Пример. Покажем, как при помощи разложения в степенной ряд можно найти интеграл e x2 dx в общем виде и по отрезку.

справедливым при любом х, подставим вместо переменной x величину ( x 2 ) и получим, что также при любом x

с погрешностью менее 6,2 10 8 .

Существенный недостаток такого способа – необходимость брать всё большее число слагаемых при расширении отрезка. Так, при попытке вычислить интеграл по отрезку 0;3 по аналогии с предыдущим интегралом получим

3

e x2 dx 3 0 0,333 33 0,1 35 0,023 8 37 14,829

0

с ошибкой менее 0,004 7 39 30,375 . Такой результат неприемлем. Учёт ещё одного слагаемого даёт результат 45,203 6 с ошибкой менее 7,114 8.

Этот интеграл следует вычислять по квадратурным формулам, а не при помощи рядов МакЛорена.

57

3.4.Интегрирование при помощи квадратурных формул

Вотличие от приведённых ранее способов, при помощи квадратурных формул можно вычислять только определённые интегралы, однако этот недостаток компенсируется простотой применения и программирования, возможностью оценить точность, а также весьма слабыми ограничениями на интегрируемую функцию и на отрезок интегрирования.

Основная идея метода – разделить отрезок интегрирования на малые участки,

вграницах которых функцию можно заменить более простой – постоянной, линейной, параболой и т.п. В зависимости от выбора такой простой функции и получаются различные формулы приближённого интегрирования. В пособии приведены лишь основные из них.

новные формулы приближённого вычисления интеграла.

1. Формула прямоугольников

S h f0,5 f1,5 f2,5 fn 0,5 ,

и т.д. Формула получается, если на каждом участке отрезка считать значение функции постоянным и равным значению в средней точке участка.

2. Формула трапеций

S 0,5 f0 fn f1 f2 f3 fn 1 ,

где f0 , f1 , , fn –значения функции f(x) в точках x0 , x1 , , xn соответственно.

Формула получится, если на каждом участке брать среднее арифметическое для значений функции на концах участка. С геометрической точки зрения график

58

Для метода трапеций рост погрешности в 2 раза компенсируется меньшим числом действий по сравнению с методом прямоугольников.

Вывод формул основан на разложении в ряд Тейлора. Из формул следует, что все методы абсолютно точны для линейных функций, а метод Симпсона – ещё и для полиномов 2-й и 3-й степени.

Все методы довольно точны для медленно меняющихся функций, а уменьшение шага узловой сетки в 2 раза повышает точность (уменьшает ошибку) примерно в 4 раза, если применять формулы трапеций или прямоугольников, и в 16 раз – если считать интеграл по формуле Симпсона.

2

Пример 1. Найдём интеграл 2x 1 dx по каждой из трёх формул, разделив

1

отрезок на 10 частей, и сравним с точным значением, получаемым по формуле Ньютона-Лейбница:

1. Формула прямоугольников

Находим середины отрезков

тогда S 0,1 1,1 1,3 1,5 1,7 2,9 0,1 20 2 .

2. Формула трапеций

Найдём значения

f0 2 1 1 1; f1 2 1,1 1 1,2; ; f9 2 1,9 1 2,8; f10 2 2 1 3 ;

тогда S 0,1 0,5 1 3 1,2 1,4 2,8 0,1 0,5 4 18 0,1 20 2 .

3. Формула Симпсона

Используя те же значения f0 , f1 , , f10 , что получены выше, находим

S 03,1 1 3 4 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 2 1,4 1,8 2,2 2,6 301 4 4 10 2 8 2 .

60