- •Программа курса математики
- •Тема I. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- •Тема II. Дифференциальное исчисление
- •Основные понятия, формулы, правила Вычисление определителей
- •Системы линейных алгебраических уравнений
- •Векторная алгебра
- •Прямая на плоскости
- •Кривые второго порядка
- •Аналитическая геометрия в пространстве
- •Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка
- •Дифференциальное исчисление
- •Задания к типовому расчету №1 Системы линейных уравнений. Аналитическая геометрия
- •Математический анализ
- •Примеры решения задач из типового расчета
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
Примеры решения задач из типового расчета
Пример 1.
Используя формулы Крамера решить систему уравнений
Решение. Главный определитель данной системы , поэтому, система имеет единственное решение, определить которое возможно после вычисления вспомогательных определителей , и :
= , = , = .
По формулам Крамера: , , .
Задача 2. Даны три точки А(4;2), В(-1;-3), С(6;1). См. задания задачи 2.
Решение.
а) Векторы , имеют координаты , и их длины , .
б) Косинус угла между векторами , определяется формулой:
.
в) Проекция вектора на : .
г) Изобразим на плоскости векторы , , , .
Рис. 18
Задача 3. Даны три точки А(4;2), В(-1;-3), С(6;1). См. задания задачи 3.
Решение.
Д ля определения уравнений сторон АВ, АС воспользуемся формулой , тогда уравнение стороны АВ: , т.е. , а уравнение стороны АС: , т.е. . Угловые коэффициенты прямых и , тогда угол между ними определяется из формулы . Т.к. из чертежа видно, что угол при вершине А тупой, то .
Д
Рис.19
ля определения высоты АН, заметим, что она перпендикулярна стороне ВС, тогда . Определим уравнение стороны ВС: , поэтому . Уравнение высоты, проходящей через точку А, можно определить, воспользовавшись уравнением , в которое подставим координаты точки А и угловой коэффициент. Итак, уравнение высоты АН имеет вид . Для определения длины высоты приведем уравнение ВС к общему виду и воспользуемся формулой , тогда .Заметим, что точка М есть середина ВС, поэтому , . Соответственно, уравнение медианы АM имеет вид , т.е. .
Площадь треугольника . Длина высоты определена в пункте 2. Определим длину стороны ВС по формуле . Итак, .
Центр описанной окружности, находится в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон (задание для самостоятельной работы).
Искомая прямая l проходит через точку А(4;2) параллельно ВС, поэтому . Воспользуемся уравнением : , получим уравнение прямой l: .
Задача 4. Пирамида ABCD задана вершинами А(1;2;-3), В(2;-4;1), С(-3;-5;-1), D(-2;0;5). См. задания задачи 4.
Решение. 1) Воспользуемся уравнением плоскости и составим уравнение грани , . Раскрыв определитель, получаем общее уравнение плоскости, содержащей точки , и : , нормальный вектор которой .
Аналогично получено уравнение грани с нормальным вектором .
Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами и плоскостям, т.е. .
Воспользуемся уравнениями прямой и составим уравнения прямой : , направляющий вектор которой . Аналогично получен вектор .
Угол между прямыми , равен углу между векторами и :
, т.е. .
3) Угол между плоскостью АВС с нормальным вектором и прямой с направляющим вектором определяется формулой
,
значит .
4) Длина высоты пирамиды, опущенной из точки D(-2;0;5) равна расстоянию от точки D до плоскости ABC ( ) и определяется формулой .
5) Площадь грани равна площади треугольника с заданными вершинами и вычисляется по формуле , где , . Заметим, что: , где
, тогда .
Итак, (кв.ед.).
6) объем пирамиды вычисляется по формуле , где площадь основания пирамиды , высота пирамиды найдена в п. 4.
Таким образом, (куб.ед.).
Задача 5. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить кривую в системе координат xOy.
Решение. Выделим в левой части уравнения кривой полные квадраты по каждой из переменной:
Т
Рис.20
Задача 6. Определить типы поверхностей по их уравнениям и изобразить поверхности схематически в системе координат Oxyz: a) , б) .
Решение.
a) Запишем уравнение в виде: , разделив обе его части на (-36). Сравнивая это уравнение с каноническими уравнениями второго порядка, видим, что это уравнение конуса, ось которого – Ox (рис.21).
б) Заданное уравнение не содержит переменной y, поэтому оно задает цилиндр в направлении оси Oy, направляющей линией которого является парабола – это параболический цилиндр (см. рис.22).
Рис. 21 Рис. 22
Пример 7. Найти производную функции .
Решение. Функция является произведением функций, одна из которых сложная:
Пример 8. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение.
1. Областью определения данной функции, которая является многочленом, будет вся числовая ось .
2. Найдем точки пересечения графика с осями координат:
с осью Oy (при x=0): ;
с осью Ox (при y =0): и .
3. Функция не является периодической, см. п.2.
Функция не является ни четной, ни нечетной, т к.
, т.е. и .
3. Найдем точки возможного экстремума функции, определив при каких x обращается в ноль или не определена первая производная функции:
, тогда при и при .
4. Найдем точки возможного перегиба функции, определив при каких x обращается в ноль или не определена вторая производная функции:
, тогда при .
5. Составим таблицу, в которую будут включены все критические точки: , , . Далее будут проверены достаточные условия существования перегиба и экстремума в данных точках.
|
|
-2 |
|
-1 |
|
0 |
|
|
|
4
|
|
2
|
|
0
|
|
|
|
0
|
|
|
|
0
|
|
|
max |
|
|
|
min |
|
|
|
|
|
|
0
|
|
|
|
|
|
|
перегиб |
|
|
|
Д ля построения графика:
укажем в системе координат все точки определенные в п. 2 и в п. 5.;
н
Рис.23
а каждом из промежутков , , и построим график функции, руководствуясь таблицей и точками графика , , , .
Пример 9. Составим уравнение касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой .
Решение. Значение функции в точке с абсциссой равно , а значение производной в той же точке равно .
Поэтому уравнения касательной и уравнение нормали имеют, соответственно, вид (касательная) и (нормаль).