- •Программа курса математики
- •Тема I. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- •Тема II. Дифференциальное исчисление
- •Основные понятия, формулы, правила Вычисление определителей
- •Системы линейных алгебраических уравнений
- •Векторная алгебра
- •Прямая на плоскости
- •Кривые второго порядка
- •Аналитическая геометрия в пространстве
- •Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка
- •Дифференциальное исчисление
- •Задания к типовому расчету №1 Системы линейных уравнений. Аналитическая геометрия
- •Математический анализ
- •Примеры решения задач из типового расчета
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
Основные понятия, формулы, правила Вычисление определителей
Матрицей называется прямоугольная таблица, состоящая из чисел А= , где ,…, - числа.
Если в матрице количество строк равно количеству столбцов, то матрица называется квадратной.
Определителем (или детерминантом ) квадратной матрицы называется число, которое вычисляется по формулам:
для квадратной матрицы 2-го порядка = ,
для квадратной матрицы 3-го порядка
= .
Чтобы запомнить набор слагаемых для определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом Саррюса (правило треугольника):
.
Системы линейных алгебраических уравнений
Система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет вид
, (1)
где ,…, - неизвестные переменные, , ,…, - коэффициенты при неизвестных, ,…, - свободные члены.
Главным определителем системы (1) называется определитель составленный из коэффициентов при неизвестных.
Решением системы (1) называется упорядоченный набор чисел ( ,…, ), который при подстановке его в уравнения системы обращает их в тождество.
Правило Крамера. Если в системе (1) главный определитель , то система (1) имеет единственное решение: , , где - определитель, получаемый из основного заменой -го столбца на столбец свободных членов. (Пример смотри на стр. 24)
Векторная алгебра
Вектором называется направленный отрезок прямой. Векторы и , полученные друг из друга параллельным переносом, не различаются. Векторы единичной длины, направленные вдоль координатных осей Ox, Oy и Oz, называются единичными ортами и обозначаются , и , соответственно.
Суммой и разностью не коллинеарных векторов и , называются новые векторы, которые строятся по правилу:
Рис. 1. Правила сложения и вычитания векторов
Произведением вектора на число , называется вектор , который сонаправлен исходному если , и противоположно направлен, если . Длина вектора равна .
Всякий вектор в пространстве может быть представлен в виде , либо (на плоскости, соответственно, и ). Числа называются координатами вектора в пространстве и являются проекциями вектора на соответствующие координатные оси.
Действия с векторами, представленными в координатной форме и , производится следующим образом: , .
Длина вектора вычисляется по формуле .
Направляющими косинусами вектора , называют косинусы углов , образуемых вектором с осями координат Ox, Oy и Oz. Они вычисляются по формулам , , .
Скалярным произведением векторов и называется число , где ( - угол между векторами и ).
Свойства скалярного произведения векторов:
1. Коммутативность: ;
2. Ассоциативность: ;
3. Скалярный квадрат векторов: ;
4. Если , то ;
5. Дистрибутивность: .
Из указанных свойств вытекают следствия:
координатная форма вычисления скалярного произведения векторов ;
проекция вектора на направление вектора равна ;
угол между двумя векторами и определяется по формуле
.