- •Ю.Б. Рукин
- •Основы применения метода конечных элементов
- •Введение
- •Основная идея метода конечных элементов
- •Преимущества и недостатки мкэ
- •Дискретизация области
- •Типы конечных элементов
- •Прямой метод жесткости
- •Учет граничных условий
- •Алгоритмы построения сеток для решения задач механики деформируемых твердых тел
- •Соотношения метода конечных элементов в задачах динамики
- •Матрица инертности треугольного конечного элемента
- •Описание программы расчета по методу конечных элементов
- •Пример использования программы определения собственных частот тонкостенных конструкций
- •Примеры практического использования некоторых типов конечных элементов при исследовании статических и динамических состояний конструкций Пространственные стержневые конструкции
- •Плоская задача теории упругости
- •Построение матрицы жесткости пластинки прямоугольной формы
- •Переход к глобальным координатам
- •Моделирование оболочечных конструкций
- •Моделирование массивных конструкций
- •Заключение
- •Приложение 1
- •Продолжение приложения 1
- •Продолжение приложения 1
- •Продолжение приложения 1
- •Продолжение приложения 1
- •Продолжение приложения 1
- •Продолжение приложения 1
- •Приложение 2
- •Продолжение приложения 2
- •Продолжение приложения 2
- •Продолжение приложения 2
- •Продолжение приложения 2
- •Продолжение приложения 2
- •Продолжение приложения 2
- •Продолжение приложения 2
- •Продолжение приложения 2
- •Продолжение приложения 2
- •Приложение 3 программа s1_3.F
- •Продолжение приложения 3
- •Программа s2_3.F
- •Продолжение приложения 3
- •Программа s3_3.F
- •Продолжение приложения 3
- •Программа s4_3.F
- •Приложение4
- •Продолжение приложения 4 программа s1.F
- •Программа s2.F
- •Продолжение приложения 4
- •Программа s3.F
- •Продолжение приложения 4
- •Программа s4.F
- •Библиографический список
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Примеры практического использования некоторых типов конечных элементов при исследовании статических и динамических состояний конструкций Пространственные стержневые конструкции
При проектировании стальных ферменных конструкций считают, что жесткость узлов в местах соединения элементов фермы не существенно влияет на работу конструкции и их рассматривают как шарнирные.
Проблема заключается в необходимости более полного учета жесткостных характеристик элементов в местах их соединений и, в связи с этим, перераспределение силовых потоков.
Стальная опора (рис. 32) моделируется в виде линейно-упругой стержневой пространственной конструкции, нагруженной узловыми силами, возникающими от веса проводов (с учетом покрытия их слоем льда) и ветровой нагрузки.
Рис. 32
При построении модели использовался конечный элемент в виде прямого бруса, воспринимающего в общем случае все виды нагрузок (растяжение, изгиб в двух плоскостях и кручение). В качестве узлов i, j приняты его концы (рис. 7).
Оси локальной системы координат направлены таким образом, чтобы ось X совпала с продольной осью бруса, а оси Y и Z совпадали с главными центральными осями его поперечного сечения.
В каждом узле рассматривается 6 степеней свободы (3 линейных и 3 угловых – они показаны на рис. 7 дуговыми стрелками) и соответствующие им силовые факторы. Матрица жесткости рассматриваемого конечного элемента имеет размерность 1212. Преобразование матрицы жесткости бруса из локальной в глобальную систему координат производится в соответствии с выражением
,
где [k] – матрица жесткости бруса в локальной системе координат;
[] – матрица направляющих косинусов локальных осей.
Модель конструкции выполнена в соответствии с рабочими чертежами опоры ВЛ 220.
В модели выделено 748 конечных элементов, соединенных при помощи 323 узлов. Размерность полученной системы уравнений – 1938, ширина ленты этой системы линейных алгебраических уравнений равна 222. Система уравнений решена при помощи метода Холецкого с фазовой обработкой; число уравнений, входящих в одну фазу – 600.
В результате решения системы уравнений получены векторы перемещений узлов в глобальной системе координат и напряжения в конечных элементах. Характер деформированного состояния опоры представлен на рис. 33.
Анализ массива напряжений в элементах позволяет выявить зоны опоры, в которых напряжения превышают допускаемые. На основании полученной информации можно сделать вывод о необходимости усиления стоек в нижней части опоры.
Рис. 33
Плоская задача теории упругости
Существует широкий класс важных в практическом отношении задач, в которых перемещения, деформации и напряжения зависят лишь от двух координат – x и y. Этот класс задач под общим названием «плоская задача теории упругости» подразделяется на плоскую деформацию и обобщенное плоское напряженное состояние.
Если в процессе нагружения все точки тела перемещаются только параллельно одной плоскости (плоскости xy, например), то соответствующее деформированное состояние называется плоской деформацией. Таким образом, для плоской деформации имеем ux=ux(x,y), uy=uy(x,y), uz=0.
Рис. 34
Выделим из тела элементарный параллелепипед сечениями, параллельными координатным плоскостям (рис.34). Обозначим компоненты напряжения в площадке, перпендикулярной оси x, через x, xy, xz, аналогично для других площадок. Первый индекс в этих обозначениях характеризует ориентацию площадки, а второй направление действия соответствующей составляющей напряжения.
В соответствии с уравнениями Коши, деформации xz=dux/dz+duz/dx, zz=duz/dz, yz=duz/dy+duy/dz оказываются равными нулю.
Из закона Гука вытекает, что касательные напряжения xz=Gxz, yz=Gyz также равны нулю (G — модуль сдвига, — относительная деформация). Остальные компоненты деформации и напряжения являются функциями только координат x и y.
Если тонкая пластина, параллельная плоскости xy, нагружена объемными и по контуру — поверхностными силами, параллельными ее плоскости и равномерно распределенными по толщине, то имеет место обобщенное плоское напряженное состояние. В этом случае можно пренебречь компонентами напряжения z, xz и yz, а x, y и xy считать постоянными по толщине:
z=xz=yz=0 x= x(x,y), y= y(x,y) и xy= xy(x,y).
Из закона Гука следует, что при обобщенном плоском напряженном состоянии деформации сдвига xz=yz=0, а остальные компоненты деформации представляются как функции только координат x и y.
Расчет по методу конечных элементов начинается с дискретизации расчетной модели. Пусть рассматриваемая область двумерна, т.е. все ее характеристики зависят от двух координат (рис. 35). Каждый конечный элемент этой области сохраняет все физические и геометрические свойства исходной среды. На границе области заданы граничные условия /1,2,3/.
Для решения плоской задачи теории упругости разработано много разнообразных конечных элементов, отличающихся друг от друга аппроксимацией перемещений и способом описания геометрии. В качестве наиболее простого рассмотрим плоский треугольный элемент с тремя узлами в углах (рис. 36). Узловые перемещения для такого элемента указаны на рисунке. Вектор перемещений для узла i состоит из двух компонент:
(10)
Рис. 35
Рис. 36
Обход узлов производится против хода часовой стрелки. Шесть компонент перемещений элемента образуют вектор:
. (11)
Перемещения точек внутри элемента однозначно определяются этими шестью величинами. Наиболее простым представлением являются линейные полиномы:
(12)
Значения шести постоянных i можно найти из двух систем, состоящих из трех уравнений, которые получаются при подстановке в последние уравнения узловых координат и приравнивания перемещений соответствующим перемещениям узловых точек:
(13)
Выражая 1, 2, 3 через величины узловых перемещений, получим
,(14)
где
(15)
Остальные коэффициенты получаются циклической перестановкой индексов i, j, m, а величина 2 определяется соотношением
(площадь треугольника ijm). (16)
Аналогично выражается перемещение v по направлению оси y:
(17)
В стандартной форме
(18)
Полную деформацию в любой точке внутри элемента можно представить тремя составляющими:
(19)
Используя предыдущие равенства (17) и (18), получим,
(20)
что определяет матрицу [B], связывающую деформации с перемещениями. Так как матрица [B] не зависит от координат точки внутри элемента, то деформации в нем постоянны.
Напряжения связаны с деформациями зависимостью:
, (21)
где матрица упругих постоянных для плоского напряженного состояния имеет вид
, (22)
Матрица жесткости элемента ijm определяется с помощью соотношения:
, (23)
где t — толщина элемента, а интегрирование ведется по площади треугольника. Если толщина элемента постоянна, то, поскольку ни одна из матриц не содержит x или y, получим простое выражение:
, где и т.д. (24)
Матрица жесткости может быть записана в виде:
, (25)
Составление матрицы жесткости ансамбля элементов производится суммированием матриц жесткости конечных элементов, имеющих общие узлы.
Для конечноэлементного ансамбля можно записать:
. (26)
— внешние силы; — силы, уравновешивающие действующие на элемент распределенные нагрузки; — силы в узлах, обусловленные начальной деформацией.
На рис. 37 представлена расчетная модель пластинки трапециевидной формы, защемленной вдоль одной из сторон и нагруженной силами в узлах другой стороны. Тонкими линиями показана сетка разбиения на конечные элементы треугольной формы. Толщина пластинки 0.1 см. Материал пластинки имеет следующие характеристики: модуль упругости 200000 МПа, коэффициент Пуассона 0.3. Узловые силы в Н, размеры в см. Число конечных элементов ne=5, число узлов np=7, число граничных узлов nb=3.
Рис. 37
Граничные условия:
nbc(1)=1 nfix(1)=11
nbc(2)=2 nfix(2)=11
nbc(3)=3 nfix(3)=11.
В файле исходных данных содержится следующая информация для рассматриваемого примера (вариант 6):
6
Иванов И.И.
7,5,3,1,2,1,0
1,2000000., 0.3
1,0.,0.
2,4.,0.
3,8.,0.
4,3.,5.
5,9.,5.
6,6.,10.
7,10.,10.
1,1,2,4,1
2,2,5,4,1
3,2,3,5,1
4,4,5,6,1
5,5,7,6,1
1,11
2,11
3,11
6,10.,0.
7,10.,0.
После проведения вычислений в файле 6 содержится следующая информация:
6
Иванов И.И.
7 5 3 1 2 1 0
MATIRIAL PROPERTIES
1 2000000.00 0.30
NODAL POINTS
1 0.000 0.000
2 4.000 0.000
3 8.000 0.000
4 3.000 5.000
5 9.000 5.000
6 6.000 10.000
7 10.000 10.000
ELEMENTS
1 1 2 4 1
2 2 5 4 1
3 2 3 5 1
4 4 5 6 1
5 5 7 6 1
BOUNDARY CONDITIONS
1 11
2 11
3 11
LOADS
6 10.00 0.00
7 10.00 0.00
DISPLACEMENTS
1 0.0000E+00 0.0000E+00
2 0.0000E+00 0.0000E+00
3 0.0000E+00 0.0000E+00
4 0.2948E-04 0.1063E-04
5 0.2812E-04 -0.1856E-04
6 0.8707E-04 0.9949E-06
7 0.9480E-04 -0.3954E-04
element |
x-stress |
y-stress |
xy-stress |
max-stress |
min-stress |
angle |
1 |
2.45 |
5.73 |
4.54 |
8.91 |
-0.73 |
35.083 |
2 |
0.72 |
2.84 |
0.76 |
3.09 |
0.48 |
17.768 |
3 |
-4.28 |
-9.99 |
4.33 |
-1.95 |
-12.32 |
61.710 |
4 |
0.53 |
2.41 |
5.22 |
6.78 |
-3.84 |
39.914 |
5 |
2.70 |
-3.61 |
2.17 |
3.37 |
-4.28 |
72.763 |
На основе полученных данных делается вывод о напряженно-деформированном состоянии моделируемой конструкции и, при необходимости, вводятся коррективы для обеспечения безопасного уровня напряжений и деформаций. Так как напряжение в элементе постоянно, то для более детального выявления характера распределения напряжений в локальных зонах конструкции можно измельчить сетку конечных элементов и провести аналогичный расчет повторно после подготовки соответствующих исходных данных.