Решение задачи коши для
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ ОПЕРАЦИОННЫМ МЕТОДОМ. ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО МЕТОДА
К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ. РЕШЕНИЕ ТЕЛЕГРАФНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Литература: [6], [7], [18], [19].
Контрольные вопросы и задания
Сформулировать теорему о дифференцировании оригинала.
Какова общая схема решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методом?
Что представляет собой операторная система дифференциальных уравнений?
Каковы преимущества операционного метода решения дифференциальных уравнений и систем перед классическим методом?
Что называется сверткой двух функций-оригиналов? Каковы ее свойства?
Сформулировать теорему о свертке.
Записать интеграл и формулу Дюамеля.
Каков алгоритм решения задачи Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами с использованием интеграла Дюамеля?
Примеры решения задач
Пример
1. Операционным
методом решить задачу Коши
,
,
.
Решение.
Строим изображения
,
тогда
,
,
.
Подставляя в уравнение:
,
находим изображение решения:
.
Раскладывая дроби на простейшие:
;
,
находим решение
.
Пример
2. Операционным
методом решить задачу Коши
,
.
Решение.
Так как
изображение правой части найти сложно,
то данную задачу можно решить, используя
интеграл Дюамеля
,
где
- правая часть уравнения,
- решение данного дифференциального
уравнения с единичной правой частью.
Уравнение
в операторной форме имеет вид
,
откуда
и
.
В результате
.
Пример 3. Операционным методом решить систему
уравнений
при
.
Решение.
Переходя в уравнениях к операторной
форме
,
где
,
,
,
решаем полученную систему линейных
уравнений относительно
,
,
.
Имеем
,
,
.
Раскладывая рациональные дроби на
простейшие, находим решение системы:
,
,
.
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
1)
Решить задачу Коши
,
.
2)
Решить задачу Коши
,
.
3)
Решить задачу Коши
,
.
4)
Решить задачу Коши
,
.
5)
Решить задачу Коши
,
.
6) Решить систему дифференциальных уравнений
.
7) Решить систему дифференциальных уравнений
.
Заключение
Данные методические указания помогут студентам изучить курс математики, а также предоставят студентам широкие возможности для активного самостоятельного изучения практической и теоретической части курса математики.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение………………………………………………………….1
1. Разделы дисциплины и виды занятий (тематический план)..2
2. Содержание разделов дисциплины в третьем семестре……..4
3. Лабораторный практикум……………………………………..7
4. Учебно-методическое обеспечение дисциплины……….…...8
5. Методические рекомендации по организации изучения математики……………………………………………………...…..10
6. Рекомендуемый перечень тем практических занятий……...10
7. Календарный план чтения лекций…………………..……….12
8. Примерные темы курсовых работ…………………………...15
9. Темы, выносимые на самостоятельное изучение.….…....…33
Заключение………………………………………………………41
Методические указания
к изучению курса «Математика» (план – график, второй курс, первый семестр) по направлению 110800.62 «Агроинженерия», профилю «Электроснабжение и электрооборудование сельхозпредприятий» и направлению 140400.62 «Электроэнергетика и электротехника», профилям «Электромеханика», «Электропривод и автоматика» очной формы обучения
Составители: Катрахова Алла Анатольевна,
Купцов Валерий Семенович,
В авторской редакции
Подписано к изданию 14.03. 2012.
Уч.-изд. л. 2,4 «С»
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный
технический университет»