2.4.2. Основное уравнение работы лопастных гидравлических машин (уравнение л. Эйлера)

Абсолютная скорость изменяется по величине от С₁ до С₂. Это изменение одинаково для всех частиц жидкости. Изменение скорости означает изменение количества движе­ния частиц, возможное лишь в результате действия на нее силы, в данном случае со стороны лопатки рабочего колеса. Скорость C, как видно на рис. 15, изменяется не только по величине, но и по направлению. Это значит, что изменяется не только количество движения частиц жидкости, но и мо­мент их количества движения относительно любой оси под действием момента силы, передаваемого лопатками.

Вследствие постоянства угловой скорости вращения w и других условий работы насоса, движение жидкости в нем является установившимся, т.е. с постоянным расходом.

К установившемуся движению жидкости в канале меж­ду двумя бесконечно близкими лопатками на участке кон­трольных сечений (первое сечение - вход на лопатки ко­леса, второе - выход с лопаток колеса) применима теорема механики об изменении момента количества движения. Эта теорема формулируется так: изменение момента ко­личества движения системы материальных частиц за не­который промежуток времени равняется импульсу момента действующих на систему за это время сил.

Математически теорема об изменении момента коли­чества движения записывается в виде:

(d[(mC)r])/dt = dM ,

или

(d[(mC)r]) = dM  dt, (2.39)

где mCr - момент количества движения, кгм²/с;

m - масса частицы жидкости, кг;

С - абсолютная скорость движения частицы жидкости, м/с;

r - расстояние частицы жидкости массой m от оси, м;

t - промежуток времени движения частицы жидкости массой m на участке контрольных сечений, с;

М - момент действующих внешних сил, Нм;

Мt - импульс момента внешних сил, Нмс.

Удобство теоремы об изменении момента количества движения в приложении к сплошной среде заключается в том, что с ее помощью динамическое взаимодействие меж­ду жидкостью и обтекаемыми поверхностями можно оп­ределить по характеру течения в контрольных сечениях без учета структуры потока внутри выделенного объема.

Применяя эту теорему к установившемуся движе­нию жидкости через рабочее колесо центробежного на­соса между контрольными сечениями от входа в колесо до выхода из него, сделаем следующее допущение. При бесконечно большом числе лопаток, т.е. при струйном характере течения жидкости, приращение энергии на этом участке происходит без гидравлических потерь. Кроме того, дифференцирование в уравнении (2.39) за­меним рассмотрением изменения момента количества движения массы жидкости за время t.

Напомним, как определяется момент количества дви­жения жидкости. Пусть некоторое тело А массой m дви­жется с абсолютной скоростью С относительно центра вра­щения О, находящегося в момент времени t на расстоянии r от этой массы (рис. 17).

рис. 17. Схема к вычислению момента

количества движения жидкости

Спроецировав вектор количества движения тела mС на направление, перпендикулярное к лучу, проведенно­му к телу А из точки О, совпадающее с вектором пере­носной скорости вращательного движения U, и умножив полученную проекцию на расстояние ОА = r, получим момент количества движения, который может быть за­писан следующим образом:

m  C  cos  r , или (2.40)

  V  C  cos  r , или (2.41)

/g  V  C  cos  r , или (2.41)

m  C_u  r ,

где  - плотность жидкости, кг/м³;

 - удельный вес жидкости, Н/м³;

g - ускорение свободного падения, м/с²;

V - объем жидкости, поступающий на лопатку рабочего колеса и сходящий с нее за время t, м³;

  V = /g  V - масса, соответствующая объему V жидко­сти, поступающему на лопатку рабочего колеса и сходящему с нее за время t, кг;

С_u = С  cos - окружная составляющая абсолютной скорос­ти, м/с.

Примем в нашем случае промежуток времени беско­нечно малым dt, в течении которого на лопатку рабочего колеса поступает и с лопатки сходит одинаковый (в след­ствие установившегося движения) объем dV, обладающий массой dV (или /g  dV). Количество движения этой массы на входе равно   dV  С₁, (или /g  dV  C₁) и на вы­ходе   dV  С₂ (или /g  dV  C₂). Момент количества дви­жения относительно оси вращения рабочего колеса соот­ветственно будет:

на входе dVС₁cos₁r₁ (или /gdVС₁cos₁r₁);

на выходе dVС₂cos₂r₂ (или /gdVС₂cos₂r₂).

Приращение момента количества движения элемен­тарной струйки жидкости, движущейся по каналу меж­ду двумя лопатками за время dt составит:

dV(С₂cos₂r₂ - С₁cos₁r₁) или (2.44)

/gdV(С₂cos₂r₂ - С₁cos₁r₁) . (2.45)

Импульс момента количества движения равен dMdt, где dM - момент силы, передаваемой жидкости од­ной лопаткой.

На основании указанной теоремы об изменении мо­мента количества движения (2.39) запишем равенство:

/g  dV(С₂cos₂r₂ - С₁cos₁r₁) = dMdt, (2.46)

и после деления на dt получим:

/g  dV/dt(С₂cos₂r₂ - С₁cos₁r₁) = dM . (2.47)

Величина dV/dt представляет собой расход dQ рас­сматриваемой элементарной струйки жидкости, поэто­му имеем:

/gdQ  (С₂cos₂r₂ - С₁cos₁r₁) = dM. (2.48)

Для того чтобы определить полный момент М дей­ствующих внешних сил, с которым рабочее колесо воз­действует на протекающую жидкость, надо проинтегри­ровать выражение (2.48):

dM = (/g)dQ (С₂cos₂r₂ - С₁cos₁r₁)dQ . (2.49)

Интеграл берется по всем каналам между лопатка­ми, т.е. по всей окружности рабочего колеса.

В начале вывода указывалось, что число лопаток при­нято бесконечно большим, благодаря чему можно счи­тать абсолютные скорости на входе С₁ и на выходе С₂, а также углы ₁ и ₂ входа и выхода струи одинаковыми для всех каналов между лопатками. Отсюда член в скоб­ках в выражении (2.49) является постоянной величиной, которую можно вынести за знак интеграла.

В результате получаем следующее уравнение:

M_кр = (/g)Q_m(С₂cos₂r₂ - С₁cos₁r₁) . (2.50)

Уравнение (2.50) устанавливает зависимость между величиной крутящего момента М_кр, передаваемого данному рабочему колесу, т.е. жидкости, и заданными его размерами (радиусами r₁ и r₂), условиями подвода и от­вода потока (углами ₁ и ₂), скоростями (С₁ и С₂) и ве­личиной расхода Q_m.

В уравнение (2.50) входит теоретический расход по­тока Q_m, так как утечки из насоса происходят после по­ступления жидкости в корпус (спиральную камеру).

Рассмотрим, что представляет собой момент внешних сил М_кр в уравнении (2.50).

Внешние силы, действующие на массу жидкости, за­полняющей межлопаточные каналы рабочего колеса, можно разделить на три группы:

1) силы тяжести;

2) силы давления на поверхностях торцовых (конт­рольных) сечений элементарной струйки;

3) силы взаимодействия обтекаемых поверхностей ра­бочего колеса и жидкости.

Как бы ни было расположено рабочее колесо, момент сил тяжести относительно оси вращения всегда равен нулю, так как рассматриваемый объем представляет со­бой тело вращения и его центр тяжести находится на оси колеса, т.е. плечо приложения этих сил равно нулю.

То же утверждение справедливо и относительно вто­рой группы сил - сил давления в контрольных сечениях элементарной струйки. Эти силы, нормальные к сечени­ям, проходят через ось вращения, и, следовательно, их момент также равен нулю.

Остается решающим фактором третья группа сил - силы взаимодействия обтекаемых поверхностей рабоче­го колеса и жидкости:

- для насоса момент М_кр - это вращающий его колесо крутящий момент привода, равный моменту сил ре­акций лопаток, воздействующих на жидкость, и проти­воположный по знаку моменту вращения в турбине;

- для турбины момент М_кр - это вращающий ее коле­со силовой момент, т.е. крутящий момент вращения сил действия потока жидкости на лопатки колеса. Отсюда, для турбины уравнение (2.50) запишем в следующем виде:

M_кр = (/g)Q_m(С₁cos₁r₁ - С₂cos₂r₂) . (2.51)

Окончательно можем записать:

M_кр = (/g)Q_m(±С₂cos₂r₂ С₁cos₁r₁) , (2.52)

где верхние знаки относятся к лопастным насосам, а ниж­него - к лопастным турбинам.

Уравнение (2.52) было получено Леонардом Эйлером в 1754 г. и справедливо для всех лопастных машин: насосов, турбин, вентиляторов, ветродвигателей и т.п. (при условии, что число лопаток Z = ). Поэтому оно называется основ­ным уравнением работы лопастных гидравлических машин.

2.4.3. Теоретический и действительный напор

рабочего колеса насоса

2.4.3.1. Теоретический напор рабочего колеса

на основании уравнения Эйлера

Уравнение Эйлера (2.52) дает возможность оп­ределить теоретический напор H_т развиваемый колесом насоса при бесконечном числе лопаток.

Потребляемая или используемая мощность, выражен­ная через крутящий момент, равна:

N = M_кр  w, (2.18)

где M_кр крутящий момент, Нм;

w - угловая скорость вращения колеса, с^-1.

Мощность в насосе, переданная лопатками колеса жид­кости при отсутствии гидравлических сопротивлений, равна:

N =   Q_m  H_т = M_кр  w . (2.53)

Подставляя в выражение (2.53) значение M_кр из уравнения Эйлера (2.52) для насоса и переписывая от­носительно Н_т, получим:

  Q_m  H_т =

= (/g)  Q_m  (С₂cos₂r₂ - С₁cos₁r₁)  w .

При замене:

r₁  w = U₁ , (2.55)

r₂  w = U₂ , (2.56)

окончательно получаем значение теоретического напора насоса при бесконечно большом числе лопаток:

H_т =1/g  (С₂cos₂r₂ - С₁cos₁r₁) . (2.57)

Для турбины значение теоретического напора при бес­конечном числе лопаток соответственно запишем в виде:

H_т =1/g  (С₁cos₁r₁ - С₂cos₂r₂) . (2.58)

Для исключения предварительной закрутки потока жидкости на входе в колесо насоса, предусматривают его радиальный вход, т.е. с углом ₁ = 90°. Откуда имеем С₁U₁cos₁ = 0. Поэтому уравнение (2.57) для насоса при­обретает следующий вид при ₁ = 90°:

H_т =1/g  С₂  U₂  cos₂ . (2.59)

Формула (2.57) представляет собой основное уравне­ние центробежных насосов. Оно имеет большое практи­ческое значение, так как показывает, что напор насоса зависит только от кинематических элементов потока на входе и на выходе рабочего колеса.

Анализ основного уравнения центробежных насосов позволяет сделать следующие выводы:

1) напор центробежного насоса не зависит от рода жидкости и числа лопаток рабочего колеса;

2) напор насоса будет тем больше, чем больше пере­носная (окружная) скорость U на внешней окружности рабочего колеса, пропорциональная его диаметру и час­тоте вращения;

3) напор насоса будет увеличиваться по мере умень­шения угла ₂ между векторами и .