8. Примерные темы курсовых работ
Тема 1. Разложение функций в ряд Фурье, построение графиков периодического продолжения функции и графиков
частичных сумм ряда.
Тема 2. Физические приложения определённых интегралов.
Тема 3. Физические приложения кратных интегралов.
Тема 4. Вычисление интегралов от тригонометрических
функций, зависящих от параметра.
Тема 5. Вычисление интегралов от тригонометрических
функций с помощью формул Эйлера.
Тема 6. Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
Тема 7. Решение краевых задач с помощью функции Грина.
Тема 8. Решение систем дифференциальных уравнений.
Изображение полученных траекторий.
Тема 9. Решение физических задач с помощью дифференциальных уравнений.
Тема 10. Исследование устойчивости особых точек системы дифференциальных уравнений. Изображение фазовых траекторий.
Тема 11. Вычисление потока векторного поля через поверхность.
Тема 12. Исследование сходимости несобственных интегралов.
Тема 13. Исследование сходимости рядов.
Тема 14. Элементы высшей алгебры. Нахождение корней многочленов высших степеней.
Тема 15. Решение задач векторной алгебры.
Тема 16. Элементы высшей алгебры. Оценка значения
определителя произвольного порядка.
Тема 17. Применение разложения функций в степенные ряды в задачах электротехники.
Тема 18. Решение задач электротехники с помощью дифференциального исчисления функций нескольких переменных.
Тема 19. Решение задач дифференциальной геометрии.
Тема 20. Дифференциальные операторы в криволинейных координатах.
Тема 21. Расчёт электрического контура с помощью дифференциального уравнения.
Тема 22. Расчёт электрических цепей с помощью систем дифференциальных уравнений.
Тема 23. Решение физических задач с помощью систем дифференциальных уравнений.
Тема 24. Численное решение алгебраических уравнений и систем алгебраических уравнений.
Тема 25. Приближённое решение краевой задачи для
линейного дифференциального уравнения.
Тема 26. Приближённое решение задачи Коши для дифференциального уравнения.
Тема 27. Приближённое вычисление кратных интегралов.
Тема 28. Приближённое решение задач линейной алгебры. (Нахождение собственных чисел и собственных векторов линейного оператора)
Тема 29. Приближённое вычисление несобственных интегралов.
Тема 30. Приближённое вычисление поверхностных интегралов.
Тема 31. Применение теории функций нескольких переменных
Тема 32. Геометрические приложения криволинейных интегралов.
Тема 33. Применение операционного метода к решению задач электротехники и теории электрических цепей.
СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ,
РЕКОМЕНДУЕМОЙ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ
КУРСОВЫХ РАБОТ
1. Шестаков А.А.Курс высшей математики. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Векторный анализ/ А.А. Шестаков, И.А. Малышева, Д.П. Полозков М., 1987.
2. Мантуров О.В. Курс высшей математики. Ряды. Уравнения математической физики. Теория функций комплексной переменной. Численные методы. Теория вероятностей/ О.В. Мантуров М., 1991.
3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления/ Г.М. Фихтенгольц М.: Наука, 1989. Т.1,2,3.
4. Ляшко И.И. Математический анализ в примерах и задачах. Введение в анализ, производная, интеграл/ И.И. Ляшко Киев: Высш. шк., 1975. Ч.1.
5. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции/ П.И. Романовский М.: Наука, 1980.
6. Окунев Л.Я. Высшая алгебра/ Л.Я. Окунев М.: Гостехиздат, 1966.
7. Курош А.Г. Курс высшей алгебры/ А.Г. Курош М.: Гостехиздат,1966.
8. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных
дифференциальных уравнений/ И.Г. Петровский М.: Наука, 1970.
9. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения/ Л.С. Понтрягин М.: Наука, 1974.
10. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений/ В.В. Степанов М.: Гостехиздат, 1973.
11. Демидович Б.П. Лекции по математической теории
устойчивости/ Б.П. Демидович М.: Наука, 1967.
12. Камке Э. Справочник по обыкновенным
дифференциальным уравнениям/ Э. Камке М.: Наука, 1971.
13. Самойленко A.M. Дифференциальные уравнения. Примеры и задачи/ A.M. Самойленко, С.А. Кривошея, Н.А. Перестюк М.: Высш. шк.. 1989.
14. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике: Дифференциальное исчисление функций одной и многих независимых переменных/ И.А. Каплан Харьков, 1963. Ч. 2
15. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Кратные и криволинейные интегралы/ И.А. Каплан Харьков, 1963. Ч. 4.
16. Садовничий В.А. Задачи студенческих олимпиад по математике/ В.А. Садовничий, А.С. Подколзин М.: Наука, 1978.
17. Амосов А.А. Вычислительные методы для инженеров/ А.А Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В., Копченова М.: Высш. шк., 1994.
18. Плис А.И. Лабораторный практикум по высшей математике/ А.И. Плис, Н.А. Сливина М.: Высш. шк., 1994.
19. Бутенин Н.В. Введение в теорию нелинейных колебаний/ Н.В. Бутенин, Ю.И. Неймарк , Н.А. Фуфаев М.: Наука, 1976.
20. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники/ Л.А. Бессонов М.: Высш. шк., 1973.
21. Батаронов И.Л. Задачи и упражнения по курсу высшей математики и основам физико-математического моделирования для студентов физико-технических специальностей: учеб. пособие/ И.Л. Батаронов, В.В. Дежин, В.И.Минаков Воронеж: ВПИ, 1992. Ч. 1, 2.
22. Семенов М.П. Основы численных методов: учеб. пособие/ М.П.Семенов, А.А. Катрахова, В.В. Жучкова Воронеж: ВГТУ, 1997.
23. Сидоров Ю.В. Лекции по теории функций комплексного переменного/ Ю.В. Сидоров, М.В. Федорюк, М.В. Шабунин М.: Наука, 1989.
24. Краснов М.Л. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости/ М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко М.: Наука, 1981.
25. Араманович И.Г. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости/ И.Г. Араманович, Г.Л. Лунц, Л.Э. Эльсгольц М.: Наука, 1981.
26. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах/ П.Е. Данко, А.Т. Попов, Т.Я. Кожевникова М.: Высшая школа, 1997. Ч.2.
27. Семенов М.П., Катрахова А.А. Элементы теории функций комплексного переменного и операционное исчисление: учеб. пособие/ М.П., Семенов, А.А. Катрахова Воронеж: Изд-во ВГТУ, 1999.
28. Теоретические основы электротехники/ Под ред. П.А. Ионкина М.: Высшая школа, 1976. Т.1.
29. Букатова В.Е. Методические указания к практическим занятиям по курсу «Теоретические основы электротехники» по разделу «Переходные процессы в электрических цепях»/ В.Е. Букатова, Л.Н. Мельникова Воронеж, 1986.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПРИКЛАДНОГО ХАРАКТЕРА
Пример
1. Конденсатор
емкостью С
разряжается через цепь с сопротивлением
R
и индуктивностью
L(рис.
1). Найти закон изменения напряжения на
обкладках конденсатора u(t),если
в начальный момент времени напряжение
,
а сила тока в цепи
.
Рис. 1.
Решение.
На основании закона Кирхгофа искомое
напряжение на обкладках конденсатора
,
где, как известно,
.
Подставив второе уравнение в первое,
получим
.
Таким образом, для определенияu(t)
получена
задача Коши:
,
,
.
Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид:
.
Рассмотрим различные случаи:
1)
При R
= 0 корни
характеристического уравнения чисто
мнимые
и
общее решение
.
Находим
и
из начальных условий получаем
,
,
.
Тогда
.
Видим, что напряжение на обкладках
конденсатора изменяется периодически
по гармоническому закону.
2)
При
корни
характеристического уравнения комплексные
и общее решение
,
где
.
Находим
из
начальных условий получаем
,
,
.
Тогда
.
Напряжение на обкладках конденсатора стремится к нулю, совершая периодические затухающие колебания.
3)
При
корни
характеристического уравнения
действительные кратные
и
общее решение
.
Находим
и изначальных
условий получаем
,
,
.
Тогда
Напряжение на обкладках конденсатора стремится к нулю (затухающий апериодический процесс).
4)
При
корни
характеристического уравнения
действительные различные
и
общее решение
.
Находим
и
изначальных
условий получаем
,
.
Тогда
.
Напряжение па обкладках конденсатора стремится к нулю (затухающий апериодический процесс).
Пример 2.
а)
К источнику тока с ЭДС равной
(E>
0)подключен
контур, состоящий из последовательно
соединенных катушки индуктивности L>0,
омического сопротивления R>0
и емкости С
> 0 (рис. 2).
Найти силу тока i(t)
в контуре в установившемся режиме, а
также
резонансную частоту
и
амплитуду тока при
.
Рис. 2.
.
Эти напряжения связаны
с током в цепи i(t)
соотношениями:
,
,
.
Таким образом, получаем интегро-дифференциальное
уравнение для тока в контуре
,
которое после дифференцирования по t приводится к линейному неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка
.
Общее
решение этого уравнения имеет вид
,
где общее решение однородного
уравнения
,
а частное решение неоднородного
-
периодическое. В этом случае говорят,
что решение iописывает
переходный
режим, а
решение
- установившийся режим.
Частное
решение неоднородного уравнения ищем
в виде:
.
Подставляя это выражение в уравнение, находим
,
.
Запишем
частное решение полученного уравнения
в виде
,
где амплитуда
колебаний тока
,
.
Резонансную
частоту находим из условия
.
Отсюда следует
.
Очевидно, что минимальное значение
достигается при
,
откуда
.
Амплитуда
колебаний тока при резонансе
.
б)
В контуре,
состоящем из последовательно соединенных
катушки индуктивности
,
конденсатора емкости
и резистора сопротивления
в момент времени
включается Э.Д.С.
(рис. 2).
В этот момент ток в контуре и заряд
конденсатора равны нулю. Найти законы
изменения напряжения на конденсаторе
и тока в цепи
.
Решение. Поскольку элементы цепи соединены последовательно, то из закона Кирхгофа имеем равенство
(1)
где соответствующие напряжения выражаются через ток в цепи по формулам:
,
(2)
(3)
(4)
(5)
В
силу (2),(3) и (5) имеем
,
и поэтому из (1) получаем дифференциальное
уравнение
(6)
с начальными условиями
(7)
Рассмотрим
случай постоянной Э.Д.С.
.
Совершая преобразование Лапласа с
учетом (7) получим:
В
нашей задаче от дифференциального
уравнения (6) перейдем к операторному
уравнению
,
откуда находим изображение напряжения
на конденсаторе:
(8)
В квадратном трехчлене выделим полный квадрат:
где
.
Раскладывая дробь в (8) на сумму простейших
дробей, получим
(9)
Далее рассмотрим различные возможные случаи.
а)
Если
(сверхпроводимость), то
и выражение (9) примет вид
Переходя от изображения к оригиналу,
получим искомое напряжение:
Отсюда в силу (5) находим ток в контуре:
Таким образом, при имеют место гармонические колебания тока в контуре и напряжения
б)
Если сопротивление мало (
),
то
и
можно считать действительным положительным
числом. В этом случае в формуле (9)
выражение в скобках имеет следующий
оригинал
Получаем искомое напряжение на конденсаторе:
Отсюда в силу (5) находим ток в контуре:
В
этом случае имеют место затухающие
колебания тока в контуре и напряжения
на конденсаторе, причем напряжение на
конденсаторе стремится к
,
а ток к нулю.
в)
Если
,
то
и выражение (9) примет вид
переходя от изображения к оригиналу,
получим искомое напряжение:
Отсюда в силу (5) находим ток в контуре:
В этом случае колебания в контуре отсутствуют, напряжение на конденсаторе стремится к , а ток в цепи стремится к нулю.
г)
Если сопротивление велико (
),
то
.
Обозначим
,
где
можно считать действительным
положительным числом. В этом случае в формуле (9) выражение в скобках имеет следующий оригинал
Получаем
искомое напряжение на конденсаторе:
Отсюда в силу (5) находим ток в контуре:
В
этом случае колебания в контуре
отсутствуют, напряжение на конденсаторе
стремится к
,
а ток в цепи стремится к нулю, так как
.
Замечание.
Операционный метод используется и при
решении интегро-дифференциальных
уравнений. В нашей задаче можно вначале
находить ток
,
для которого в силу уравнений (1) (4) имеем
(10)
Если
,
то с учетом начальных условий (7) и
свойства интегрирования оригинала
получим
Производим преобразование Лапласа уравнения (10):
Отсюда получаем
где
Далее рассмотрим различные возможные
случаи.
а)
Если
(сверхпроводимость), то
и выражение (11) примет вид
Переходя от изображения к оригиналу,
получим искомый ток:
Таким образом, при имеют место гармонические колебания тока в контуре.
б)
Если сопротивление мало (
),
то
и
можно считать действительным положительным
числом. В этом случае
.
В этом случае имеют место затухающие
колебания тока в контуре, так как
в)
Если
,
то
,
и выражение (11) примет вид
.
Переходя от изображения к оригиналу,
получим искомое значение тока:
В этом случае колебания в контуре
отсутствуют, ток в цепи стремится к
нулю, так как
г)
Если сопротивление велико
,
то
.
Обозначаем
,
где
можно считать действительным положительным
числом. В этом случае выражение (11) имеет
следующий оригинал
В этом случае колебания в контуре отсутствуют, ток в цепи стремится к нулю, так как .
Пример 3. Операционный метод применим не только при решении обыкновенных дифференциальных уравнений, но и для некоторых уравнений с частными производными, например, для линейных уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда неизвестная функция зависит от двух переменных. С помощью преобразования Лапласа такое уравнение можно свести к обыкновенному дифференциальному уравнению с параметром. Решая это уравнение и применяя к его решению обратное преобразование Лапласа по параметру, получим решение исходной задачи.
Рассмотрим
задачу распространения электрических
колебаний вдоль длинных линий. Известно,
что напряжение
и ток
в линии связаны системой дифференциальных
уравнений в частных производных
(*)
где
-
активное сопротивление;
-
индуктивность;
-
проводимость изоляции;
-
емкость, рассчитанные на единицу длины
линии. Будем решать задачу, для которой
в начальный момент времени напряжение
и ток равны нулю:
.
Совершая преобразования Лапласа:
и
,
получаем по теореме о дифференцировании
оригинала
По теореме о дифференцировании по
параметру:
-
здесь считаем, что параметр 
-
постоянная величина. После простых
преобразований система, соответствующая
(*), примет вид
Это система обыкновенных дифференциальных уравнений. Сведением к одному уравнению второго порядка получаем
Его
общее решение имеет вид
,
где
-
корень характеристического уравнения.
Функцию
найдем дифференцированием из первого
уравнения системы
Чтобы
найти постоянные
нужно
задать краевые условия, т.е. знать
«поведение» напряжения и тока в начале
(
)
и в конце отрезка (
)
или (
).
Пусть
Так как мы рассматриваем более простую
задачу (линия очень длинная), то считаем,
что
Условие
заменяется требованием ограниченности
как функции
,
так и
при
.
Если
выбрано
так, что
,
то
при
и нужно положить
Начальному условию
соответствует
Таким образом,
и
,
так как
при
,
а
.
Рассмотрим
простейший случай, соответствующий
линии без потерь, то есть при
В этом случае
и
Оригиналы находятся по теореме
запаздывания
при
при
Процесс распространения как
так и
носит волновой характер. В точке
напряжение возникает в момент
значит, скорость распространения волны
равна
В общем случае процесс будет происходить
с той же скоростью, но затухать по
амплитуде из-за потерь в линии.
9. Темы, выносимые
на самостоятельное изучение
ТЕМА №1
ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ВЕКТОРНОМ АНАЛИЗЕ. ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА
Литература: [5], [9], [11], [15].
Основные понятия
В теории поля важное значение имеют следующие
понятия: gradu, diva, rot a. Эти операции можно выразить при
помощи
символического оператора
(«набла»), называемого оператором
Гамильтона. Это символический вектор
.
Он приобретает определенный смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями.
При
умножении вектора
на скалярную функцию
получаем
.
Скалярное
произведение
на вектор
запишется так
.
Векторное произведение на вектор запишется так
.
Производная
скалярной функции
по направлению единичного вектора
от векторной функции запишется так
.
По
аналогии с производной по направлению
от скалярной функции вводится понятие
производной по направлению единичного
вектора
от векторной функции
.
Рассмотренные выше операции называются дифференциальными операциями первого порядка.
Замечание
1. Производная
по направлению произвольного (не
единичного) вектора
отличается от производных по направлению
единичного вектора только тем, что в
них входит дополнительный скалярный
множитель
,
т.е.
;
.
Замечание
2. При
применении оператора
к произведениям следует учитывать, что
по существу он представляет собой
оператор дифференцирования и,
следовательно, подчиняется правилу
дифференцирования произведения.
Например, для произведения двух скалярных
функций u
и v
получаем
,
что означает
.
Замечание 3. Такое правило действий над произведениями гарантирует безошибочность результатов только в тех случаях, когда оператор применяется один раз к произведениям двух скалярных функций или скалярной и векторной функции, и когда скалярный множитель можно вынести за знак скалярного и векторного произведений.
Выражения
,
,
,
называются дифференциальными
операциями второго порядка,
так как они сводятся к двукратному
дифференцированию скалярных и векторных
функций и в их символической записи
оператор Гамильтона
встречается два раза.
Используя оператор можно записать, что
.
Получим
скалярный оператор
,
который носит название оператора
Лапласа и
обозначается символом
,
т.е. справедливо соотношение
.
Определение
1. Векторное
поле называется лапласовым (или
гармоническим), если оно одновременно
и потенциальное и соленоидальное, т.е.
и
.
Определение
2. Функция
,
удовлетворяющая уравнению Лапласа
,
называется гармонической функцией.
Контрольные вопросы и задания
1. Запишите с помощью оператора выражения для дифференциальных операций первого порядка.
2. Какие выражения называются дифференциальными операциями второго порядка?
3. Дайте определение лапласова векторного поля.
4. Какая функция называется гармонической?
5. Докажите свойства линейности оператора Гамильтона:
1).
;
2).
;
3).
,
где
и
- константы,
и
- скалярные поля,
и
- векторные поля.
Примеры решения задач
Пример
1. Найти
символическим методом (при помощи
оператора
)
.
Решение.
В данной задаче операция
совершается над произведением двух
векторных функций. Поэтому будем
руководствоваться следующим правилом:
оператор
применяется только к одному из
сомножителей, для чего над ним будем
ставить знак ↓. Полученные таким образом
тройные произведения преобразуют по
правилам векторной алгебры так, чтобы
оператор
стоял на предпоследнем месте перед
множителем, снабженным знаком ↓. В конце
преобразований знак ↓ отбросим. В
соответствии с формулой для смешанного
произведения
получим соотношения
и
.
Значит
или
.
В частности, если
- постоянный вектор, то
и
.
Пример 2. Доказать справедливость формулы
.
Решение.
Воспользуемся формулой векторной
алгебры
.
Получим
или
,
где
.
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
1)
Доказать, что а)
;
б)
2) Доказать справедливость формулы
.
3)
Доказать, что потенциал
двумерного или трехмерного лапласова
поля является гармонической функцией
двух или трех переменных.
4) Доказать справедливость формул:
а)
;
б)
в)
.
5) Проверить, является ли следующие скалярные поля гармоническими:
а)
;
б)
.
Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа.
ТЕМА №2