5437
.pdfIII. ПРОИЗВОДНАЯ И ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
§ 6. Основы дифференцирования функций
Производная от функции f x – это предел lim |
f x x |
f x |
, или, что то |
||||||||
x |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
же самое, lim |
f x1 |
f |
x |
. Производная показывает, во сколько раз (вблизи точ- |
|||||||
x1 |
x |
|
|||||||||
x1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ки x) функция меняется быстрее, чем аргумент. |
|
|
|
|
|||||||
Значение производной в точке x |
x0 – это число, обозначаемое |
f x0 . Про- |
|||||||||
изводная в общем виде – это новая функция, обозначаемая как |
f x |
. Возможны |
|||||||||
также обозначения |
df |
или |
dy |
, если y |
f x . |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
dx |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
Замечание 1. Значение производной зависит от единиц измерения аргумента и функции. Например, если цену измерять в рублях, скорость изменения спроса будет в 100 раз выше, чем при измерении цены в копейках. Этим производная отличается от таких понятий, как эластичность, темп прироста, относитель-
ный прирост, и некоторых других, применяемых в экономических приложениях.
|
Производные от основных элементарных функций |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1) |
xn |
nxn 1 ; |
|
|
|
2) |
a x |
a x ln a ; |
3) |
log x |
1 |
|
; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
x ln a |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4) |
sin x |
|
cos x ; |
|
|
|
5) |
cos x |
|
sin x ; |
6) |
arcsin x |
|
|
|
|
1 |
|
|
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x2 |
|||||
7) |
arctg x |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Во 2-й и 3-й формулах a |
0 и a |
|
1. Полезно запомнить частные случаи: |
|||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
|
|
x3 |
3x2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2x, |
|
, |
|
x |
|
, |
3 x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 x |
|
33 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ex |
ex , |
|
ln x |
1 |
(поскольку ln e 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производные других функций получают на основе правил дифференцирования.
Основные правила дифференцирования (в сокращённой записи):
1) |
f |
g |
f |
g ; |
2) |
kf |
k f |
для любого k |
; ; |
|||
3) |
f |
g |
f g |
f g ; |
4) |
|
f |
|
f g |
f g |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
g 2 |
|
53
Производная сложной функции. Если даны функции y |
f |
x |
и z |
g y , то |
||||||||||||||||||||||||||
производная |
сложной |
функции |
z x , определённой |
|
как |
|
z |
|
g |
f |
x , |
обладает |
||||||||||||||||||
свойством z |
|
x g |
y |
f |
x и находится обычно по этой формуле. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
На основе этого правила получается |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
Обобщённая таблица основных производных |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1) |
un |
nun 1u ; |
|
|
|
2) |
au |
au ln a |
u ; |
3) |
log |
u |
|
|
1 |
|
u ; |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
u ln a |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4) |
sinu |
|
cosu u ; |
|
5) |
cosu |
|
|
sin u u ; |
6) |
arcsinu |
|
|
|
|
1 |
|
u ; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
u2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7) |
arctg u |
1 |
|
u , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
u2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а также частные случаи, аналогичные приведённым выше. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Как следствия из основных свойств получаются производные |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
tg u |
|
1 |
|
u , |
ctgu |
1 |
|
|
u ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos2 u |
sin2 u |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
arc cos x |
|
1 |
|
u , |
arcctg u |
|
|
1 |
|
|
u . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правила дифференцирования отражают объективные свойства функций и помогают найти производную наиболее простым образом. Любая попытка «ис-
править правило» (например, решить, что fg |
f g |
) приведёт к противоречию. |
|||||||
ОД1. |
Даны функция f x , точка x0 |
и приращение аргумента x . Найдите |
|||||||
f x0 |
и |
f |
x0 |
x |
– значения функции в точках x0 |
и x0 x , приращение функ- |
|||
ции |
f |
f |
x0 |
x |
f x0 и отношение |
f |
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
Замечание 2. При решении примеров с чётными номерами (2, 4, 6, 8 и 10) воспользуйтесь результатами примеров 1, 3, 5, 7, 9 соответственно.
1) f x x 2 ;
а) |
x0 |
2, |
x |
0,1 ; |
б) |
x0 |
2, |
x |
0,2 ; |
в) |
x0 |
1, |
x |
0,1 ; |
г) |
x0 |
1, |
x |
0,1; |
д) |
x0 |
3, |
x |
0,05; |
е) |
x0 |
3, |
x |
0,05 ; |
2) f xx12 ;
а) |
x0 |
2, |
x |
0,1 ; |
б) |
x0 |
2, |
x |
0,2 ; |
в) |
x0 |
1, |
x |
0,1 ; |
г) |
x0 |
1, |
x |
0,1; |
д) |
x0 |
3, |
x |
0,05; |
е) |
x0 |
3, |
x |
0,05 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
54 |
|
|
|
|
|
|
3) |
f |
x |
|
x3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
а) |
x0 |
1, |
|
|
|
x |
|
0,1 ; |
|
б) |
x0 |
1, |
x |
|
0,1; |
в) |
x0 |
2, |
x |
0,1 ; |
|||||
|
г) |
x0 |
2, |
|
|
x |
|
0,2 ; |
|
д) |
x0 |
1, |
|
x |
0,05 ; |
е) |
x0 |
1, |
x |
|
0,05 ; |
|||||
4) |
f |
x |
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
а) |
x0 |
1, |
|
|
|
x |
|
0,1 ; |
|
б) |
x0 |
1, |
x |
|
0,1; |
в) |
x0 |
2, |
x |
0,1 ; |
|||||
|
г) |
x0 |
2, |
|
|
x |
|
0,2 ; |
|
д) |
x0 |
1, |
|
x |
0,05 ; |
е) |
x0 |
1, |
x |
|
0,05 ; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
f |
x |
|
|
|
x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
а) |
x0 |
4, |
|
|
x |
|
0,1 ; |
|
б) |
x0 |
4, |
x |
|
0,2 ; |
в) |
x0 |
1, |
x |
0,1 ; |
||||||
|
г) |
x0 |
1, |
|
|
|
x |
|
0,1; |
|
д) |
x0 |
9, |
x |
0,2 ; |
е) |
x0 |
9, |
x |
0,2 ; |
||||||
6) |
f |
x |
1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
а) |
x0 |
4, |
|
|
x |
|
0,1 ; |
|
б) |
x0 |
4, |
x |
|
0,2 ; |
в) |
x0 |
1, |
x |
0,1 ; |
||||||
|
г) |
x0 |
1, |
|
|
|
x |
|
0,1; |
|
д) |
x0 |
9, |
x |
0,2 ; |
е) |
x0 |
9, |
x |
0,2 ; |
||||||
7) |
f |
x |
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
а) |
x0 |
1, |
|
|
|
x |
|
0,2 ; |
|
б) |
x0 |
1, |
x |
|
0,2 ; |
в) |
x0 |
0,5, |
x |
|
0,1; |
||||
|
г) |
x0 |
0,5, |
x |
0,1; |
|
д) |
x0 |
1, |
|
x |
0,1; |
е) |
x0 |
1, |
x |
|
0,1 ; |
||||||||
8) |
f |
x |
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
а) |
x0 |
1, |
|
|
|
x |
|
0,2 ; |
|
б) |
x0 |
1, |
x |
|
0,2 ; |
в) |
x0 |
0,5, |
x |
|
0,1; |
||||
|
г) |
x0 |
0,5, |
x |
0,1; |
|
д) |
x0 |
1, |
|
x |
0,1; |
е) |
x0 |
1, |
x |
|
0,1 ; |
||||||||
9) |
f |
x |
2 |
|
|
|
|
|
cos x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
а) x0 |
|
0, x |
|
6 ; |
|
б) x0 |
0, x |
|
6 ; |
в) x0 |
4 , x |
6 ; |
|||||||||||||
|
г) x0 |
|
|
|
|
|
|
|
4 , x |
6 ; |
д) x0 |
2 , x |
4 ; |
е) x0 |
3 4 , x |
4 ; |
||||||||||
10) |
f |
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
а) x0 |
|
0, x |
|
6 ; |
|
б) x0 |
0, x |
|
6 ; |
в) x0 |
4 , x |
6 ; |
|||||||||||||
|
г) x0 |
|
|
|
|
|
|
|
4 , x |
6 ; |
д) x0 |
2 , x |
4 ; |
е) x0 |
3 4 , x |
4 . |
||||||||||
|
Замечание 3. В примерах 9 и 10 число 2 добавлено во избежание деления |
|||||||||||||||||||||||||
на 0 в примере 10. На величину |
f |
в примере 9 оно не влияет. |
|
|
|
55
Пример 1а. Пусть |
f x |
x 2 , x0 |
4, |
x |
0,3 , тогда |
|
|
||||||||||||||||||||
а) |
f |
x |
0 |
|
f |
4 |
|
|
|
42 |
|
16 ; |
|
|
б) |
x |
0 |
x |
4 |
0,3 |
3,7 ; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) |
f |
x |
|
x |
f 3,7 |
3,72 |
13,69 ; |
|
г) |
|
f |
f |
3,7 |
f |
4 |
13,69 16 2,31; |
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
|
f |
|
2,31 |
|
|
7,7 (значение точное). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
|
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пусть теперь |
f x |
|
|
1 |
|
, но по-прежнему x0 |
|
4, |
x |
|
0,3 , тогда |
||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) |
f |
4 |
|
1 |
|
|
|
1 |
0,062 5; |
|
б) |
x0 |
|
x |
4 |
|
0,3 |
3,7 ; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
42 |
16 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в) |
f |
3,7 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
0,0730; |
г) |
f |
|
0,0730 |
0,0625 |
0,0105; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3,72 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
13,69 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
д) |
|
f |
|
0,0105 |
0,035 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
|
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(обратите внимание на применение знаков точного и приближённого равенства).
Пример 1б. Пусть |
|
f x |
1 |
, x0 2, |
x |
|
0,2 , тогда |
|
|
||||||||||||
x |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
f |
x0 |
f 2 |
1 |
|
0,5 ; |
|
|
б) |
x0 |
x |
2 |
0,2 |
2,2 ; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) |
f |
2,2 |
|
1 |
|
0,4545 ; |
|
|
г) |
f |
f |
2,2 |
f 2 |
0,4545 0,5 0,0455 ; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2,2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
д) |
|
f |
0,0455 |
|
|
|
0,2275 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть теперь f x |
1 |
|
при тех же x0 |
2 и |
x |
0,2 : |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
f |
2 |
|
0,5 2 |
|
0,25; |
|
|
б) |
x0 |
x 2 0,2 2,2 ; |
||||||||||
в) |
f |
2,2 |
|
0,4545 2 |
0,2066 ; |
г) |
f |
0,2066 |
0,25 |
0,0434 ; |
|||||||||||
д) |
|
f |
0,0434 |
|
|
|
|
0,217. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОД2. Найдите производные от суммы, разности, произведения и частного
функций |
f |
x и |
g x , |
а также |
производные |
от их |
линейных |
комбинаций |
|||||
z1 |
x |
3 f |
x |
5g x |
и z2 |
x |
0,5 f x |
2g x : |
|
|
|
|
|
1) |
f |
x |
x 2 , при этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
а) |
g x |
|
x3 ; |
б) |
g x |
x 4 ; |
в) |
g x |
cos x ; |
г) |
g x |
sin x ; |
|
д) |
g x |
|
ln x ; |
е) |
g x |
ex ; |
ж) |
g x |
2 x ; |
з) |
g x |
arcsin x ; |
56
2) |
f |
x cos x , при этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
а) |
g x |
10 ; |
|
б) |
g x |
x3 ; |
в) |
g x |
ex ; |
г) |
g x |
sin x ; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
g x |
|
ln x ; |
е) |
g x |
ж) |
g x |
|
|
x ; |
з) |
g x |
arctg x ; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
f |
x |
x , при этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
а) |
g x |
10 ; |
б) |
g x |
в) |
g x |
3 x ; |
г) |
g x |
cos x ; |
||||||||
|
д) |
g x |
|
log3 x ; |
е) |
g x |
tg x ; |
ж) |
g x |
ctg x ; |
з) |
g x |
1 x . |
Пример 2. Пусть f |
x |
x 2 и даны функции |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
а) g x |
|
x5 ; |
|
|
|
|
|
б) |
g x |
cos x ; |
|
в) |
g x ln x . |
|
|
|||||||||||
Найдём f |
x |
|
|
x 2 |
2x – эта производная понадобится во всех трёх случаях; |
|||||||||||||||||||||||||
а) для пары |
|
f x |
|
x 2 |
и |
g x |
x5 |
дополнительно находим |
g x |
x5 |
5x4 , |
|||||||||||||||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
x5 |
|
2x 5x4 ; |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
x5 |
|
2x 5x4 ; |
|
|
|
|
|||||||||||
x2 x5 |
2x x5 |
x2 5x4 |
|
|
2x6 |
|
5x6 |
7x6 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x2 |
|
|
2x x5 |
x2 5x4 |
|
|
2x6 |
5x6 |
3 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x5 |
|
|
|
|
x5 2 |
|
|
|
|
|
|
x10 |
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3x2 |
|
5x5 |
|
3 2x 5 5x4 |
|
|
6x 25x4 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
0,5x2 |
2x5 |
0,5 |
2x |
2 |
5x4 |
x |
10x4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Обратите внимание, |
что |
x2 |
x5 |
|
|
x7 |
|
|
7x6 |
|
и |
x2 |
|
|
x 3 |
3x 4 |
(по таблице |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x5 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
производных). Полученные выше результаты совпадают с табличными; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
б) для пары |
f x |
x 2 и g x |
|
|
cos x находим g |
x cos x |
sin x , тогда |
|
||||||||||||||||||||||
x2 |
cos x |
|
2x |
sin x ; |
|
|
|
|
|
|
x2 |
cos x |
2x |
|
sin x |
2x |
sin x ; |
|
||||||||||||
x2 |
cos x |
|
2x |
cos x |
x2 |
sin x |
2x cos x |
x2 sin x ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
2x cos x x2 |
|
sin x |
|
2x cos x |
|
|
x2 sin x |
; |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
cos x |
|
|
|
|
|
cos x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3x2 |
|
5 cos x |
3 |
2x |
5 |
|
|
sin x |
|
6x |
5sin x ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
0,5x2 |
2 cos x |
0,5 |
2x |
|
2 |
sin x |
x |
2 sin x ; |
|
|
|
|
|
57
в) для пары f |
x |
x 2 |
и g x |
|
ln x |
находим g x |
|
|
|
ln x |
1 |
, тогда |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
ln x |
2x |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
ln x |
2x |
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||
x |
2 |
|
ln x |
2x ln x x |
2 |
|
1 |
|
|
2x ln x x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x ln x |
x |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2x ln x |
|
x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ln x |
ln x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3x2 |
|
5ln x |
3 2x 5 |
|
1 |
|
|
|
6x |
|
5 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0,5x2 2 ln x |
0,5 2x |
2 |
|
1 |
|
|
|
x |
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ОД3. Найдите производную функции f |
x , применив правило x p |
|
|
px p 1 : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
а) f x |
|
|
x ; |
|
б) f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) f x |
г) f x |
|
x ; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 x3 ; |
|
|
7 x6 . |
||||||||||
д) f x |
|
|
3 x ; |
|
е) f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж) f x |
з) f x |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Напомним, что n |
xm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x n : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
а) пусть f |
x |
x5 , тогда |
f x |
|
|
x5 |
|
5x5 1 |
5x4 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|||||||
б) пусть |
|
|
|
|
x7 , тогда |
|
|
|
|
x7 |
x7 / 2 |
|
7 |
|
|
|
|
1 |
|
7 |
x |
|||||
f |
x |
|
|
f |
x |
|
|
|
x 2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
||||||
в) пусть |
|
|
5 x9 , тогда |
|
|
5 x9 |
x9 / 5 |
9 |
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||
f |
x |
f |
x |
x 5 |
1,8x |
|||||||||||||||||||||
5 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
2 |
3,5x |
2,5 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 / 5 1,85 |
x4 . |
ОД3а. Для функций |
f x |
из задания ОД3 составьте функцию |
z x |
1 |
, |
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
f x |
|||||||||||||||||||
представьте z x |
как z x |
x p и найдите производную по правилу x p |
|
|
px p 1 . |
|
|||||||||||||||
Пример 3а. Пусть даны функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x4 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) f x 7 x8 ; |
|
8 x7 . |
|
|||||||||
а) f x |
|
|
б) f x |
6 x ; |
г) f x |
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учтём, что |
|
|
|
x n : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n |
xm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
58
а) если |
f |
x |
x4 , то z x |
1 |
|
|
|
|
|
x 4 |
, тогда z |
x |
|
x 4 |
4x 4 1 |
|
|
|
4x 5 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
7 |
|
|||||||||
б) если |
f |
x |
6 x , то z x |
|
|
|
|
|
|
x 6 , тогда z |
x |
|
|
x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
6 |
|
|
|
|
|
x |
6 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
8 |
|
|
1 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
в) если |
|
|
7 |
x8 |
, то z x |
|
|
|
|
|
|
и z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||
f |
x |
|
|
|
|
x 7 |
x |
|
x 7 |
7 |
|
|
|
|
|
7 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
7 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7 |
|
x8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
7 |
|
1 |
|
|
|
7 |
|
|
|
15 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
8 |
x7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
г) если |
f |
x |
, то z x |
|
|
|
|
x 8 |
и |
z |
x |
|
|
x 8 |
|
8 |
|
|
8 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
8 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8 |
|
x7 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ОД4. Найдите производную функции z x |
|
|
|
1 |
|
, зная производную f |
|
|
|
x для |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
f |
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции f |
x и применив правило дифференцирования |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
x |
|
: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
f 2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
а) |
f |
x |
|
e x ; |
|
|
|
б) |
f |
x |
5x ; |
|
|
|
|
в) |
f |
x |
ln x ; |
|
|
г) |
f |
x |
|
log |
x ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
д) |
f |
x |
|
sin x ; |
|
|
е) |
f |
x |
cos x ; |
|
|
|
|
ж) |
f |
x |
|
arcsin x ; |
|
|
з) |
f |
x |
|
arctg x . |
Таким же образом найдите производные для функций задания ОД3 и сравните с уже известными результатами.
Пример 4. Пусть даны функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
а) f x |
|
|
|
б) f |
x |
|
|
log x ; |
в) |
f x |
|
x ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) если |
f |
x |
5x , то f |
|
|
x |
|
5x ln 5 , при этом z x |
1 |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
5x ln 5 |
|
|
|
|
5x ln 5 |
|
|
ln 5 |
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
5x |
2 |
|
|
|
|
|
|
52 x |
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
б) если |
f |
x |
log5 x , то |
|
f |
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
, при этом |
z x |
|
|
|
|
|
1 |
|
и |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
log5 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ln 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
log5 x |
|
|
|
|
|
|
x ln 5 |
|
|
log5 x 2 |
x ln 5 |
|
|
log52 x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в) если |
f |
x |
|
x , то |
f |
|
x |
|
|
|
, при этом z x |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
59
Заметим, что |
|
1 |
|
|
1 |
x |
|
1 |
x |
ln |
1 |
|
1 |
|
|
ln 5 |
|
|
ln 5 |
, что совпадает с |
|||||||||
|
5x |
5 |
|
5 |
|
5 |
|
|
5x |
|
|
|
5x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
полученной выше производной. Также |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x 2 |
|
|
x 2 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x x |
|
Проще и надёжнее искать производные от степенной функции, а не от дроби.
ОД5. Найдите производную функции z x |
|
ln f |
x |
, если |
ln f x |
|
|
f |
x |
: |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
x |
|
а) |
f |
x |
sin x ; |
б) |
f |
x |
3x 1; |
в) |
f |
x |
x 2 |
1 ; |
г) |
f |
x |
ln x ; |
||
д) |
f |
x |
cos x ; |
е) |
f |
x |
5x ; |
ж) |
f |
x |
arcsin x ; |
з) |
f |
x |
arctg x . |
Пример 5. Воспользуемся указанным выше правилом:
а) пусть |
f |
x |
sin x , тогда ln sin x |
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
cos x |
ctg x ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
||||||||||||||||||
б) пусть |
f |
x |
|
x , тогда |
ln x |
|
|
|
x |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
x |
|
|
2 x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
в) пусть |
f |
x |
4 x , тогда |
ln 4x |
|
4x |
|
|
1 |
|
|
|
|
4x |
|
1 |
|
4x |
ln 4 |
ln 4 . |
|
|||||||||||||||||||||
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметьте, что по свойствам логарифма и по свойствам производной также будет
|
|
|
|
1 |
ln x |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
и ln 4x |
|
x ln 4 |
|
x ln 4 ln 4 . |
||||||||||
ln x |
ln x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
2 |
|
|
x |
2x |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ОД6. Найдите производную функции z x |
e f x |
|
по правилу |
|
e f x |
|
|
f x e f x : |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
а) |
f |
x |
sin x ; |
б) |
f |
x |
3x |
1; |
|
в) |
f |
x |
1 ; |
г) |
f |
x |
|
x ; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
д) |
f |
x |
cos x ; |
е) |
f |
x |
3 x ; |
|
|
|
ж) |
f |
x |
; |
з) |
f |
x |
tg x . |
|||||||||||||
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 6. По правилу дифференцирования показательной функции: а) пусть f x 6x3 5x 2 , тогда
e6 x3 5 x2 |
6x3 5x2 e6 x3 5 x2 |
18x2 10x e6 x3 5x2 ; |
60
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) пусть |
|
f |
x |
|
|
5 |
x |
|
, тогда e5 |
x |
|
|
|
|
|
|
5 x |
e5 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
x 5 |
e5 |
x |
|
|
x |
5 |
e5 |
|
x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) пусть f x |
|
|
sin x , тогда |
esin x |
|
|
|
sin x |
|
|
esin x |
|
|
|
cos x esin x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ОД7. Применяя свойство логарифма log x p |
|
|
|
p log x и правило |
pf |
x |
|
|
|
|
|
|
|
pf |
x , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
где p – любое число, продифференцируйте функцию z x |
ln f |
|
|
x |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
а) f x |
1 x ; |
|
|
|
|
б) f x |
|
|
|
|
|
|
|
в) f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) f x |
|
x ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 x3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 7 x6 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
д) f x |
3 x ; |
|
|
|
|
е) f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
ж) f x |
|
|
|
|
|
з) f x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пример 7. По правилу дифференцирования логарифма некоторой функции |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
а) если |
f |
x |
x4 , то z x |
ln x4 |
|
4 ln x , поэтому z x |
|
4 ln x |
|
|
|
4 |
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
б) если |
f |
x |
4 |
|
x , то z x |
|
|
ln 4 |
|
x |
|
|
ln |
x 4 |
|
|
|
|
ln x , и z |
x |
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
в) если |
|
|
|
|
|
|
|
, то z x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x , поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
f |
x |
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
x9 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
x9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
x |
|
|
|
|
9 |
|
ln x |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ОД8. Представив функции |
z x |
как квадраты, |
|
т.е. считая, |
что |
z x |
|
|
|
|
|
|
|
f |
x |
2 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
где |
f |
x |
– некоторая более простая функция, |
найдите производные функций |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z x |
по правилу дифференцирования |
f 2 x |
|
|
|
|
|
2 f |
|
|
|
x |
|
|
f |
x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) |
z x |
3x |
1 2 ; |
|
|
|
б) |
z x |
sin2 x ; |
|
|
|
в) |
z x |
|
|
|
3x3 |
1 2 ; |
|
|
г) |
z x |
|
|
cos2 x ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
д) |
z x |
ln2 x ; |
|
|
|
е) |
z x |
lg2 x ; |
|
|
|
|
|
|
|
ж) z x |
|
|
|
arcsin2 x ; |
|
|
з) |
z x |
arctg2 x . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пример 8. По правилу дифференцирования квадрата некоторой функции |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
а) если z x |
|
7x |
6 2 , то z |
x |
|
|
|
2 7x |
6 |
|
|
|
7x |
6 |
|
|
|
2 7x |
6 |
7 |
|
|
|
14 7x |
6 ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
б) если z x |
7x3 |
6 2 , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
z x |
2 7x3 |
6 7x3 |
6 |
|
|
|
|
|
2 7x3 |
|
6 21x2 |
|
42x2 7x3 |
6 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
в) если z x |
log2 x , то z |
x |
|
|
|
2 log x log |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 log x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 log6 x |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
x ln 6 |
|
|
x ln 6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
61
ОД9. |
Представив функции |
z x |
как |
z x |
|
f x p , где |
f |
x |
– более простая |
||||||||||||||
функция, |
а |
p – |
некоторый показатель степени (число), |
найдите производные |
|||||||||||||||||||
функций z x |
по правилу дифференцирования |
f p x |
pf p 1 |
x |
f |
x : |
|
|
|
||||||||||||||
а) |
z x |
|
5x |
1 10 ; |
б) |
z x |
2x3 |
1 4 ; |
в) |
z x |
sin4 x ; |
|
|
|
г) |
z x |
cos6 x ; |
||||||
д) |
z x |
ln5 x ; |
е) |
z x |
lg7 x ; |
|
ж) |
z x |
|
arcsin5 |
x ; |
|
з) |
z x |
arctg6 x ; |
||||||||
и) |
z x |
|
|
1 |
|
; |
к) |
z x |
1 |
; |
л) |
z x |
1 |
; |
|
|
|
м) |
z x |
1 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2x |
1 3 |
cos2 x |
|
sin3 x |
|
|
|
|
x3 1 4 |
Пример 9. Найдём производные функций, возведённых в степень:
|
а) пусть z x |
|
|
|
4x5 |
|
x 8 , тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z x |
8 4x5 |
x 7 4x5 |
x |
|
|
|
|
|
|
8 4x5 |
x 7 20x4 |
1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
б) пусть z x |
|
|
|
|
1 |
|
, или z x |
|
|
cos x |
|
|
4 , тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
z |
|
x |
4 cos x |
5 cos x |
|
4 |
|
|
|
1 |
|
sin x |
|
4 sin x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos5 x |
|
cos5 x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
в) если z x |
|
|
|
|
|
log6 |
x , или |
z x |
|
log |
x 6 |
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
x |
6 log x |
5 log |
x |
6 log5 x |
1 |
|
6 log |
7 x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
x ln 7 |
x ln 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ОД10. Задание то же, что в ОД9, но число p – дробное: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin5 x ; |
||||||||||
а) |
z x |
|
|
5x |
1 ; |
|
|
|
б) |
z x |
3x |
|
1 ; |
|
|
|
в) |
z x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
г) |
z x |
3 cos4 x ; |
|
|
д) |
z x |
7 |
ln2 x ; |
|
|
|
|
|
е) |
z x |
|
|
|
lg7 x ; |
|||||||||||||||||||||||||||||
ж) |
z x |
1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
з) |
z x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
и) |
z x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
3 |
arctg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
1 3 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
к) |
z x |
|
1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
л) |
z x |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
м) z x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
||||||||||||
|
|
3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 10. Продифференцируем функции,
а) пусть z x 63x3 2x , т.е. z x3x3
стоящие под знаком корня:
1
2x 6 , тогда
|
1 |
|
|
5 |
|
|
1 |
|
|
5 |
|
|
9x |
2 |
2 |
|
|
||
z x |
3x3 |
2x 6 |
3x3 |
2x |
3x3 |
2x 6 |
9x2 |
2 |
|
|
; |
||||||||
6 |
6 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6 6 3x3 |
2x 5 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62