2.5. Распределение Пуассона.

Предположим, что некоторые события происходят в случайные моменты времени, непрерывно распределенные по числовой оси.

Такие события образуют последовательность событий, называемую обычно потоком событий.

Примерами потока событий могут служить вызовы абонентов на телефонной станции, пересечения перекрестка транспортными средствами, отказы элементов какой-нибудь технической системы.

Во многих задачах практики можно считать, что поток событий удовлетворяет следующим условиям:

1) если — любые не перекрывающиеся интервалы времени, то вероятность появления любого числа событий в течение одного из них не зависит от того, сколько событий появляется в течение другого;

2. вероятность появления одного события в течение бесконечно малого интервала времени есть бесконечно малая величина порядка

3. вероятность появления больше одного события в течение интервала времени есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с

Очевидно, что число событий, появляющихся в течение любого интервала времени представляет собой прерывную случайную величину, возможными значениями которой являются все целые неотрицательные числа

Обозначим эту случайную величину , а вероятность того, что она примет значение обозначим или, короче,

Найдем закон распределения этой случайной величины.

Для вычисления вероятностей дадим аргументу бесконечно малое приращение

Согласно последним двум условиям, наложенным на поток событий,

где v(/)— некоторая неотрицательная функция, которую мы будем считать известной.

Символом принято обозначать любую (а не какую-нибудь конкретную) бесконечно малую величину высшего порядка по сравнению с , так что

Очевидно, что сумма любого конечного числа таких величин есть тоже величина

При выкладках произведем в уравнениях замену переменных

Это возможно, так как функция неотрицательна, вследствие чего является монотонно неубывающей функцией t

Очевидно, что

_{Окончательно придем к следующей формуле}

Полученная формула полностью определяет закон распределения числа событий, появляющихся в течение данного интервала времени

Этот закон распределения называется законом Пуассона.

Выясним смысл параметра Для этого вычислим математическое ожидание числа событий, появляющихся в течение интервала времени

Пользуясь общей формулой для математического ожидания прерывной случайной величины, получим

Ряд в правой части этого равенства представляет собой разложение п оказательной функции

Следовательно,

Таким образом, параметр представляет собой математическое ожидание случайной величины, распределенной по закону Пуассона (числа событий в данном интервале времени).

Из доказанного следует, что величина в точке непрерывности t функции представляет собой с точностью до бесконечно малых высших порядков математическое ожидание числа событий, появляющихся в течение бесконечно малого интервала времени

Следовательно, величина

представляет собой среднюю скорость появления событий, или среднее число событий, появляющихся в единицу времени.

Поэтому величина называется средней плотностью или интенсивностью потока событий.

Потоки событий рассмотренного типа называются пуассоновскими, так как число событий, появляющихся в течение любого интервала времени, для такого потока представляет собой случайную величину, распределенную по закону Пуассона.