Введение

В межвузовском сборнике научных трудов «Вопросы теории и приложений математических моделей механики и процессов переноса» опубликованы работы преподавателей кафедры прикладной математики и механики, преподавателей других кафедр ВГТУ, а также коллегами из других вузов г. Воронежа. Представленные статьи носят теоретический и прикладной характер и посвящены вопросам анализа операторов, построения и исследования математических моделей, возникающих в задачах механики конденсированных сред и технологических задачах, связанных с научными направлениями, рекомендованными Ученым Советом ВГТУ.

В трех работах сборника проведен анализ множества неподвижных точек абстрактного оператора определенного типа, анализ ветвления решений нелинейного уравнения, рассмотрен вопрос обратимости разностных операторов с медленно изменяющимися коэффициентами.

В другом классе работ представлены результаты исследований волновых процессов в нелинейно-упругих и нелинейных наследственно-упругих средах. Рассмотрен метод решения нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, описывающих распространение волн в полубесконечной среде.

В ряде работ решены прикладные задачи об оценке эффективности аддитивных технологий, моделировании и анализе напряженно-деформированного состояния капсул, устойчивости неклассических подкрепленных оболочек.

В следующей группе работ рассмотрена устойчивость листовых материалов при деформировании, предельные деформации разрушения таких материалов, а также вопросы равновесия деформируемых стержневых систем.

Представленные в сборнике статьи имеют практическую направленность и могут служить основой инновационных решений. Результаты публикуемых работ могут представлять интерес для специалистов в области прикладной математики, механики, теории тепло- и массопереноса в композитных системах, материаловедения, а также для аспирантов, специализирующихся в соответствующих направлениях исследований.

УДК 624.073

В.И. Ряжских, а.В Ряжских, в.А. Рябцев о некоторых особенностях функционалов для плоских задач теплопроводности

Получена вариационная формулировка краевой задачи о температурном поле тонкой изотропной пластины при теплоотдаче на поверхностях. Доказано, что компоненты функционала краевой задачи, являющиеся интегралами по частям внешней границы пластины, на которых задана фиксированная температура, имеют постоянные величины

Н а основе уравнения стационарной теплопроводности получена вариационная формулировка краевой задачи о температурном поле тонкой плоской изотропной пластины при теплоотдаче на поверхностях и внешней границе. Доказано, что

• компоненты функционала, порожденные интегралами по частям внешней границы пластины, на которых задана фиксированная температура, имеют постоянные величины;

• смешанные граничные условия на внешнем контуре пластины для указанного функционала являются естественными.

Уравнение стационарной теплопроводности пластины в системе координат , имеет вид

, (1)

где - абсолютная температура; -температура окружающей среды; -оператор Лапласа; ; ; , -коэффициенты теплопередачи на поверхностях пластины и теплопроводности материала; -толщина пластины;

.

Пусть - область, занятая срединной плоскостью пластины в системе (рисунок), -открытое множество, а - граница . Пусть на задана температура , а на части границы теплообмен отсутствует и выполняется условие Неймана , где - нормаль к . Пусть на происходит теплопередача в окружающую среду с температурой . Тогда

. (2)

Если функция - решение краевой задачи (1)-(2), то очевидно, что функция есть решение краевой задачи для уравнения

, (3)

и граничных условий на , и

. (4)

Энергетическая норма , порожденная оператором [1]

, (5)

где ;

; - элемент длины границы ; - направляющие косинусы внешней нормали к границе пластины.

На участке внешней границы

.

На участке

.

Вариация

. (6)

Так как на границе температура не варьируется, интеграл от первого слагаемого равен нулю. Поскольку вариация производной равна производной от вариации

Пусть длина и - параметр, такой, что , . Тогда

= , (7)

где - производные по ; -значения параметра для начальной и конечной точек кривой .

Пусть каждой точке проекции кривой на ось х или у соответствует единственная точка , , существуют взаимно-однозначные функции и , производные

, , а -

координаты начальной и конечной точек границы и выполняются другие условия, необходимые для вычисления интегралов . Если какой-либо участок границы перпендикулярен одной из осей координат, то на этом участке или равны нулю и одно из слагаемых заведомо равно 0, а второе слагаемое может быть вычислено. Следовательно, при указанных условиях интеграл существует.

Интегрирование по частям дает

,

.

Поскольку в любой точке температура не варьируется, эти интегралы равны нулю. Поэтому, на границе, на которой задана функция , вариация (6) криволинейного интеграла, вызванная вариацией температуры, равна нулю.

Следовательно, при минимизации функционала величина сохраняется. Величин можно вычислить при задании функции , удовлетворяющей граничным условиям, но равной нулю или постоянной всюду в (например ). Для такой функции и . Это позволяет при минимизации определять значение с точностью до постоянного слагаемого , что значительно упрощает вычисления. Поэтому для определения можно использовать функционал . По , можно оценивать отклонение от минимального его значения.

Пусть - гильбертово пространство и [[1]. Величина является энергетической нормой , не равной тождественно нулю всюду в и удовлетворяющей указанным граничным условиям. Согласно [1] §8, оператор является положительным в . Существование единственного решения для задачи Дирихле для оператора при смешанном краевом условии типа (4) доказано в [1] §25. Если функция удовлетворяет уравнению и граничным условиям (4), то она минимизирует функционал .

Для минимизации функционалов можно использовать дискретизацию области методом конечных элементов или конечных разностей. В последнем случае возникают существенные трудности, связанные с аппроксимацией граничных условий конечно-разностными выражениями, которые вызывают основную проблему. Процесс решения подобных задач оптимизационными методами существенно упрощается при естественных граничных условиях для . Для , минимизирующей функционал задачи оптимизации естественное граничное условие удовлетворяется автоматически.

Ниже доказывается, что граничное условие (4) для функционала , порожденного оператором , является естественным.

Пусть условие (4) является единственным. Функционал

является энергетической нормой для оператора . Очевидно, что оператор положителен в .

Пусть - дважды дифференцируемая в функция, удовлетворяющая только (3) и сообщающая минимум . Пусть произвольное вещественное число и -произвольная функция, дважды дифференцируемая . Если фиксирована, то функционал становится функцией и имеет минимум при =0. Тогда должно выполняться очевидное условие

.

Легко проверить, что

.

Производная этого выражения по при =0 имеет вид

. (8)

На основании формулы Грина

.

Равенство (8) принимает вид

.

Для произвольной функции это возможно только при

, ,

что означает, что есть решение задачи (3)-(4).

Полученный результат означает, что при решении задачи (3)-(4) методом конечных разностей при непосредственной аппроксимации вторых производных уравнения (3) и последующем использовании сеточной нормы соответствующей матрицы системы разностных уравнений и функционала - сеточного аналога функционала , интегралы типа в выражение для не войдут. Функция, удовлетворяющая условиям на и сообщающая минимум , будет удовлетворять и условиям (4). Следовательно, при поиске решения путем минимизации функционала , естественные граничные условия (4) можно не учитывать. Это условие выполняется при любом способе дискретизации области .

Очевидно, что для функции , являющейся решением задачи (3)-(4) и . При определении путем оптимизации можно использовать (5), содержащее первые производные , или скалярное произведение выражения на . В последнем случае должна иметь непрерывные вторые частные производные. Каждый из указанных способов имеет свои преимущества и недостатки и априорно о выгодности этих способов судить бесполезно.

Литература

1. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике / С.Г. Михлин.– Москва: Издательство Наука, 1970.- 512 с.

Воронежский государственный технический университет

УДК 539.31

А.П. Бырдин, В.С. Прач, А.А. Сидоренко, О.А. Соколова

ОБРАЩЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ

ОПЕРАТОРОВ НЕКОТОРОГО КЛАССА В ТЕОРИИ

ВЯЗКОУПРУГОСТИ

Получены выражения для ядер обратного оператора к нелинейному аналитическому оператору с сепарабельными ядрами. Рассмотрено приложение к решению нелинейных дифференциальных уравнений определенного типа

Как известно, определяющее отношение для нелинейных наследственно-упругих сред можно представить в виде нелинейного аналитического функционала [1]

(1)

, (2)

где - напряжение, - деформация, - ядра наследственности порядка m.

Известно, что если ядро соотношения (1) содержит аддитивно составляющую в виде дельта – функции, то это соотношение можно обратить [2], и обратное соотношение представляется в виде аналитического оператора

, (3)

действие которого на функции задается аналогично равенству (2).

Одной из задач настоящего исследования является конструктивное построение ядер оператора по заданным ядрам оператора . Рассматривая равенство (1) как уравнение относительно функции при заданных напряжениях, а соотношение (3) как решение этого уравнения, с помощью техники много мерного интегрального преобразования Лапласа можно получить следующую рекуррентную систему уравнений, связывающую искомые ядра оператора с заданными функциями наследственности

, (4)

где - лаплас-образ функции , - длина мультииндекса J, - символ Кронекера. Из соотношения (4) можно получить и интегральные уравнения, связывающие ядра операторов и в пространстве оригиналов

,

(5)

.

При условии сепарабельности ядер релаксации

(6)

Можно получить замкнутое решение соотношений (4)

и моделируя зависимость коэффициентов сепарабельности от номера, можно получить конкретный вид функции . Например, если соотношение (1) содержит интегралы нечетной кратности и , то

.

Функции построены и для других моделей коэффициентов, используемых в литературе, а методом их построения является метод производящих функций. Рассмотрен пример – ползучесть под действием ступенчатого возбуждения.

Наиболее распространенным методом решения динамических задач нелинейной вязкоупругости является метод осреднения, основанный на предположениях малости вязкости и нелинейности в системе. Однако в решении, построенном этим методом, не учитывается влияние высших гармоник, что может оказаться существенным.

Развиваемый в этой работе метод рядов Вольтерра для решения нелинейных интегродифференциальных уравнений наследственной упругости имеет то преимущество, что фактические вычисления сводятся к алгебраическим и квадратурным.

Как и в квазистатическом случае, метод основан на представлении решения в виде нелинейного аналитического функционала возбуждения с последующим построением рекуррентного соотношения для изображений ядер обратного оператора и вычислением квадратур.

Пусть закон движения наследственно-упругой системы описывается уравнениями

,

, . (7)

Разыскивая решение задачи (7) в виде (2), можно получить соотношение типа (4), в котором вместо функций фигурируют функции . С помощью многовременных соотношений типа (5) можно найти ядра оператора и построить решение задачи.

В качестве примера рассмотрим решение нелинейного интегродифференциального уравнения, моделирующего задачу о колебаниях осциллятора с нелинейно-наследственной возвращающей силой.

Ниже рассматривается задача о стационарных колебаниях нелинейного наследственно-упругого осциллятора методом интегростепенных рядов Вольтерра [3].

Уравнение движения одномассового осциллятора имеет вид

, (8)

где - перемещение, масса осциллятора (без массы пружины), Е – коэффициент жесткости пружины, - амплитуда возбуждения,

(n=1,2,…), (9)

- ядра наследственности, свойства которых описаны в [2].

В безразмерных переменных уравнение (8) примет вид

, (10)

где , - время релаксации материала пружины, - безразмерная амплитуда возбуждения (штрих у новой временной переменной опущен).

Стационарное решение уравнения (10) разыскиваем в виде

, (11)

где операторы определены аналогично операторам (9).

Определение ядер интегральных операторов (n=1,2,…) в (11) осуществляется разрешением рекуррентного соотношения для Фурье-трансформант этих ядер [4]

, (12)

,

где звездочка над буквой обозначает трансформанту Фурье соответствующей функции; остальные обозначения совпадают с обозначениями в работе [3].

Пусть функция , описывающая внешнее силовое воздействие на осциллятор, представляется тригонометрическим полиномом

,

(13)

, ,

где N - фиксированное натуральное число, черта над буквой обозначает комплексное сопряжение.

Стационарное решение уравнения (10) получим из (11) и (13), изменив порядок выполнения операций суммирования и произведения, и проинтегрировав результат по (k=1,2,…,n). Имеем

,

(14)

,

где сумма в последнем выражении (14) берется по целым решениям уравнения ; при этом «длина» мультииндекса может быть и отрицательной.

Выражение (14) вместе с рекуррентной системой (12) и формулами (13) представляет собой формальное решение уравнения (10).

Покажем, что (14) является решением уравнения (10) в частном случае сепарабельности весовых функций релаксации (6).

Ввиду наличия параметра Р в правой части уравнения (10), очевидна справедливость неравенства . Поэтому для всех m выполняется . Учитывая эти замечания получаем оценку коэффициентов ряда по параметру Р в (14)

.

Таким образом, функциональный ряд (14) мажорируется следующим степенным рядом

. (15)

Можно показать, что при условии сепарабельности заданных функций (6) из рекуррентной системы уравнений (12) вытекает следующая оценка Фурье-трансформант ядер интегральных операторов, представляющих решение (11)

, (16)

где - полином Лежандра порядка n,

, ,

, .

Учитывая оценку (16), получим интервалы сходимости мажорирующего ряда (15) для двух случаев:

при условии , имеем

; (17)

при условии , имеем

. (18)

Аналогично вышеизложенному можно показать, что функция , полученная почленным дифференцированием (14), представляется равномерно сходящимся рядом в интервале (17) или (18).

Таким образом, тригонометрический ряд (14), с аналитическими по амплитуде возбуждения коэффициентами, представляет собой отклик нелинейной наследственно-упругой системы на периодическое возбуждение при условии, что амплитуда внешней силы подчинена ограничениям, связывающим амплитуду с реологическими и механическими параметрами системы.

Литература

1. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. – М.: Наука, 1977. – 384 с.

2. Победря Б.Е. Математическая теория нелинейной вязкоупругости. – Упругость и неупругость, 1973, вып. 3, с. 95-173.

3. Бырдин А.П., Розовский М.Н. О волнах деформации в нелинейной наследственно-упругой среде // Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1984, №4. – с. 100-104.

Воронежский государственный технический университет

Донецкий политехнический институт (г. Донецк, Украина)

УДК 517.982.224