Учебное пособие 1623
.pdfплоскости и данной плоскости
|
|
|
|
|
∂F |
|
|
|
|
∂F |
|
|
|
|
|
|
|
∂F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
4 y |
|
|
2z |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
= |
|
|
∂y |
|
= |
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
или |
|
|
= |
= |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
B |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−2 |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Решая эти уравнения совместно с уравнением |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
поверхности |
|
x2 + 2 y2 + z2 = 4 , |
|
находим |
|
|
координаты точек |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
касания |
|
|
M1 (1, −1,1) |
|
и |
|
M (−1,1, −1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, касательные плоскости имеют |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2(x −1) −4( y +1) + 2(z −1) = 0 |
или |
|
x −2 y + z −4 = 0; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
−2(x +1) + 4( y −1) −2(z +1) = 0 |
или |
|
x −2 y + z + 4 = 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) Из условия перпендикулярности касательной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
плоскости и прямой имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂F |
|
|
|
|
|
|
∂F |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
2 y |
|
|
2z |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
= |
|
|
∂y |
|
|
= |
|
|
∂z |
|
|
|
|
или |
|
|
|
= |
= |
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
−1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Присоединяя к этим уравнениям уравнение поверхности |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 + 2 y2 + z2 |
= 4 , находим координаты точек касания |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
M1 − |
|
|
|
|
|
|
|
, − |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
и M2 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
, − |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
7 |
7 |
|
|
7 |
|
|
|
7 |
|
|
7 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, касательные плоскости будут: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
− |
|
|
x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y + |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
z |
− |
|
|
|
|
|
= 0 , |
|||||||||||||
7 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2 4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
− |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y − |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
z |
+ |
|
|
|
|
|
= 0 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
||||||||||||||||||||
или |
2x + 2 y − z + |
|
14 |
|
|
= 0 , |
|
|
|
2x + 2 y − z − |
14 |
= 0 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.5. |
|
К |
|
|
|
|
|
поверхности |
|
x2 − y2 −3z = 0 |
|
|
провести |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
касательную плоскость, проходящую через точку M1 (0, 0, −1) , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
параллельно прямой |
|
|
|
x |
|
= |
|
|
|
y |
= |
z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81
Решение. Обозначим |
F (x, y, z) = x2 − y2 −3z |
и найдем |
|||||
частные производные |
∂F |
= 2x , |
∂F |
= −2 y , |
|
∂F |
= −3 . |
∂x |
∂y |
|
∂z |
||||
|
|
|
|
|
Воспользуемся условием параллельности данной прямой и
касательной |
плоскости |
∂F l + |
∂F m + |
∂F n = 0 |
или |
|
|
∂x |
∂y |
∂z |
|
2x − y −3 = 0 . |
Присоединяя |
к этому |
уравнению уравнение |
||
касательной плоскости, проходящей через точку M1 |
|
||||
2x(x1 − x) − 2 y( y1 − y) −3(z1 − z) = 0 |
или |
|
|||
|
2x 2 − 2 y2 −3z −3 = 0 , |
|
|
|
и уравнение поверхности, получим систему
2x − y −3 = 0,x2 − y2 −3z = 0,
2x2 −2 y2 −3z −3 = 0.
Из решения этой системы находим, что координаты точки касания равны x = 2 , y =1, z =1. Таким образом,
искомое уравнение касательной плоскости примет вид
4(x −2) −2( y −1) −3(z −1) = 0 или 4x −2 y −3z = 3 .
2.6.Доказать, что сумма квадратов отрезков,
отсекаемых на осях координат плоскостью, касательной к
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поверхности x3 + y 3 + z 3 |
= a3 , равна постоянной величине a2 . |
|||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|||
Обозначим |
|
F (x, y, z) = x3 + y 3 |
+ z 3 −a3 и |
|||||||||||||||
найдем частные производные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
∂F |
|
|
|
1 |
∂F |
|
|
|
|
1 |
, ∂F = |
|
1 |
|
|
|
|
|
= 2 x−3 , |
= |
2 y− |
|
2 z |
−3 . |
|
|
||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
∂x |
3 |
|
|
∂y |
|
3 |
|
|
|
∂z |
3 |
|
|
|
|
Уравнение касательной плоскости (1) в произвольной |
||||||||||||||||||
точке (x0 , y0 , z0 ) |
примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
−1 |
3 |
(x − x ) |
+ y |
− |
1 |
3 ( y |
− y ) + z |
−1 |
3 |
(z − z ) = 0 |
|
или, |
если |
||||
|
|
|
0 |
|
||||||||||||||
0 |
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
воспользоваться уравнением поверхности
82
|
x |
+ |
y |
|
+ |
|
z |
|
= a23 . |
|
|
|
|
x13 |
y 13 |
|
z |
13 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||
|
o |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Координаты точек пересечения этой плоскости с осями |
||||||||||||
координат соответственно равны |
|
|
|
|
|
|||||||
x = a23 x13 , |
y = a23 y 13 , z = a23 z |
13 |
|
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
Отсюда сумма квадратов отрезка равна |
|
|
|
|||||||||
x2 + y2 + z2 = a43 (x23 + y23 + z |
23 ) = a43 a13 |
= a2 , |
что |
и |
||||||||
требовалось доказать. |
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.7. Показать, |
что |
поверхности x2 + y2 + z2 |
= ax |
и |
x2 + y2 + z2 = 4by ортогональны друг другу.
Решение. Угол между двумя поверхностями линии их пересечения определяется углом между соответствующими касательными плоскостями в каждой точке линии пересечения. Будем определять положение касательных плоскостей их нормалями, тогда угол между поверхностями равен углу между нормалями к касательным плоскостям по линии пересечения поверхностей.
Введем |
обозначения |
F (x, y, z)x2 + y2 + z2 − ax |
и |
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
F (x, y, z) = x2 + y2 + z2 |
− 4by |
|
и найдем |
частные |
производные |
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l = |
∂F1 = 2x −a , l |
|
= ∂F2 = 2x , |
m = ∂F1 = 2 y , |
|
||||||
1 |
∂x |
|
|
2 |
|
∂x |
|
1 |
∂y |
|
|
m |
= ∂F2 |
= 2 y − |
4b , n = ∂F1 |
= 2z , n = |
∂F2 |
= 2z . |
|
||||
2 |
∂y |
|
|
|
1 |
∂z |
|
2 |
∂z |
|
|
Воспользуемся |
|
|
условием |
|
ортогональности |
||||||
l1l2 + m1m2 + n1n2 |
= 0 |
нормалей |
по |
линии |
пересечения |
||||||
поверхностей ax = 4by |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2x(2x −a) + 2 y(2 y −4b) + 2z 2z = 0 , |
|
|
|
|||||||
4x2 − 2ax + 4 y2 −8by + 4z2 = 0 , |
4ax −2ax −2ax = 0 , т. |
е. |
условие ортогональности выполняется, что и требовалось доказать.
83
2.3. Кривизна плоской кривой
Кривизной кривой в точке |
M (рис. 2.2) называется |
|
предел отношения угла поворота |
θ |
касательной к длине s |
дуги MN , когда N → M , т. е. k = lim |
θ . |
|
|
s→0 |
s |
|
Рис. 2.2 |
Кривизна кривой |
y = f (x) в некоторой точке |
характеризуется отклонением кривой от своей касательной в этой точке и определяется по формуле
k = |
|
|
y '' |
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1+ |
y '2 |
) |
3 2 |
|
|||||||
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если кривая задана параметрически x = x(t) , y = y(t) , то |
|||||||||||
ее кривизна определяется выражением |
|
|
|
|
|
||||||
k = |
|
|
xy − yx |
|
|
|
(2) |
||||
|
|
|
|||||||||
|
|
||||||||||
(x2 + y2 )3 2 |
|||||||||||
Если кривая задана |
уравнением в неявном |
виде |
|||||||||
F (x, y) = 0 , то ее кривизна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
84
|
|
F '' |
|
F '' |
F ' |
|
|
|
|
||
|
|
|
xx |
xy |
x |
|
|
|
|
||
|
|
F '' |
|
F '' |
F ' |
|
|
|
|
||
|
|
|
yx |
yy |
y |
|
|
|
|
||
|
|
F ' |
|
F ' |
0 |
|
|
|
|
||
k = |
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(Fx'2 + Fy'2 )32 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если кривизна задана |
в полярной системе |
координат |
|||||||||
ρ = ρ(ϕ) , то ее кривизна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = |
|
ρ2 |
+ 2ρ'2 |
− ρρ'' |
(4) |
||||||
|
|
( |
ρ2 + ρ |
'2 )3 2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
радиусом |
|||||
Величина, обратная |
|
|
кривизне, называется |
кривизны и определяется по формуле R = 1k . Вершиной кривой
называется такая точка кривой, в которой кривизна имеет максимум или минимум. Для определения вершин кривой выражение кривизны k исследуют на экстремум. В некоторых случаях при нахождении вершин кривой целесообразнее исследовать на экстремум радиус кривизны
Рис. 2.3
Кругом кривизны кривой в некоторой точке M
называется окружность с радиусом R , равным радиусу кривизны кривой в этой точке, и центром C , расположенным на нормали к кривой в точке M со стороны ее вогнутости (рис. 2.3). Координаты (ξ,η) центра кривизны кривой в ее
85
точке M (x, y) определяются по формулам
ξ = x − |
1+ y'2 |
y ' = x − |
x2 + y |
2 |
|
y |
; |
|
y '' |
xy − yx |
|||||||
|
|
|
|
|||||
η = y + |
1+ y'2 |
y ' = y + |
x2 + y |
2 |
|
x |
(5) |
|
y '' |
xy − yx |
|||||||
|
|
|
|
Геометрическое место центров кривизны данной кривой называется ее эволютой. Обратно, данная кривая по отношению к своей эволюте называется ее эвольвентой. Уравнения (5) являются параметрическими уравнениями эволюты. Если исключить из них параметр t , то получим уравнение эволюты в неявном виде F (ξ,η) = 0 .
|
|
3.1. Найти кривизну кривых: |
а) |
y = x2 − 4x |
в точке |
|||||||||||||||||||||||||||||
(2, −4) ; |
б) |
|
x2 |
+ |
y2 |
|
=1 |
|
в |
|
вершинах; |
в) |
ρ2 |
= a2 cos 2ϕ |
|
в |
||||||||||||||||||
|
|
|
b2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = a(1−cos t) при t =π . |
|||||||||||||
произвольной точке; г) x = a(t −sin t) , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. а) Находим производные: |
|
y ' = 2x −4; |
y '' = 2 и |
|||||||||||||||||||||||||||||
вычисляем их значения в заданной |
|
точке |
y '(2) = 0 , y '' = 2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Подставляя найденные значения в формулу (1), получим |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = |
|
|
|
y '' |
|
|
|
|
= 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+ |
y '2 )3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
б) |
Функция |
задана |
неявно. |
|
Находим |
производные: |
||||||||||||||||||||||||||
F ' |
= |
2x |
, |
F '' |
= |
2 |
, |
F ' |
= |
2y |
, |
F '' |
= |
2 |
|
, |
F '' |
= 0 и их значения в |
||||||||||||||||
x |
|
a2 |
xx |
|
|
a2 |
|
y |
|
b2 |
|
yy |
|
b2 |
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
вершине эллипса |
(a, 0) |
: F ' = |
2 |
, |
F |
'' |
= |
2 |
, |
F ' |
= 0 , |
F '' = |
2 |
, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
a |
|
|
xx |
|
a2 |
y |
|
yy |
b2 |
|||||||
F '' |
= 0 . |
Подставляя |
найденные |
значения |
в |
формулу |
(3), |
|||||||||||||||||||||||||||
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим
86
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a2 |
|
|
a |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
||||
k = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
b2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
a3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значения производных в вершине эллипса (0,b) будут:
F ' = 0 , |
F '' |
= |
2 |
, F ' |
= |
2 |
, F '' |
|
= |
2 |
|
, |
|
F '' = 0 . Отсюда кривизна |
|||||||||
a2 |
b |
|
b2 |
||||||||||||||||||||
x |
xx |
|
y |
|
|
yy |
|
|
|
|
|
|
xy |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
a |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
k = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
a2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу симметрии, кривая в точке (−a, 0) равна k = ba2 , а
87
в точке (0, −b) |
равна k = |
|
b |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) Находим производные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2ρρ ' = −2a2 sin 2ϕ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
ρ ' = − |
a2 |
sin 2ϕ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ '' = |
a2 ρ ' |
sin 2ϕ − |
2a2 |
cos 2ϕ = − |
a |
4 |
sin |
2 |
2ϕ − |
2a2 |
cos 2ϕ |
|||||||||||
|
|
ρ |
2 |
|
ρ |
ρ |
3 |
|
ρ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
и подставляем их в формулу (4), тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ2 + 2 a 2 sin2 2ϕ + ρ a |
3 sin2 2ϕ + 2 a |
|
cos 2ϕ |
|
|
|||||||||||||||||
k = |
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
= |
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
cos 2ϕ |
+ 2 |
a4 |
2 |
2ϕ |
32 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
ρ |
2 sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=ρ4 + 2a4 sin2 2ϕ + a4 sin2 2ϕ + 2a2 ρ2 cos 2ϕ =
ρ2 ((a4 cos2 2ϕ + a4 sin2 2ϕ)/ ρ2 )32
= |
a4 cos2 |
2ϕ + a4 sin2 2ϕ + 2a4 sin2 2ϕ + 2a4 cos 2ϕ |
= |
3a4 |
ρ |
= |
3ρ |
|||||||||
|
|
ρ2a6 / ρ3 |
|
|
|
|
|
|
|
a6 |
|
a2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
г) Находим производные: |
x = a sin t , y = a cos t |
|
|
|
|||||||||||
|
x = a(1−cos t) , |
y = sin t , |
|
и их |
||||||||||||
значения |
при t =π : x = 2a, y = 0, x = 0, y = −1. |
|
Подставляя |
|||||||||||||
производные в формулу (2), получим k = |
|
−2a |
|
|
= |
1 |
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
4a2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
(2a)3 |
|
|
|
|
||||||
|
3.2. Найти радиусы кривизны в любой точке данных |
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кривых: а) |
y = x3 ; б) |
x3 + y3 = a3 ; в) x = a cos3 t, y = a sin3 t ; |
|
г) ρ = aϕ .
Решение. а) Находим производные y ' = 3x2 , y '' = 6x и по
88
формуле R = 1k определяем радиус кривизны
|
|
|
|
|
|
R = |
(1+ y '2 )32 |
|
= |
(1+9x4 )32 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y '' |
|
|
|
|
|
6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
б) Функция задана неявно F(x, y) = x23 + y23 −a23 |
= 0 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Находим |
|
производные: |
|
F |
' |
= |
2 |
x |
−1 |
3 |
, |
F |
' |
= |
2 |
y |
−1 |
3 |
, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
3 |
|
|
|
|
y |
|
3 |
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
F '' |
= − |
x |
−4 |
3 |
, F '' |
= − |
y |
− |
4 |
3 , F '' |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
xx |
|
9 |
|
|
|
|
yy |
|
|
9 |
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Радиус кривизны находим по формуле
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
−1 |
+ |
|
2 |
y |
− |
1 |
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
(Fx |
+ Fy |
) |
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
R = |
|
'2 |
'2 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||
|
Fxx'' |
Fxy'' |
Fx' |
|
− |
2 |
x |
− |
4 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
x |
− |
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
F '' |
F '' |
F |
' |
|
|
9 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
yx |
yy |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y− |
4 |
|
|
2 y− |
1 |
|
|
||||||||
|
|
Fx' |
Fy' |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
9 |
|
−1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
− |
|
|
|
2 |
y |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
89
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
x3 |
+ y 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
(xy)3 |
|
|
|
|
|
= 3a |
|
(xy)3 |
|
|
|
= |
3a 3 |
|
xy |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
−2 |
−4 |
|
−4 |
−2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 y |
3 + x |
|
3 y |
3 |
|
|
|
|
xy x3 + y 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) Находим производные: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x = −3a cos2 t sin t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
y = 3a sin2 t cos t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x = −3a(−2 cos t sin2 t + cos3 t) = 3a cos t(2 sin2 t − cos2 t) , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
y = 3a(2 sin t cos2 t −sin3 t) = 3a sin t(2 cos2 t −sin2 t) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Радиус кривизны находим по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
(x2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
R |
= |
+ y |
2 )2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
xy − yx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9a2 cos4 t sin2 t +9a2 sin4 t cos2 t )2
=−9a2 cos2 t sin2 t (2cos2 t −sin2 t )−9a2 sin2 t cos2 t (2sin2 t −cos2 t ) =3
= |
3a sin3 t cos3 t |
= |
3a |
sin 2t |
||
|
|
|
|
|||
sin2 t cos2 t(−2 |
+1) |
2 |
||||
|
|
г) Находим производные: ρ ' = a , ρ '' = 0 и по формуле
R = |
(ρ2 + ρ '2 )3 2 |
|
находим радиус кривизны |
R = (ρ2 + a2 )3 2 . |
|||
ρ2 + 2ρ '2 − ρρ '' |
|||||||
|
|
ρ2 + 2a2 |
|||||
|
3.3. Найти наибольшую кривизну параболы y = |
x2 |
. |
||||
|
|
||||||
|
Решение. |
|
|
2 |
|
||
|
Находим производные |
y ' = x , y '' =1. |
90