515_Teorija Ehlektricheskikh Tsepej

Примеры и задачи Пример 1. Дана цепь (рис. 4.16), определить ее комплексную передаточ-

ную функцию, построить АЧХ, ФЧХ, годограф цепи.

Рис. 4.16

Решение Запишем систему уравнений по законам Кирхгофа для данной цепи

I1 I I2,

U1 I1 R j L IR,U 2 IR.

Так как I2 = 0, то I = I1, тогда

U1 I1 2R j L ; U 2 I1R ;

R

H – АЧХ цепи; 4R2 L 2

arctg L – ФЧХ цепи.

2R

Графики АЧХ, ФЧХ и годографа цепи изображены на рис. 4.17.

Рис. 4.17

71

ТЕМА 5. Переходные процессы в линейных электрических цепях

Лекция 9 Понятие переходного процесса. Законы коммутации. Независимые

и зависимые начальные условия. Классификация методов анализа переходных процессов. Классический метод анализа

Переходный процесс – режим работы электрической цепи, возникающий при переходе цепи из одного установившегося состояния (которое было до времени t = 0–) в другое установившееся состояние до времени t = .

Коммутация – любое изменение параметров цепи или ее конфигурации. Коммутация осуществляется ключом. Изменение режима работы схемы может происходить при выключении, включении, переключении элементов и источников схемы. Считается, что время коммутации равно нулю (коммутация осуществляется мгновенно).

Классификация методов анализа переходных процессов

Различают:

1.Классический метод анализа, основан на интегро-дифференциальных или дифференциальных уравнениях, составленных для мгновенных значений токов и напряжений, используя методы законов Кирхгофа.

2.Операторный метод, основан на преобразовании Лапласа. Позволяет перевести интегро-дифференциальные (дифференциальные) уравнения в систему алгебраических уравнений.

3.Временные методы анализа:

а) метод интеграла наложения (свертки), который основан на приме-

нении импульсной характеристики цепи; б) метод интеграла Дюамеля, который основан на применении пере-

ходной характеристики цепи.

4.Спектральный (частотный) метод, основан на прямом и обратном преобразованиях Фурье для непериодических воздействий и на ряде Фурье для периодических негармонических воздействий.

Решение задачи переходных процессов любым из перечисленных методов основано на законах коммутации.

Законы коммутации

Различают:

1-й закон коммутации: ток в индуктивности в момент времени t = 0+ непосредственно после коммутации равен току в индуктивности в момент времени t = 0– перед коммутацией и только с момента t = 0+ начинает плавно изменяться

2-ой закон коммутации: напряжение на емкости в момент времени t = 0+ непосредственно после коммутации равно напряжению на емкости в момент времени t = 0– перед коммутацией и только с момента времени t = 0+ начинает плавно изменяться

72

Замечание 1: 1-й закон коммутации связан с непрерывностью магнитной энергии в катушке индуктивности, 2-ой закон связан с непрерывностью электрической энергии в емкости.

Замечание 2: ток в индуктивном элементе и напряжение на емкостном элементе не может изменяться скачком.

Независимые начальные условия (основаны на 1-м и 2-м законах комму-

тации) представляют собой значения токов в индуктивных и напряжения на емкостных элементах в момент времени t = 0+ (iL 0 , uC 0 ). Имеются нуле-

вые (iL 0 0, uC 0 0) и ненулевые (iL 0 0, uC 0 0) независимые начальные условия.

Зависимые начальные условия: значения напряжений на резистивных и индуктивных элементах, значения токов в резистивных и емкостных элементах в момент времени t = 0+ определяются из уравнений ЗТК и ЗНК. Имеются нулевые и ненулевые зависимые начальные условия.

Классический метод анализа переходных процессов

Классический метод анализа основан на составлении и решении интегродифференциальных уравнений по законам Кирхгофа относительно выбранных независимых переменных, в качестве которых берется, как правило, ток в индуктивности или напряжение на емкости.

Интегро-дифференциальные уравнения обычно сводятся к одному дифференциальному уравнению m-го порядка.

Порядок уравнения m определяется количеством независимых реактивных элементов.

Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения состоит из двух решений: общего xсв t и частного xпр t

где р1, …, рm – корни характеристического уравнения, А1, …, Аm – постоянные интегрирования;

2) корни вещественные и кратные, при этом общее решение имеет вид

где р – корень; m – кратность корня;

73

где 0 – резонансная частота.

При этом пара корней (5.8) в общем решении (5.6) заменяется слагаемыми вида

где А и – постоянные интегрирования.

Частное решение xпр t определяется любым методом анализа цепи в установившемся (принужденном) режиме работы при t = .

Замечание: общее решение xсв t характеризует свободные процессы, происходящие в электрической цепи при отсутствии воздействия y(t). Частное решение xпр t характеризует принужденные процессы при наличии воздействия y(t) при t = .

Общий алгоритм анализа переходных процессов классическим методом

1.Выбираем независимые переменные iL(t) или uС(t).

2.Определяем независимые начальные условия, используя законы коммутации.

3.На основе законов Кирхгофа составляем систему интегро-дифференциаль- ных уравнений относительно выбранных переменных.

4.Интегро-дифференциальную систему сводим к одному дифференциальному уравнению относительно одной переменной (хотя можно решать систему).

5.Определяем характеристическое уравнение дифференциального уравнения.

6.Определяем корни характеристического уравнения.

7.Зная корни, записываем общее решение xсв t .

8.Определяем частное решение любым известным методом, используя схему при t = (установившийся принужденный режим).

9.Зная общее и частное решение, записываем решение

x t xсв t xпр t .

10.Используя начальные условия, определяем неизвестные постоянные интегрирования.

11.Записываем окончательно решение дифференциального уравнения.

12.Зная решение относительно независимых переменных, можно найти любые реакции цепи.

Переходные процессы в цепях 1-го порядка

Включение RL и RC цепей на источник постоянного напряжения u(t) = U = const

Цель анализа: найти ток и напряжения на элементах. Анализ представлен в табл. 5.1.

74

Табл. 5.1

4.Сводим к одному дифференциальному уравнению относительно одной переменной

5.Находим характеристическое уравнение. Для этого в однородное дифференциальное уравнение u t 0 подставляем

75

9.Зная общее и частное решение, определяем решение как сумму общего и частного решений

13. Зная iL(t) или uC(t) можно определить другие реакции цепи

Включение RL и RC цепи на источник переменного напряжения u t Um sin u (табл. 5.2).

Цель анализа: найти ток и напряжение на элементах схемы. Анализ представлен в табл. 5.2.

Табл. 5.2

Повторяем пункты 1–7 таблицы 1

8. Определяем принужденную составляющую – частное решение

76

9.Зная общее и частное решения, записываем решение дифференциального уравнения

10. Используя начальные условия, находим постоянные интегрирования

12. Строим графики iL t и uC t , полагая i 45 , uC 45 (для опреде-

ленности)

77

Лекция 10 Переходные процессы в линейных электрических цепях второго порядка

Включение последовательного RLC контура на источник постоянного напряжения (рис. 5.2).

Рис. 5.2

Цель анализа: найти ток в цепи и напряжение на элементах цепи для вре-

мени 0 t .

Анализ

1. Определяем ток в цепи и напряжение на емкости в момент времени t 0 (ключ разомкнут)

2. Находим независимые начальные условия, используя законы коммутации

(нулевые начальные условия).

3.Для t 0 (ключ замкнут) находим дифференциальное уравнение цепи: а) используя ЗНК, записываем уравнение

б) выбираем независимую переменную uC t и записываем дифференциальное неоднородное уравнение 2-го порядка

5. Находим характеристическое уравнение, подставив в однородное дифференциальное уравнение общее решение uCсв t Aept

79

6. Находим корни характеристического уравнения

Корни могут быть: а) вещественными и разными; б) вещественными и кратными; в) комплексно-сопряженными.

7. Для этих корней общее решение имеет вид

9. Запишем решение, как сумму общего и частного решений для трех видов корней

Каждое решение содержит по две неизвестных постоянных интегрирования, для нахождения которых необходимо составить систему из двух уравнений. Первое уравнение системы получим, используя независимые начальные условия для напряжения на емкости. Второе уравнение получим, используя начальные условия для тока в индуктивности, но для этого надо сначала найти выражение тока в индуктивности.

10. Используя независимые начальные условия для напряжения на емкости, получим первое уравнение соответственно для корней а), б), в)