- •Введение
- •Глава 1. ОСновные понятия теории множеств, комплексных чисел и алгебры многочленов
- •1. Элементы теории множеств и комплексных чисел
- •1.1. Понятие множества. Операции над множествами
- •1.2. Числовые множества и их свойства.
- •2. Алгебра многочленов.
- •Глава 2. Матрицы. Определители
- •1. Алгебра матриц.
- •Виды матриц.
- •2. Определитель n-го порядка.
- •2.1. Определение. Вычисление определителей 2 и 3-го порядков.
- •2.2.Миноры и алгебраические дополнения.
- •2.3.Свойства определителя n-го порядка.
- •3. Действия над матрицами.
- •3.1. Линейные операции над матрицами.
- •3.2. Умножение матриц.
- •3.3. Многочлены от матриц.
- •3.4. Обратная матрица.
- •Вычисление обратной матрицы (через алгебраические дополнения).
- •3.5. Линейная зависимость строк и столбцов матрицы.
- •3.6. Ранг матрицы. Базисный минор.
- •3.7 Нахождение ранга матрицы
- •Вопросы для повторения.
- •Глава 3. Системы линейных уравнений и методы их решения.
- •1. Основные понятия и определения
- •2. Условия совместности системы линейных уравнений
- •3. Метод обратной матрицы
- •4. Правило Крамера
- •5. Метод Гаусса исключения неизвестных
- •7. Метод полного исключения
- •7.1. Решение систем линейных уравнений
- •7.2. Вычисление обратной матрицы методом полного исключения.
- •7.3. Вычисление ранга матрицы методом полного исключения
- •Линейное пространство.
- •8. Собственные значения и собственные векторы матриц
- •9. Квадратичные формы
- •10. Численные методы решения систем линейных уравнений
- •Вопросы для повторения.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Глава 4. Векторная алгебра
- •Векторное произведение двух векторов.
- •Вопросы для повторения.
- •Глава 5. Задачи линейного программирования
- •1. Постановка задачи линейного программирования (злп)
- •2. Графический метод решения злп
- •3. Симплекс – метод решения злп
- •4. Двойственные злп
- •Методы определения опорного плана тз.
- •Вопросы для повторения.
- •Глава 6. Балансовые модели
- •1. Экономико-математическая модель (эмм) межотраслевого стоимостного баланса (модель Леонтьева)
- •Модель международной торговли
- •Вопросы для повторения.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Библиографический список
- •Глава 1. ОСновные понятия теории множеств, комплексных чисел и алгебры многочленов 4
- •Глава 2. Матрицы. Определители 17
- •Глава 3. Системы линейных уравнений и методы их решения. 52
- •Глава 4. Векторная алгебра 103
- •Глава 5. Задачи линейного программирования 118
- •Глава 6. Балансовые модели 153
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
3.4. Обратная матрица.
Определение. Квадратная матрица A называется вырожденной (невырожденной), если .
Определение. Матрица называется правой (левой) обратной матрице , если AB=I (CA=I).
Теорема. Если для матрицы существуют левая обратная матрица C и правая обратная матрица B, то C=B.
Доказательство.
C=CI=C(AB)=(CA)B=IB=B, ч.т.д.
Определение. Матрица A-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице A, если при умножении матрицы A-1 на данную матрицу A как справа, так и слева, получается единичная матрица: A-1A=AA-1=I.
Понятие о необходимом и достаточном условиях.
Любую теорему можно записать в виде: где A – условие теоремы, а B – её заключение. Высказывание B называется необходимым условием для A, а высказывание A – достаточным условием для B.
Если высказывания A и B таковы, что и (каждое следует из другого), то говорят, что каждое из этих условий является необходимым и достаточным условием другого и пишут
Необходимое и достаточное условие существования и единственности обратной матрицы.
Теорема. Обратная матрица A-1 существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица является невырожденной.
Пример. Вычислить для матрицы A матрицу A-1, пользуясь определением обратной матрицы.
Решение. detA=18-20=-2 Пусть Тогда, по определению обратной матрицы, AA-1=I.
Следовательно,
Получили, что . Проверим выполнение условия A-1A=I:
Итак, A-1A=AA-1=I .
Свойства обратной матрицы.
Если , то:
(A-1)-1=A;
(A-1)T=(AT)-1;
(AB)-1=B-1A-1;
Вычисление обратной матрицы (через алгебраические дополнения).
Пусть Тогда , где матрица С имеет вид:
Матрица С называется союзной или присоединённой по отношению к матрице А. Элемент cij матрицы С равен алгебраическому дополнению элемента aji исходной матрицы А,
Пример. Найти матрицу, обратную к матрице:
Решение. . Значит, . Вычислим алгебраические дополнения всех элементов матрицы:
A11=(-1)1+13=3; A12=(-1)1+24=-4;
A21=(-1)2+11=-1; A22=(-1)2+22=2.
Решение матричных уравнений.
Матричным уравнением называется уравнение, в котором роль неизвестной играет некоторая матрица X. Простейшими примерами таких уравнений могут служить уравнения AX=C, XB=C, AXB=C, где X и C – прямоугольные матрицы равных размеров, A и B – квадратные матрицы соответствующих размеров. Если предположить, что и , то эти уравнения имеют единственные решения.
AX=C A-1AX=A-1C IX=A-1C X= A-1C |
XB=C XBB-1=CB-1 XI=CB-1 X=CB-1 |
AXB=C A-1AXBB-1=A-1CB-1 IXI=A-1CB-1 XI=A-1CB-1 X=A-1CB-1 |
3.5. Линейная зависимость строк и столбцов матрицы.
Определение. Количество элементов вектор-строки (столбца) называется длиной (высотой) вектор-строки (столбца).
Определение. Столбец (строка) q называется линейной комбинацией столбцов (строк) p1, p2, , pm одинаковой высоты (длины), если при некоторых числах 1, 2, , m
Теорема. Если столбец (строка) a есть линейная комбинация столбцов (строк) a1, a2, , as, то он (она) является также линейной комбинацией любой системы столбцов (строк), содержащей a1, a2, , as.
10 и 11 свойства определителя n-го порядка.
Если в определителе строка (столбец) является линейной комбинацией других строк (столбцов), то он равен нулю.
Значение определителя не изменится, если к любой его строке (столбцу) прибавить линейную комбинацию других строк (столбцов).
Определение. Столбцы (строки) матрицы p1, p2, , pm называются линейно зависимыми, если существуют числа 1, 2, , m, не равные одновременно нулю, т.е. такие, что линейная комбинация столбцов (строк) матрицы равна нулевому столбцу (строке): Если линейная комбинация столбцов (строк) равна нулевому столбцу (строке) тогда и только тогда, когда то столбцы (строки) p1, p2, , pm называются линейно независимыми.
Теорема. Для того, чтобы система из s>1 столбцов (строк) была линейно зависима, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них был линейной комбинацией остальных.