6 |
0,708 |
|
1,519 |
|
0,6 |
2,944 |
1,883 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
103 |
|
|
|
|
|
|
|
1,8 |
–0,59 |
1,101 |
|
1,8 |
1,012 |
1,677 |
|
0,8 |
3,321 |
2,03 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
–0,37 |
1,277 |
|
2 |
1,347 |
1,829 |
|
1 |
3,727 |
2,174 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если же решать задачу Методом Рунге-Кутта, заполняем 2 таблицы методом Эйлера, на их основе составляем 3-ю таблицу. в 3-ю таблицу копируем 1-й и 2-й столбцы из таблицы для 10 точек (узловые точки и значения функции в них), а из таблицы, полученной по 20 точкам, берём значения y0 , y2 , y4 , , y20 . В 4-м столбце пересчитываем значения функции.
Методы «счёт – пересчёт» 2-го порядка реализуются в EXCEL достаточно просто. Для методов 3-го и особенно 4-го порядка основная трудность – следить за аргументами при вычислении очередного коэффициента k.
Приближённое интегрирование
Чтобы найти интеграл от функции |
f x |
по отрезку a; b , разделим отрезок |
на необходимое число частей по приведённой ранее схеме. |
||
Справа найдём значения функции |
f x |
в узловых точках. Очевидно, доста- |
точно найти f x0 и скопировать формулу до конца, т.е. до значения f b .
Дальнейшее зависит от того, по какой формуле мы собираемся найти интеграл. Если это формула трапеций, ищем сумму f xk , вычитаем из неё вели-
чину 0,5 f a f b и результат умножаем на шаг h.
Если это формула Симпсона, удобно ещё правее в 3-м столбце занести числа 1,4,2,4,2, 4,2,4,1 (1-е число равно 1, затем чередуются 4 и 2, начиная с 4, а напротив точки b пишем 1). Находим произведения элементов 2-го и 3-го столбца, т.е. величины 1 f a , 4 f x1 , 2 f x2 и т.д., суммируем и умножаем на шаг h, делённый на 3. Получаем значение интеграла.
1 |
dx |
|
|
|||
В таблице 6.6 найден интеграл |
, равный |
arctg1 0,25 0,785 . Для |
||||
|
|
|
||||
x2 |
1 |
|||||
0 |
|
|
|
|
|
краткости оставлены 3 знака после запятой. Отрезок разбит на 4 части.
Таблица 6.6 – Вычисление интеграла методом трапеций и методом Симпсона
a = 0 |
b = 1 |
n = 4 |
h = 0,25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,25 |
0,941 |
|
|
0,25 |
0,941 |
4 |
3,765 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
104 |
|
|
|