515_Teorija Ehlektricheskikh Tsepej
.pdfРис. 3.22
6. Коэффициент трансформации трансформатора
n |
w1 |
|
L1 |
, |
(3.77) |
|
|
w2 L2
где w1, w2 – количество витков 1 и 2 катушек соответственно. 7. Входное сопротивление трансформатора
Z |
|
|
|
U |
1 |
|
|
Z11Z 22 Z122 |
R |
j L |
|
( j M)2 |
. (3.78) |
||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
I1 |
|
|
||||||||||
|
вх |
|
|
|
|
Z 22 |
1 |
1 |
|
R2 Rн j L2 Xн |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Идеальный трансформатор – трансформатор, у которого: L1 , L2 , |
|||||||||||||||
M , M L1L2 , |
R1 0, R2 0. |
|
|
|
|
|
Трансформатор сопротивлений. Трансформатор сопротивлений – идеальный трансформатор, преобразующий сопротивление нагрузки. Идеальный трансформатор включается между источником энергии и нагрузкой, преобразовывает сопротивление нагрузки пропорционально квадрату коэффициента трансформации без изменения фазы нагрузки (рис. 3.23).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.23 |
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
U |
|
R j L |
|
( j M)2 |
. |
(3.79) |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
вх |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
R2 jXн j L2 Rн |
|
|
||||
Если R1 0, R2 0, L1 |
, |
L2 , тогда |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Zвх |
|
L1 |
|
Zн n2 Zн , |
Zвх n2 Zн . |
|
(3.80) |
|||||||||
|
|
L2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Трансформатор сопротивлений используется для развязки по постоянному току и для согласования сопротивлений.
Трансформатор тока – идеальный трансформатор, имеющий сопротивление нагрузки, равное нулю Z н 0
51
|
I |
2 |
n, |
I |
2 nI1. |
(3.81) |
|
|
|||||
|
I1 |
|||||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Трансформатор напряжения – реализуется на основе идеального трансформатора, у которого сопротивление нагрузки равно бесконечности (Z н )
|
|
U |
1 |
n, |
U 2 |
|
1 |
|
U |
1. |
(3.82) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
U |
2 |
n |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Примеры и задачи
Пример 1. Найти закон изменения тока i3(t) в схеме рис. 3.24, если извест-
ны токи i1 t 20sin t 45 мА, i2 t 15sin t 30 мА.
Рис. 3.24
Для расчета перейдем к комплексным амплитудным значениям токов
I m1 20e j45 мА, I m2 15e j30 мА.
I m3 I m1 I m2 20 10 3e j45 15 10 3e j30
20 10 3 cos45 jsin45 15 10 3 cos 30 jsin 30
14,14 j14,14 10 3 12,99 j7,5 10 3
14,14 12,99 10 3 j 14,14 7,5 10 3 27,13 j6,64 10 3
|
|
|
jarctg |
6,64 |
|
|
10 3 |
27,132 6,642e |
27,13 27,93 10 3e j13,8 А. |
||||
|
Вернемся к выражению для мгновенного значения i3 t 27,93sin t 13,8 мА.
Пример 2. Дана электрическая цепь (рис. 3.25). Найти закон изменения токов в ветвях. Построить векторную диаграмму токов. Рассчитать баланс мощности.
Рис. 3.25
52
e t 141sin 104t 45 В, R1 = 5 кОм, R2 = 12 кОм, R3 = 4,6 кОм, L = 0,8 Гн, С1 = 10 нФ, С2 = 16,67 нФ.
Решение Для расчета символическим методом определим:
– комплексное действующее значение источника
E 141e j45 100e j45 В; 2
– индуктивное сопротивление
XL L 104 0,8 8 103 Ом;
– емкостные сопротивления
XC |
|
|
1 |
|
|
1 |
10 103 Ом; |
|||||
|
|
|
104 10 10 9 |
|||||||||
|
1 |
|
|
C1 |
|
|
|
|||||
XC |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
6 103 |
Ом; |
|||
2 |
C2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
104 16,67 10 9 |
|
|
– комплексные сопротивления ветвей Z1, Z 2,Z3
Z |
1 |
R |
jX |
C1 |
5 103 j10 103 |
11,18 103e j63 |
Ом; |
|
1 |
|
|
13,42 103e j27 |
|
||
Z 2 R2 |
jXC2 |
12 103 j6 103 |
Ом; |
Z3 R3 jXL 4,6 103 j8 103 9,23 103e j60 Ом.
В результате получили схему для символического метода расчета (рис. 3.26).
Рис. 3.26
Определим комплексные действующие значения токов, «свернув» схему к источнику
Z |
экв |
Z |
1 |
|
Z |
2 Z3 |
|
5 10 |
3 |
j10 10 |
3 |
|
|
13,42 103e j27 9,23 103e j60 |
|
||||
Z2 Z3 |
|
|
|
|
12 103 j6 103 4,6 103 j8 103 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
5 j10 |
103 |
|
123,8 106e j33 |
|
|
|
5 j10 103 |
123,8 103e j33 |
|
|
||||||||
|
16,6 j2 103 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16,72e j7 |
|
5 j10 103 7,40 103e j26 5 j10 103 6,61 j3,32 103
11,62 j6,68 103 13,4 103e j30 Ом.
53
По закону Ома
I |
1 |
|
E |
|
100e j45 |
7,46 10 3e j75 А, |
|
3,4 103e j30 |
|||||
|
|
Z экв |
|
|
|
|
|
|
|
Z |
3 |
|
|
|
9,23 10 |
3e j60 |
|
|
I |
|
I |
|
|
|
|
7,46 10 3e j75 |
|
|
4,12 10 3e j128 |
||||
2 |
1 Z2 Z3 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
16,72 103e j7 |
|
||||||||
I |
|
I |
|
|
|
Z 2 |
|
7,46 10 3e j75 |
13,42 103e j27 |
5,99 10 3e j41 |
||||
3 |
1 Z 2 Z3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
16,72 103e j7 |
|
Векторная диаграмма токов представлена на рис. 3.27.
Рис. 3.27
Комплексная мощность источника:
S E E I1* 100e j45 7,46 10 3e j75 746 10 3e j30 646 j373 Pист = 646 мВт; Qист = –373 мВАр.
Потребляемая активная мощность
А,
А.
мВ А;
Pпотр I12R1 I22R2 I32R3
7,46 10 3 2 5 103 4,12 10 3 2 12 103 5,99 10 3 2 4,6 103 647 мВт.
Pист Pпотр .
Потребляемая реактивная мощность
Qпотр I12XC1 I22XC2 I32XL
7,46 10 3 2 10 103 4,12 10 3 2 6 103 5,99 10 3 2 8 103 371мВ Ар.
Qист Qпотр .
Запишем выражения для мгновенных значений токов
i1 t 7,46 10 32sin 104t 75 10,55 10 3 sin 104t 75 А, i2 t 4,12 10 32sin 104t 128 5,83 10 3 sin 104t 128 А, i3 t 5,99 10 32sin 104t 41 8,41 10 3 sin 104t 41 А.
Пример 3. Дана электрическая цепь, содержащая индуктивно-связанные катушки (рис. 3.28). Требуется:
1.Составить систему уравнений по законам Кирхгофа.
2.Выполнить развязку индуктивных связей.
54
Решение 1) Обозначим токи в ветвях и направления обхода контуров.
Рис. 3.28
I1 I2 I3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
1 |
R j L I |
1 |
j M |
12 |
I |
2 |
j M |
13 |
I |
3 |
|
I |
2 |
j L |
2 |
I |
2 |
j M |
12 |
I |
1 |
j M |
23 |
I |
3 |
0 |
||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
j C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
R j L I |
|
j M |
|
I |
|
j M |
|
I |
|
|
I |
|
j M |
|
|
I |
|
j M |
|
|
|
I |
|
U. |
|
|
|
|
|||||||||
I |
|
|
|
|
|
|
j L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
12 |
|
2 |
|
13 |
|
3 |
3 |
|
3 |
|
|
13 |
|
1 |
|
|
23 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Схема после развязки индуктивных связей представлена на рис. 3.29.
Рис. 3.29
55
ТЕМА 4. Комплексные передаточные функции и частотные характеристики линейных электрических цепей
Лекция 7 Комплексные передаточные функции. Резонансные цепи.
Последовательный колебательный контур
Комплексная передаточная функция (КПФ) – отношение комплексной амплитуды реакции цепи к комплексной амплитуде воздействия. В зависимости от вида воздействия и вида реакции различают
1. КПФ по напряжению – отношение выходного напряжения U 2 к вход-
ному напряжению U1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Hu |
|
U |
|
2m |
|
|
|
|
U |
2 |
|
|
|
|
|
|
или Hu( j ) |
U2( j ) |
|
|
(величина безразмерная). |
(4.1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U1( j ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
U |
1m |
U |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2. КПФ по току – отношение выходного тока I 2 к входному I1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Hi |
I2m |
|
|
|
|
I |
2 |
|
, |
Hi( j ) |
I2 |
( j ) |
(величина безразмерная). |
(4.2) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1m |
I1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1( j ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3. Комплексное передаточное сопротивление – отношение выходного |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
напряжения |
U |
2 |
к входному току I1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
R |
|
|
|
U |
|
2m |
|
|
|
U |
2 |
|
|
|
|
или HR( j ) |
U2( j ) |
(Ом). |
(4.3) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
( j ) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4. Комплексную передаточную проводимость |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
Y |
|
|
|
|
I |
2m |
|
|
|
|
|
|
I |
2 |
|
|
|
или |
|
HY ( j ) |
I2( j ) |
|
(См). |
(4.4) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
U1( j ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
1m |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Кроме КПФ, рассмотренных выше, еще различают комплексные входные |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1. Комплексное входное сопротивление Z вх |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
вх |
|
|
U |
1 |
|
, Z |
вх |
( j ) |
U1( j ) |
. |
|
(4.5) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
I |
1 |
( j ) |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. Комплексную входную проводимость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
I1 |
|
, Y |
|
|
(j ) |
I1( j ) |
. |
|
(4.6) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вх |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
вх |
|
|
U1(j ) |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
КПФ можно представить в следующих формах:
а) в алгебраической форме H( j ) H1( ) jH2( );
б) в показательной форме H( j ) H( j ) e j H ( ) H e j H ( ) ;
в) в тригонометрической форме H( j ) H( )cos H ( ) jH( )sin H ( ).
Амплитудно-частотная характеристика цепи (АЧХ цепи)
H( ) |
|
H( j ) |
|
H12( ) H22( ). |
(4.7) |
|
|
56
Фазо-частотная характеристика цепи (ФЧХ цепи)
H ( ) argH( j ) arctg |
H2 |
( ) |
|
|
|
|
. |
(4.8) |
|
|
|
|||
|
H1( ) |
|
Годограф комплексной передаточной функции – это некоторая кривая, вы-
черчиваемая вектором H( j ) на комплексной плоскости P при изменении частоты от 0 до .
Пояснение: пусть имеется схема, приведенная на рис. 4.1 а.
Рис. 4.1
Передаточная функция этой цепи
U2 |
( j ) |
1 |
|
|
1 |
|
|
jarctg |
R C |
|
j |
|
( ) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Hu( j ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
1 |
Hu( )e |
|
H |
|
. (4.9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
U1( j ) |
1 jR C |
R2C2 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Годограф передаточной функции приведен на рисунке 4.1 б.
Резонансные цепи. Частотные характеристики резонансных цепей
Резонанс – такой режим работы пассивной цепи, содержащей R, L иC элементы, при котором реактивное сопротивление цепи (или реактивная проводимость) равны нулю.
Резонансные цепи – электрические цепи, в которых могут возникать явления резонанса напряжения или тока.
Резонанс напряжений наблюдается в электрической цепи, состоящей из последовательно соединенных участков, содержащих L иC элементы. Простой пример – последовательное соединение R, L иC элементов.
При резонансе напряжений:
а) индуктивное сопротивление одной части цепи компенсируется емкостным сопротивлением другой части цепи;
б) реактивное сопротивление на зажимах цепи равно нулю; в) реактивная мощность равна нулю, входное сопротивление цепи чисто актив-
ное; г) сдвиг фазы между приложенным напряжением и входным током цепи равно
нулю.
Резонанс токов наблюдается в электрической цепи с параллельным соединением участков, содержащих индуктивности и емкости. Простейшая цепь такого типа – это параллельное соединение R, L иC элементов.
57
При резонансе токов:
а) индуктивная проводимость одной части цепи компенсируется емкостной проводимостью другой части цепи;
б) реактивная проводимость и реактивная мощность на зажимах цепи равна нулю; в) входная проводимость цепи чисто активная величина; г) сдвиг фазы между входным током и приложенным напряжением равен нулю.
Последовательный колебательный контур. Частотные характеристики и основные параметры контура
Последовательный колебательный контур изображен на рис. 4.2. Цель анализа: найти параметры и частотные характеристики контура.
Порядок анализа
1. Определяем входное комплексное сопротивление цепи
|
|
U |
|
|
|
U j |
|
|
|
1 |
R j X L XC |
|||||
Zвх |
|
|
|
вх |
Zвх |
j |
|
|
|
R j |
L |
|
|
|||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
I j |
|
||||||||||||
|
|
|
Iвх |
|
|
|
|
|
C |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e jarctg |
X |
|
|
|
|
||
|
R jX |
R2 X 2 |
|
|
Zвх e j z , |
|||||||||||
|
|
R |
(4.10)
где R – активное сопротивление контура; Х – реактивное сопротивление контура; Zвх – полное сопротивление контура.
Рис. 4.2 |
|
Рис. 4.3 |
|
||||
2. Резонансная частота 0 определяется из условия Х = 0 |
|
||||||
X 0L |
1 |
0 0 |
|
1 |
|
. |
(4.11) |
0C |
|
|
|
||||
|
|||||||
|
|
|
LC |
|
|||
На рис. 4.3 качественно построены графики зависимости сопротивлений |
|||||||
Zвх, X L, XC , X, R от частоты и указан характер сопротивления цепи. |
|
||||||
3. Входное сопротивление |
Zвх j 0 контура на резонансной |
частоте |
|||||
Zвх j 0 R. |
|
|
|
|
|
|
|
4. Комплексное действующее значение тока в контуреI j на произвольной частоте и на резонансной частоте 0 определяются соотношениями вида
58
I j |
U j |
|
|
U j |
|
|
|
U j |
; |
I j 0 |
|
U j 0 |
. (4.12) |
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||
|
Z |
вх |
j |
|
|
|
|
R jX |
|
|
R |
||||||
|
|
|
|
|
R j |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
5. Фазовые сдвиги между приложенным напряжением U(j ) и током I(j ) на произвольной и резонансной 0 частотах равны
|
L 1 |
C |
|
|
|
arctg |
|
|
; 0 |
0. |
(4.13) |
|
|
||||
|
R |
|
|
График зависимости фазового сдвига между напряжением U и током I показан на рис. 4.4.
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. Характеристическое сопротивление контура |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0L |
|
|
L |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.14) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
0C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. Максимальное значение реактивной энергии, запасаемой в контуре на |
||||||||||||||||||||||||||||
резонансной частоте |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CUmC2 |
|
|
|
|
|
|||||
Wр WC WL |
Cu |
2 |
|
Li2 |
CUmC2 |
0 |
cos |
2 |
0t |
|
LIm2 |
0 |
sin |
2 |
0t |
0 |
|
LIm2 |
0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. (4.15) |
||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Здесь учтено, что на резонансной частоте UmC0 Im0 |
|
L C |
. |
|
|
|
|
8. Активная энергия, поглощаемая в контуре за период Т на резонансной частоте, равна
|
2 |
|
Im2 |
0R T 2 |
|
WаT I |
|
RT |
|
|
Im0 |
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
R LC . (4.16)
9. Добротность контура есть произведение 2 на отношение запасаемой в контуре реактивной энергии к рассеиваемой энергии на пассивном сопротивлении за период. Добротность контура определяется по следующей формуле
Q 2 |
Wp |
|
L C |
0L |
1 0C |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(4.17) |
|
WаT |
|
|
|
|
|||||||
|
|
R |
R |
R |
R |
|
10. Затухание контура определяется по формуле
d = 1/Q. |
(4.18) |
Виды расстроек последовательного колебательного контура
1. Абсолютная расстройка
0 или f f0 f , |
(4.19) |
где (f) – текущая частота.
59
2. |
Относительная расстройка |
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.20) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. |
Обобщенная расстройка |
|
0 |
|
f0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
L |
|
|
0L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
||||||||||
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C 0L |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
. (4.21) |
|
R |
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
Если рассматривать область малых расстроек контура, т.е. область частот вблизи резонансной частоты 0, тогда, в первом приближении, обобщенную расстройку можно определить по формуле
Q |
2 |
20 |
Q |
0 0 |
|
Q |
2 |
2Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(4.22) |
||||
0 |
0 |
|
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
Замечание. Модуль и фазу входного сопротивления можно записать через обобщенную расстройку
Zвх R |
1 2 ; |
arctg . |
(4.23) |
Резонансные характеристики колебательного контура
Резонансные характеристики – это зависимость тока в контуре, напряжений на индуктивности (L) и емкости (С) от частоты входного сигнала при условии, что амплитуда напряжения входного сигнала не зависит от частоты.
Зависимость действующего тока в контуре от частоты имеет вид
I |
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
R |
2 |
|
L |
1 2 |
R 1 Q |
2 |
|
|
0 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
где I0 – ток в контуре при резонансе.
График тока I представлен на рис. 4.5.
|
|
I0 |
|
, |
(4.24) |
|
|
|
|
||||
1 2 |
||||||
|
|
|
|
Рис. 4.5
Коэффициенты передачи по напряжению последовательного колебательного контура
1. Комплексная передаточная функция по напряжению относительно
напряжения |
U |
L |
|
UL j |
|
j L |
|
|
|
|
|
|
j L |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
HUL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
U j |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
R j L j |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
j |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
C |
60