Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5437

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

1.45 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Правило нельзя применять, если нет неопределённости

или

Пример 5. lim

2x 3 0

0 , при этом lim

2x 2 2 2 1

2x2

4x 4 4 4 2

x 1

ЛБ1. Найдите по правилу Лопиталя – Бернулли

1) а)

lim

sin 4x

;

б) lim

cos3x

;

в)

lim

;

г) lim

ln 1

;

sin 6x

cos x

e x

x 0

0 1

x 0

ln 1

2) а)

lim

sin 4x

;

б)

lim

cos4x

;

в)

lim

;

г)

lim

ln x

;

sin 6x

cos6x

lg x

x 1

3) а)

lim

;

б)

lim

;

в)

lim

;

г)

lim

;

x 1

x 2

4) а)

lim

;

б)

lim

;

в)

lim

;

г)

lim

;

x 1

x 64

x 1

5) а) lim

;

б) lim

;

в) lim

;

г) lim

x 1

x 8 3

x 9 3

5x 6 4

x 4

3 x 6

Неопределённость

можно раскрыть, заменив на

или

Пример 6. Найдём lim x ln x

. Учтём, что x ln x

ln x

, тогда

1/ x

lim

ln x

ln 0

lim

ln x

lim

1 / x

lim

1 x2

lim x

0 .

1 / x

1 / 0

1 / x2

x 1

x 0

1 / x

x 0

Неопределённость

приводят к

, а затем – к

или

Пример 7. Найдём lim

. Преобразуем:


	Но		1	4		1			1		4		, и	1				1			. Тогда отношение произ-

				x								x2
				x			2		1	4		x2				x			2x x
							2		1	x
										x

водных можно упростить до											1			4			:	1				1			8x x	4		.

															x2										x2
													4					2x x					4				x 4
										2	1		4					2x x		2		1	4				x 4
										2	1		x							2		1	x
													x										x
Значит,														4				4				4		0 .
			lim		x	4		x					lim	4				4				4


														x 4				4
			x										x	x 4				4
			x										x
	В данном примере можно было сразу после взятия производных учесть, что

1	4		1 при x					, и не записывать громоздкий корень, а заменять числом 1.

		x
		x

Однако так нельзя делать, если из корня такое же число 1 вычитается.

ЛБ2. Найдите по правилу Лопиталя – Бернулли


1) а)	lim x lg x ;		б) lim x log2 x ;
	x 0		x 0

2) а)	lim x	x 1 ;	б) lim 6x	2x 1 ;
	x		x

в)	lim sin x	ln x ;
	x 0

в)	lim 4 x		x 100 ;
	x

3) а) lim x2 2x x ;	б) lim x2 8x x ;	в) lim x2 8x x .
x	x	x

Применение правила можно совмещать с переходом к эквивалентным бесконечным малым величинам и с подстановкой чисел.

Пример 8. lim

cos4 2x

, дифференцируем числитель и знаменатель:

0 cos3 5x

lim

cos4 2x

lim

4 cos3 2x

2 sin 2x

lim

sin 2x

cos3 2x

3cos2 5x

cos2 5x

x 0

5sin 5x

15 x 0

sin 5x

cos 5x

Но cos3

1 , cos2

5 0

1 , а при x

sin2x

2x и sin5x 5x , тогда

lim

sin 2x

cos3 2x

lim

2x 1

lim

cos2 5x

15 x 0

sin5x

15 x 0

5x 1

15 x 0

ЛБ3. Найдите по правилу Лопиталя – Бернулли

cos2 2x

cos2 x

cos2 4x

1) а) lim

cos x

;

б)

lim

;

в)

lim

;

г) lim

;

cos3 6x

sin3 x

x 0

cos x

x 0

sin3 3x

1) а) lim

ln2 x

;

б)

lim

ln2 x

;

в)

lim

ln2

;

г) lim

ln 1 4x

lg3

ln 1 3x

x 0

x 1

§ 9. Исследование функций и построение графиков

Учиться строить графики по результатам исследования функций лучше всего на занятиях вместе с группой. Возможны разные способы построения графика по уже проведённому исследованию, например,

–постепенное уточнение: «монотонность – выпуклость – асимптоты»;

–уточнение: «поведение на краях – асимптоты – монотонность – выпуклость»;

–соединение отрезков, на которых ничего не меняется (выпуклое убывание, выпуклое возрастание и т.д. – метод, популярный в средней школе).

Общая схема исследования функции

1) Элементарное исследование:

а) найти область определения (обязательно), область значений; б) точки пересечения с осями координат; в) чётность и (или) периодичность;

2) монотонность и экстремум:

а) найти корни производной и разместить их на числовой оси; б) выяснить знак производной на каждом полученном интервале; в) определить интервалы возрастания, убывания; г) найти точки минимума и максимума;

3) выпуклость и перегиб:

а) найти 2-ю производную, найти её корни и расставить их на числовой оси; б) – г) по аналогии с 2) определить интервалы выпуклости «вниз», «вверх»,

точки перегиба;

4)асимптоты графика (для многочленов этот шаг не имеет смысла);

5)график функции строится по всем особенным точкам и линиям, полученным

на предыдущих шагах.

Замечание 1. Под точкой минимума или перегиба подразумевается как абсцисса (значение переменной), так и ордината (значение функции в этой переменной). Таким образом, речь идёт о точках графика, а не точках числовой оси. В литературе в этом отношении часто встречаются противоречия в текстах.

Исследование на выпуклость обычно связано с вычислительными трудностями. Далее показано, как при помощи небольшого рассуждения упростить построение графика, обходясь без 2-й производной.

Пример 1. Посмотрим, как можно построить график функции

1 .

Замечаем, что функция не пересекает ось OX (уравнение

0 не имеет

корней). Кроме того, функция чётная – значит, график симметричен относитель-

но оси OY.

С ростом x от

до 0 величина

1 убывает от

до 1. Обратная к

ней

величина

соответственно

возрастает от

0 до

1 :

С другой стороны,

1 растёт от

1 при x

0 до

при x

, тогда

обратная

величина

убывает

от

1 при

0 до

при x

Подтверждается замечание о симметричности графика относительно верти-

кали. Объединяя графики, получаем такой набросок:

Однако график должен быть плавный, поскольку 1-я производная определена во всех точках. Поэтому с каждой стороны от оси OY график обязательно перегнётся:

Здесь решающую роль сыграло то, что график не пересекает ось OX. Иначе была бы возможна любая ситуация, например, такая:

Пример 2.		Функция y	x	1 нечётная,		и её график симметричен относи-
Пример 2.		Функция y	x2	1 нечётная,		и её график симметричен относи-
тельно начала координат. Посмотрим, что происходит при							x	0 . Заметим, что
график пересекает ось OX в точке x					0 , и только в ней.
При	x	функция	y	0 ,	не
пересекая ось OX. Также при				x	0
функция положительна.
Получается, что где-то при				x	0
функция достигает максимума, и потом
убывает:

Но если функция будет выпукла вверх, она пересечёт ось OX при x 0 , а этого быть не должно. Значит, где-то после точки максимума график перегнётся и пойдёт выпуклостью вниз:

Учитывая симметрию относительно начала координат, получаем примерно такой график:

Здесь центр рисунка соответствует началу координат.

Поиск производных нужен, если интересуют конкретные координаты точек экстремума или перегиба. Кроме того, приведённые рассуждения определяют число точек экстремума или перегиба с точностью до чётного числа.

Так, в примере 2 при x 0 могла быть не 1, а 3 точки перегиба (но не 2 и не 4!), не 1 максимум, а 2 максимума и 1 минимум между ними, и т.д.

Замечание 2. В строгой математической литературе нередко «выпуклая функция» – это функция, график которой обращён «выпуклостью вниз» (например, парабола). Соответственно функции типа квадратного корня оказываются «вогнутыми». Это противоположно студенческой (и преподавательской) традиции, поэтому при обращении к старым учебникам необходимо внимательно следить, о каких функциях речь.

ИФ1. Постройте графики квадратичных функций по стандартной схеме исследования. Сравните с тем, что получается при построении по школьной схеме:

1) f	1	x	x2 4x; f	2	x	x2 8x; f	3	x	2x2 4x; f	4	x	6x x2 ; f	5	x 6x 3x2	;
	1			2			3			4			5

2)g1 x x2 4x 5; g2 x x2 8x 12; g3 x 8 x2 2x; g4 x 6x x2 10 ;

Примечание: Школьная (элементарная) схема – это поиск вершины парабо-

лы, точек пересечений с осями координат и определение направления ветвей.

ИФ2. Исследуйте функции и постройте графики многочленов:

12x;

12x x3 ;

6x2

;

3x2

x3 ;

g x

3x2

9x;

6x2

9x;

x 24x 3x2

x3 ;

3) h x x4

4x3 ;

h x 4x3

x4 ;

h x 3x4

4x3;

h x 3x4 24x2 ;

s x

x2 x 4 ;

x x2

4 ;

s x

x3 x 4 ;

x2 x2

4 .

ИФ3. Исследуйте функции, упростив производные, и постройте графики:

f1 x

x 3 x 2 x 1 ;

f2 x

x 2 x 2 x 4 ; f3 x

x 4 x 2 x 4 ;

g x

x 3 2 x 3 2 ;

x 2 2 x 4 2 ;

x 1 2 x 3 2 .

Пояснение: Производную в ИФ3 удобно найти, не раскрывая скобок:

x 4

x 6 x 2 x 4

x 2 x 4

x 6 x 4

x 6 x 2 .

Здесь применена формула

fgh

f gh

fg h

fgh .

Для поиска корней 1-й производной, а затем для поиска 2-й производной

скобки лучше раскрыть:

x 2 x 4

x 6 x 4

x 6 x 2

2x 8

2x 24 x2 8x 12 3x2

8x 20.

ИФ4. Исследуйте дробно-рациональные функции и постройте их графики:

1) f1 x	x	2	;
	x	3

2)g1 xxx2 4 ;

3)s1 xx21 1

4)r1 xx21 1 ;

5)s1 xx2 x 1

6)r1 xx2x 1 ;

7) q1

;

8) u1

;

9) h1

;

x 1

10)

;

11)

;

12)

;

1 2

13)

;

1 2

f2 x

x 2

;

x 2

;

f4 x

x 2

;

g2 x

;

g4 x

;

s2 x

;

s4 x

;

0,36

;

0,36

;

0,49

q2 x

;

0,25

u2 x

;

0,25

h2 x

;

h4 x

;

y3 x

;

y4 x

;

0,25

;

z3 x

;

0,25

;

t3 x

;

t4 x

;

p2 x

;

p3 x

;

x 2

ИФ 5. Постройте графики функций

x 2 e x ;

x 2 ex ;

g x

2x 3 e x ; g

3x 2 e

2 x ; g

2x 1 e2 x ; g

2x 6 e 2 x ;

3) h x

x ln x;

h x

ln x

;

h x

;

h x

x2 ln x .

ln x

Замечание о поиске 2-х производных

Поиск 2-й производной от дробной функции можно упростить, разложив дробь на целую часть и правильную дробь (например, разделив уголком или методом неопределённых коэффициентов).

Пример 3.

? Разложим и учтём, что x2

a 2

x a :

62 62

x 6

тогда

6 2

6 3

Очевидно,

0 при x

6 и y

0 при x

6 .

Пример 4.

? Применим формулу x3

ax a2 :

тогда

x2 2x

x 2 2

2 3

Для выяснения знака y

замечаем, что y

не существует при x

2 , а также

2 0

x 2 3

8 x 2

2 x 0 ,

2 3

тем самым ось надо разбить на интервалы точками x1

0 и x2

2 . Окажется, что

y 0 при 0

2 и y

0 при x 0 и при x

2 (проверьте).

Пример 5.

? В числителе нужен фрагмент, делящийся на

знаменатель:

5x 5x x3

x x2

x 5

5 x2

Поиск

проще, чем

. Вначале находим

1 x2

5 x 2x

5 x2

5 2

затем, вынося как можно больше множителей за скобки,

5 x2

2x x2 5 2

5 x2 2 x2

5 2x

5 2 5 x2 ,

x2 5 2

5 4

откуда, с учётом коэффициента –5 и того, что x

0 ,

y 0 5

15 x2

x x

15 x

x2 5 3

Знаменатель	положителен, а числитель даёт 3 точки, и знак чередуется, начи-

ная с y 0 при	x	15 .

Также можно упростить дифференцирование, если дробь правильная, но содержит квадрат или куб скобки, и т.п.

Пример 6.

? . Учитывая, что

x 3 3

x 3

x 3 1 3 x 3 2 ,

x 3 2

находим y

1 x

6 x 3 3

и затем

2 x 3 3

18 x 3 4

2 x 3 4 x 3 9 2

x 6

Получается, что y

0 при x

6 и y

0 при x

6 , причём x 3.

Пример 7.

? Разложим дробь так:

4 4

x 2 x 2

x 2

Теперь можно заметить, что x

4 , и поэтому

x 2 2

x 2

x 2 2

Тем самым

4 x

, и тогда

2 3

а) y

1 x 2 2

8 x 2 3

12 x 2 4 ;

б) y

2 x 2 3

24 x 2 4

48 x 2 5 .

Для поиска корней вынесем за скобки 2 x

5 :

2 x 2 5 x 2 2

12 x 2 24

2 x 2 5 x2

8x 4 ,

откуда x 2 – точка разрыва, а 4 12 и 4 12 – корни числителя.

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20221.42 Mб25432.pdf
#
13.11.20221.43 Mб15433.pdf
#
13.11.20221.44 Mб05434.pdf
#
13.11.20221.44 Mб25435.pdf
#
13.11.20221.44 Mб35436.pdf
#
13.11.20221.45 Mб25437.pdf
#
13.11.20221.45 Mб15438.pdf
#
13.11.20221.46 Mб35439.pdf
#
13.11.20221.46 Mб15440.pdf
#
13.11.20221.46 Mб25441.pdf
#
13.11.20221.46 Mб25442.pdf