- •394026 Воронеж, Московский просп., 14 оглавление
- •Введение
- •Глава 1. Введение в теорию систем
- •1.1. Основные понятия, характеризующие строение и функционирование систем
- •1.2. Закономерности систем
- •1.3. Системный подход и системный анализ
- •1.4. Сложная и большая система
- •1.5. Классификация систем
- •1.6. Система как всеобщность свойства материи
- •1.7. Методика системного анализа
- •Глава 2. Методы описания систем
- •2.1. Качественные методы описания систем
- •2.2. Количественные методы описания систем. Уровни описания систем
- •2.3. Методы формализованного представления систем
- •2.4. Кибернетический подход к описанию систем
- •Глава 3. Моделирование систем
- •3.1. Классификация видов моделирования систем
- •3.2. Построение моделей систем
- •3.3. Проверка адекватности моделей, анализ чувствительности и работоспособности
- •3.4. Основные положения теории планирования эксперимента
- •3.4.1. Этапы планирования эксперимента
- •3.4.2. Полный факторный эксперимент
- •3.4.3. Дробный факторный эксперимент
- •3.5. Обработка и анализ результатов моделирования систем
- •3.5.1. Метод наименьших квадратов
- •3.6. Аналитические модели сложных систем
- •3.6.1. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях
- •3.6.2. Метод Эйлера и его модификации
- •3.6.3. Метод Рунге-Кутта
- •3.6.4. Приближенное решение дифференциальных уравнений n-го порядка при заданных начальных условиях
- •3.6.5. Приближенное решение дифференциальных уравнений при заданных граничных условиях (краевых задач)
- •3.6.6. Метод начальных параметров
- •3.6.7. Редукция к задаче Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка
- •3.7. Имитационное моделирование
- •3.7.1. Композиция дискретных систем
- •3.7.2. Содержательное описание сложной системы
- •3.7.3. Пример построения имитационной модели анализа надежности сложной системы
- •3.8. Когнитивное моделирование
- •Глава 4. Модели многосвязных технических систем
- •4.1. Типы элементов
- •4.2. Источники энергии и преобразователи. Аналоги топологических уравнений
- •4.3. Метод получения топологических уравнений.
- •Глава 5. Конечно-элементные модели. Метод конечных элементов
- •5.1. Общий ход решения задачи на основе метода конечных элементов
- •5.2. Сети одномерных конечных элементов
- •5.3. Виды конечных элементов
- •5.4. Выделение конечных элементов
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
5.2. Сети одномерных конечных элементов
На рис. 5.2 приведены примеры из различных предметных областей с одинаковой топологией с точки зрения теории графов, имеющие одинаковый принцип построения математической модели на основе МКЭ.
На рис. 5.2, а показана электрическая схема из семи резисторов. Источники питания на схеме не показаны, но их влияние характеризуется токами
Если резистор рассмотреть изолированно от системы, то с помощью закона Ома можно записать соотношение между исходящими токами и напряжениями на его концах:
(5.11)
или в матричной форме
(5.12)
(5.12 а)
Узлы сети и ее элементы можно нумеровать произвольно, однако при выделении каждого элемента условимся под индексом i всегда понимать меньший номер. Нетрудно видеть, что поэтому силу тока в узле i можно определять по формуле
(5.13)
а если рассматривается узел , то правую часть формулы (5.13) следует умножить на -1.
Рис. 5.2. Сети одномерных конечных элементов:
а) электрическая; б) механическая; в) гидравлическая
При составлении ансамбля конечных элементов запишем уравнения «равновесия» (закон Кирхгофа) поочередно для каждого узла. Для формализации процедуры будем рассматривать все элементы сети независимо от того, примыкают они к данному узлу или нет. Если элемент примыкает к рассматриваемому узлу своим началом, будем принимать равенство (5.13) со своим знаком, т. е. умножать его на 1. Если это окажется конец элемента, то будем вводить множитель – 1. Если элемент не примыкает к узлу, то принимать множитель 0. С целью сокращения записей условимся матрицу жесткости обозначать буквой К, снабженной индексом, указывающим номер элемента. Для первого узла (рис. 5.2, а) будем иметь:
для второго узла
Поступая аналогично с остальными узлами, можем записать математическую модель электрической системы:
(5.14)
При рассмотрении элементов анализа сетей было дано определение и указан прием построения матрицы инциденций ориентированного графа. Здесь мы получили такую матрицу, занумерованные узлы и элементы сети.
Перейдем к рассмотрению механической системы (рис. 5.2, 6) в виде фермы, загруженной силой Р. Предварительно отметим существенное отличие этой системы от ранее рассмотренной. В электрической системе сила тока есть скалярная величина, поэтому не имеет значения пространственное расположение резисторов, важен лишь факт их примыкания к данному узлу. Для фермы все иначе: здесь имеет значение не только топология, но и геометрия фермы, а также ориентация внешних сил и реакций связей. Для плоской фермы с шарнирными узлами каждый узел имеет две степени свободы, что определяет 10 степеней свободы для всей совокупности узлов. Однако внешние связи исключают две степени свободы в первом узле и по одной (в вертикальном направлении) – в 4 и 5 узлах. Для учета этого обстоятельства необходимо вычеркнуть соответствующие строки матрицы S, характеризующей степени свободы системы (две строки для первого узла и вторые строки – для 4 и 5 узлов):
(5.15)
При рассмотрении конечного элемента для электрической системы основным параметром, определяющим связь между фазовыми переменными I и U, было электрическое сопротивление резистора r, а сама связь устанавливалась законом Ома.
В случае фермы фазовыми переменными будут усилия в стержнях N и удлинения стержней , параметром – погонная жесткость , а связь переменных состояния определится законом Гука