- •Введение
- •Глава 1. ОСновные понятия теории множеств, комплексных чисел и алгебры многочленов
- •1. Элементы теории множеств и комплексных чисел
- •1.1. Понятие множества. Операции над множествами
- •1.2. Числовые множества и их свойства.
- •2. Алгебра многочленов.
- •Глава 2. Матрицы. Определители
- •1. Алгебра матриц.
- •Виды матриц.
- •2. Определитель n-го порядка.
- •2.1. Определение. Вычисление определителей 2 и 3-го порядков.
- •2.2.Миноры и алгебраические дополнения.
- •2.3.Свойства определителя n-го порядка.
- •3. Действия над матрицами.
- •3.1. Линейные операции над матрицами.
- •3.2. Умножение матриц.
- •3.3. Многочлены от матриц.
- •3.4. Обратная матрица.
- •Вычисление обратной матрицы (через алгебраические дополнения).
- •3.5. Линейная зависимость строк и столбцов матрицы.
- •3.6. Ранг матрицы. Базисный минор.
- •3.7 Нахождение ранга матрицы
- •Вопросы для повторения.
- •Глава 3. Системы линейных уравнений и методы их решения.
- •1. Основные понятия и определения
- •2. Условия совместности системы линейных уравнений
- •3. Метод обратной матрицы
- •4. Правило Крамера
- •5. Метод Гаусса исключения неизвестных
- •7. Метод полного исключения
- •7.1. Решение систем линейных уравнений
- •7.2. Вычисление обратной матрицы методом полного исключения.
- •7.3. Вычисление ранга матрицы методом полного исключения
- •Линейное пространство.
- •8. Собственные значения и собственные векторы матриц
- •9. Квадратичные формы
- •10. Численные методы решения систем линейных уравнений
- •Вопросы для повторения.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Глава 4. Векторная алгебра
- •Векторное произведение двух векторов.
- •Вопросы для повторения.
- •Глава 5. Задачи линейного программирования
- •1. Постановка задачи линейного программирования (злп)
- •2. Графический метод решения злп
- •3. Симплекс – метод решения злп
- •4. Двойственные злп
- •Методы определения опорного плана тз.
- •Вопросы для повторения.
- •Глава 6. Балансовые модели
- •1. Экономико-математическая модель (эмм) межотраслевого стоимостного баланса (модель Леонтьева)
- •Модель международной торговли
- •Вопросы для повторения.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Библиографический список
- •Глава 1. ОСновные понятия теории множеств, комплексных чисел и алгебры многочленов 4
- •Глава 2. Матрицы. Определители 17
- •Глава 3. Системы линейных уравнений и методы их решения. 52
- •Глава 4. Векторная алгебра 103
- •Глава 5. Задачи линейного программирования 118
- •Глава 6. Балансовые модели 153
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
3. Действия над матрицами.
3.1. Линейные операции над матрицами.
Произведением матрицы Am×n на число λ называется матрица Bm×n=λA, элементы которой bij=λaij,
Пример.
Матрица λI называется скалярной матрицей.
Суммой двух матриц A и B одинакового размера m×n называется матрица Cm×n=A+B, элементы которой cij=aij+bij,
Пример.
Разность двух матриц одинакового размера m×n определяется через предыдущие операции: A-B= A+(-1)B.
Пример.
Свойства операций сложения матриц и произведения матрицы на число.
Пусть A, B и C – матрицы, имеющие одинаковые размеры, Тогда:
A+B=B+A;
(A+B)+С=A+(B+С);
(A+B)=A+B;
(+)A=A+A;
()A=(A)=(A);
A+=A;
det(A)=ndetA, A – матрица размера n×n,
Свойства операции транспонирования матриц.
(AТ)Т=A;
(A+B)Т=AТ+BТ;
(A)Т=AТ,
3.2. Умножение матриц.
Умножение матрицы A на матрицу B определено, когда число столбцов матрицы A равно числу строк B (условие сцепления). В этом случае матрица A называется согласованной с матрицей B.
Произведением матриц A размера m×n и B размера n×k называется матрица C, элементы которой cij равны скалярным произведениям векторов-строк матрицы A на векторы-столбцы матрицы B:
Матрица C имеет размер m×k.
Пример.
A3×3B3×2=C3×2=
Свойства произведения матриц.
Произведение вектора-строки на матрицу есть вектор-строка где
Пример.
Произведение матрицы на вектор-столбец есть вектор-столбец где
Пример.
Произведение вектора-столбца на вектор-строку есть матрица
Пример. Вычислим произведение
Произведение вектора- строки на вектор-столбец есть число (или матрица размера 1×1)
Пример.
Пусть A, B, θ, I, C – матрицы соответствующих размеров (чтобы произведения матриц были определены). Тогда:
а) (AB)C=A(BC); д) AI=A;
б) (A+B)C=AB+BC; е) IA=A;
в) A(B+C)=AB+AC; ж) θA=θ;
г) α(AB)= (αA)B; з) Aθ=θ.
Произведение матриц, вообще говоря, некоммутативно, т.е. . Для квадратных матриц A и B одного порядка матрица [A,B]= AB -BA называется коммутатором матриц A и B.
Существуют делители нулевой матрицы, т.е. из AB=θ и и из AB=θ и
В общем случае из того, что AB=AC и
Транспонирование произведения. Пусть Тогда (AB)Т= BТAТ; - условие сцепления выполняется только для BТAТ.
Определитель произведения квадратных матриц одного порядка
Возведение матриц в натуральную степень.
Натуральной степенью квадратной матрицы A называется произведение n матриц, равных A, то есть
Свойства операции возведения в натуральную степень.
1. 2.
Матрица A называется нильпотентной, если для некоторого Наименьшее из чисел m, для которых имеет место это равенство, называется индексом нильпотентности.
Матрица A называется идемпотентной, если A2=A. Матрица A называется инволютивной, если A2=I.
3.3. Многочлены от матриц.
Пусть даны квадратная матрица и многочлен f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an,
Значением многочлена f(x) при x=A или многочленом f(A) от матрицы A называется матрица
f(A)= a0An+a1An-1+…+an-1A+anI,
где I – единичная матрица порядка m. Порядок матрицы f(A) совпадает с порядком матрицы A.
Если f(A)=θ, то многочлен f(x) называется аннулирующим многочленом матрицы A, а сама матрица A – корнем многочлена f(x).
Пример.
A – корень f(x), f(x) – аннулирующий многочлен для матрицы A.