673_Raschet_analogovykh_i_diskretnykh_ustrojstv_

Результаты запишем в таблицу 2.7. Спектр дискретного сигнала является периодической функцией частоты, как показано на рисунке 2.12.

Таб. 2.7. Отсчеты спектра входного сигнала

U1 k 1 ,B

2

1

-2 0 2 4 6 8 10k 12 14 16 18 20 k

Рис. 2.12. Амплитудный спектр дискретного сигнала

Из рисунка видно, что амплитудный спектр дискретного сигнала является периодическим повторением двухстороннего спектра аналогового сигнала с масштабным коэффициентом N , равным периоду.

2.4. Расчет дискретного фильтра

Для выделения заданной гармоники сигнала необходимо рассчитать дискретный полосовой фильтр.

Центральная частота полосы пропускания f0 совпадает с частотой выделяемой гармоники:

Передаточная функция БИХ-фильтра может быть получена путем билинейного преобразования передаточной функции аналогового полосового фильтра.

В качестве аналогового полосового фильтра выберем полиномиальный фильтр Баттерворта. Поскольку гармоники сигнала на выходе нелинейного

21

Определим полюсы передаточной функции аналогового полосового фильтра по известным полюсам НЧ-прототипа. Для этого воспользуемся соотношением:

Здесь 2 f2 f2 – ширина полосы пропускания;

0 2 f0 – центральная частота ПП фильтра;

j j j – j -ый полюс передаточной функции НЧ-прототипа.

Одной паре комплексно-сопряженных полюсов передаточной функции НЧ-прототипа соответствует две пары комплексно-сопряженных полюсов передаточной функции аналогового полосового фильтра. Одному вещественному полюсу НЧ-прототипа соответствует одна пара комплексно-сопряженных полюсов Н р аналогового полосового фильтра.

На втором этапе формируют передаточную функцию аналогового полосового фильтра в виде произведения сомножителей второго порядка:

Каждый сомножитель соответствует одной паре комплексно-сопряженных полюсов. Коэффициенты числителя и знаменателя определяются из следующих соотношений:

где bi 2 i ; b0i i2 i2.

i и i – действительная и мнимая части i-го полюса передаточной функции ПФ.

В результате найдена денормированная передаточная функция аналогового полосового фильтра.

Перейдем от передаточной функции аналогового полосового фильтра к

где Т – период дискретизации.

Применение данного преобразования приводит к искажению частотных характеристик аналогового фильтра. Для исключения таких искажений существуют методы, изучаемые в курсе ЦОС.

23

Для уменьшения искажений в наших расчетах воспользуемся формулой:

где определяется из условия совпадения центральных частот аналогового и дискретного полосовых фильтров:

Каждый сомножитель передаточной функции реализуется в виде дискретной канонической рекурсивной схемы второго порядка. Звенья соединяются каскадно.

Расчет фильтра заканчивается построением его полной схемы с указанием значений элементов и расчетом его частотных характеристик. К частотным характеристикам относятся комплексная частотная характеристика фильтра, а также зависимость ослабления от частоты. Расчет той и другой характеристик производится на основе передаточной функции H z путем замены z ej T .

При этом вначале на выбранных частотах рассчитывают H j отдельных звеньев, а затем всего фильтра, используя соотношение:

Так как частотная характеристика дискретной цепи – функция периодическая, ее достаточно рассчитать в диапазоне частот 0 д .

24

Для дальнейшего расчета сигнала на выходе фильтра число расчетных точек H j должно совпасть с числом отсчетов дискретного сигнала на пе-

В число расчетных частот необходимо включить граничные частоты полос пропускания и непропускания.

ПРИМЕР РАСЧЕТА:

Требуется рассчитать БИХ-фильтр для выделения второй гармоники при частоте генерируемых колебаний 10 кГц;

неравномерность ослабления в ПП А 1дБ ;

минимально допустимое ослабление в ПН Amin 20дБ (рис. 2.13); порядок НЧ-прототипа равен m 2;

период дискретизации Т 6,25мкс.

Определим частоту выделяемой гармоники: f0 l fг 2 10 103 20 кГц. Выберем границу полосы пропускания f2 21,025 кГц и границу полосы непропускания f3 25 кГц.

Определим требования к НЧ-прототипу:

Определим порядок фильтра Баттерворта по формуле 2.34.

При округлении в большую сторону до целого числа m 2.

25

Полученный порядок фильтра удовлетворяет требованиям, можно продолжать расчет.

Запишем выражение для квадрата АЧХ передаточной функции:

Определим полюсы квадрата АЧХ по формуле 2.35:

Для отыскания полюсов передаточной функции аналогового полосового фильтра воспользуемся соотношением 2.36

где 2 f2 f2 2 21025 19025 12566,37рад/ с;

02 2 f0 2 2 20 103 2 1,5791 1010 радс 2 .

Полученные значения полюсов удобно представить в виде таблицы.

Табл. 2.8. Значения полюсов аналогового полосового фильтра

Передаточная функция ПФ может быть записана в виде произведения двух сомножителей второго порядка

бодные члены b0i i2 i2. Их значения сведем в таблицу 2.9.

26

Табл. 2.9. Значения коэффициентов передаточной функции аналогового полосового фильтра

Передаточная функция искомого БИХ-фильтра с учетом полученного значения коэффициента имеет вид:

Данная схема реализуется каскадным соединением умножителя и двух рекурсивных звеньев второго порядка. Схема БИХ-фильтра приведена на рисунке 2.11.

Комплексную частотную характеристику БИХ-фильтра получим из пе-

Результатырасчетачастотнойхарактеристикифильтраприведенывтаблице2.11.

Рис. 2.14. Схема БИХ-фильтра

Табл. 2.11. Результаты расчета частотной характеристики фильтра

28

Таб. 2.11 (Продолжение)

По результатам расчета построим график АЧХ цепи.

H f

1

Рис. 2.15 АЧХ полосового БИХ-фильтра

В результате получена характеристика полосового фильтра с периодом повторения, равным частоте дискретизации.

Ослабление фильтра связано с частотной характеристикой выражением:

1

A 20lg H j .

В силу нелинейности преобразования 2.40 границы полосы пропускания и полосы непропускания дискретного БИХ-фильтра не будут совпадать с соответствующими значениями аналогового фильтра. Найдем их из соотношения

Определим ослабление в диапазоне частот f3ц f3ц , результаты запишем в таблицу 2.12.

Табл. 2.12. Результаты расчета ослабления фильтра

30