Учебное пособие 1623
.pdfПодставляя |
|
найденные |
значения |
в |
|
формулу |
(1), |
|
получим |
||||||||||||
k = |
1 |
|
|
. Кривизна будет наибольшей, |
когда знаменатель |
||||||||||||||||
|
3 |
|
|||||||||||||||||||
|
(1+ x2 ) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
будет наименьшим, т. е. при |
x = 0 . |
|
Таким |
|
образом, |
||||||||||||||||
наибольшая кривизна равна k =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3.4. Найти вершины кривых: а) |
|
x + |
y = |
a; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
б) |
ρ = a sin3 ϕ , R |
−? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
3 |
min |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. а) Функция задана неявно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
F (x, y) = x + y − a = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Находим |
производные: |
F |
' |
= |
1 |
x |
−1 |
2 , |
F |
' |
= |
1 |
y |
−1 |
2 , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
y |
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fxx''
.
= − |
1 |
x |
−3 |
2 |
, F '' |
= − |
1 |
y |
−3 |
2 |
, F '' |
= 0 , отсюда кривизна |
|
4 |
|
|
|
yy |
|
4 |
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
x |
− |
3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
x |
− |
1 |
||
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
− |
1 y− |
3 |
1 y− |
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
− |
1 |
|
1 |
y |
−1 |
|
|
|
0 |
|
|
||||
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
k = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
+ |
1 |
y |
−1 |
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
4 |
x |
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
+ |
1 |
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
y |
3 |
2 |
y |
x |
3 |
2 |
|
|
a |
|
x |
|
|
|
|
|||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
||
|
|
|
x + y 2 |
|
|
|
|
|
2(x + y)2 |
||||
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
Из уравнения кривой находим, что y = ( a − x )2 , тогда
k(x) = |
|
|
a |
|
|
|
|
. |
|
|
(x +( |
3 |
||
2 |
a − x )2 )2 |
91
Исследуем эту функцию на экстремум:
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 3 |
x +( |
a − |
|
x )2 |
2 1−2( a − x ) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
' |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
kx |
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 (x +( |
|
a − x )2 )3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Отсюда |
|
|
x +( |
a − |
x )2 = 0 , |
x + a − 2 |
ax + x = 0 , |
||||||||||||||||||||
a2 + 4x2 |
= 0 |
- |
|
|
|
корней |
|
нет; |
1− 2 ( a − |
x ) |
|
|
|
1 |
|
= 0 , |
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
x |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x − a + x = 0 |
, 2 x = |
|
a |
, x = a , |
y = a − x , |
|
|
y = |
|
|
a |
, |
||||||||||||||||
y = a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кривизны в точке a , |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Поскольку |
функция |
|
|
|
имеет |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
экстремум, |
т. к. при переходе через точку x = a |
производная |
||||||||||||||||||||||||||
меняет знак, то это вершина кривой. |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ρ ' = a sin2 ϕ cos |
ϕ , |
|||||||||||||||||||||||||||
|
б) |
|
|
Находим |
|
производные: |
||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
ϕ |
|
|
|
ϕ |
|
|
2 ϕ |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|||||
ρ '' = |
sin |
|
|
2 |
−sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
3 |
2 cos |
|
3 |
|
3 |
и по формуле (4) кривизну |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
92
|
|
|
a2 sin6 ϕ |
+ 2a2 sin4 ϕ cos2 ϕ |
|
− a2 |
sin4 ϕ |
2 cos2 ϕ |
−sin2 ϕ |
|
|||||||||||||||||||||||
k = |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 3 |
|
3 |
|
3 |
|
|
3 |
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 ϕ |
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
2 ϕ |
3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
sin |
+ a |
2 |
sin |
4 |
cos |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
3 |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
a |
2 |
|
3sin |
4 ϕ |
+ 2sin |
4 |
ϕ |
cos |
2 |
ϕ |
−sin |
4 |
ϕ |
cos |
2 ϕ |
+sin |
4 ϕ |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
3 |
3 |
|
|
|
||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3a2 sin3 ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
ϕ |
|
+cos |
2 ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
sin |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3a |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассматривая кривизну как функцию угла ϕ , исследуем ее на экстремум:
k' |
= |
1 |
1 cos |
ϕ |
4 +cos2 |
ϕ − 2 sin ϕ cos |
ϕ sin |
ϕ |
= |
|||
|
|
|
|
|||||||||
ϕ |
|
|
|
3 |
|
|
3 3 |
3 |
3 |
|
||
|
|
3a |
3 |
|
3 |
|
|
= |
1 |
|
ϕ |
|
−3sin |
2 |
ϕ |
, 5 |
−sin |
2 |
ϕ |
≠ 0 . |
|
|
||||
|
cos |
|
5 |
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||
9a |
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Т. к. sin |
ϕ |
< |
|
5 |
, cos ϕ |
= 0 , ϕ = |
3π |
. |
|
|
||||||||
3 |
3 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
3π |
|
||||
При |
переходе |
ϕ |
через |
значение ϕ = |
производная |
|||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
меняет знак с плюса на минус, т. е. кривизна максимальна. Следовательно, при этом значении ϕ радиус кривизны
R = 1k = 34 a минимален.
3.5. Найти окружность кривизны гиперболы y = 1x в
точке M (1;1) .
93
Решение. Находим производные: |
y ' = − |
1 |
, |
y '' = |
2 |
и их |
||||||
|
|
|||||||||||
значения |
в точке |
M : |
y ' = −1, |
y '' = 2 |
|
x2 |
|
x3 |
||||
и радиус кривизны |
||||||||||||
R = (1+ |
y '2 )32 |
= 2 |
2 = |
2 . Построим гиперболу и окружность |
||||||||
y '' |
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(рис. 2.4). |
Очевидно, что точка |
M и центр окружности O ' |
лежат на биссектрисе первого координатного угла. Спроектируем центр окружности на ось Ox , а точку M на перпендикуляр O ' N . Это возможно, если MN = NO ' =1
Рис. 2.4
Таким образом, координаты центра окружности будут(2;2). Отсюда, уравнение окружности примет вид
(x − 2)2 + ( y − 2)2 = 2 .
3.6. Найти координаты центров кривизны и написать уравнения окружностей кривизны кривых: а) y = e−x в точке
(0;1); б) x = a(t −sin t) , y = a(1 −cost) в точке М(πа,2а).
|
Решениe. а) Находим производные: y′ = −e−x , y′′ = e−x , их |
||||||
значения |
в точке: |
y′ = −1, y′′ =1 |
и |
радиус |
кривизны |
||
R = |
(1+1) |
32 |
= 2 2 . |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Координаты |
центра кривизны |
кривой |
находим по |
94
формулам (5) ξ = x − |
1+ y′2 |
y′ = 2 , η = y − |
1+ y′2 |
|
|||||
|
|
|
|
= 3. |
|||||
y′′ |
|
y′′ |
|
||||||
Отсюда, уравнениеокружностибудет (x − 2)2 + ( y −3)2 = 8 . |
|||||||||
б) Находим |
производные: x = a(1−cos t) , |
y = a sin t , |
|||||||
x = a sin t , y = a cos t . |
Определяем |
параметр |
t |
в точке М: |
|||||
2a = a(1−cost) , |
cost = −1, |
t =π . |
Вычисляем |
при t = −1 |
|||||
значения производных: x = 2a , |
y = 0 , |
x = 0 , |
y = −a . По |
формулам (5) находим координаты центра кривизны кривой ξ =πa , η = −2a . Радиус кривизны вычисляем по формуле.
|
|
3 |
|
|
|
|
|
R = |
(x2 |
+ y2 ) |
2 |
|
= |
(2a)3 |
= 4a . |
| xy − yx | |
|
| 2a(−a) | |
|||||
|
|
|
|
Зная координаты центра кривизны и радиус кривизны, запишем уравнение окружности кривизны кривой в точке М:
(x −πa)2 + ( y + 6a)2 =16a2 . |
|
|
|
|
|
|
|
3.7. |
Написать уравнение эволюты кривой и |
||||||
построить кривую и её эволюту: а) |
y = |
3 |
x2 ; б) x23 + y23 = a23 |
; |
|||
|
|||||||
в) x =cost , |
y = 2sin t ; г) ρ = aekϕ . |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. а) По формулам (5) находим координаты центра |
|||||||
кривизны |
кривой |
ξ = x − |
3x(1+9x2 ) |
= −9x3 |
, |
||
|
|||||||
|
|
3 |
|
|
η = y + 1 +39x2 = 13 + 92 x2 .
Исключаем из этих выражений х. Из первого равенства имеем x = −3 ξ9 . Подставляя найденное значение х во второе выражение, получим уравнение эволюты в явном виде
|
1 |
|
9 |
ξ |
|
2 |
|
|
η = |
+ |
3 |
. Таким образом, эволютой параболы является |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
2 |
9 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
95
полукубическая парабола (рис. 2.5).
Рис. 2.5
б) Уравнение астроиды. Функция задана неявно. Находим
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
a2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
производные: |
y′ = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
y′′ = |
|
|
|
|
|
. |
Подставляя |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x4 y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
производные вформулы (5), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
||||||||||
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
3 |
= x +3x3 y 3 , η = y +3x |
|
y |
|
. |
|||||||||||||||||
ξ = x + |
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
a |
2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пользуясь уравнением самой астроиды, исключаем из этих выражений х и у:
|
13 |
+ y |
13 |
3 |
|
13 |
− y |
13 |
3 |
ξ +η = x |
|
|
|
,ξ −η = x |
|
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ξ +η)13 = x13 + y 13 , (ξ −η)13 = x13 − y 13 ,
(ξ +η)23 +(ξ −η)23 = 2(x13 + y 13 ) = 2a(ξ +η)23 .
|
Если повернуть оси координат на 45° и по формулам |
||||
ξ = ξ +η |
, |
η = −ξ −η |
выразить новые координаты через |
||
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
старые, то уравнение эволюты в новой координатной системе
примет вид |
ξ23 |
+η23 |
= (2a)23 . Таким образом, эволютой |
|
1 |
1 |
|
астроиды будет астроида вдвое больших размеров (рис. 2.6) и с осями, повёрнутыми на 45° относительно старых координат.
96
Рис. 2.6
в) Параметрические уравнения эллипса. Находим
производные x = −sint , |
y = 2 cos t , x = −cost , |
|
y = −2 sin t . |
|||||||||||||||
Подставляя в формулы (5), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ξ = cos t − |
sin2 t + 4 cos2 t |
|
2 cos t = |
|
|
|
|
|||||||||||
2 sin |
2 t + 2 cos2 t |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= cos t − (1 − cos2 t + 4 cos2 t) cos t = −3 cos3 t , |
||||||||||||||||||
η = |
2 sin t − |
|
|
sin2 t + 4 cos |
2 t |
sin t = |
|
|
|
|
||||||||
|
2 sin2 t + 2 cos2 t |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
3 |
|
|||
= |
2 sin t − |
|
|
|
sin |
|
t + 2 − |
2 sin |
|
t sin t = |
|
sin |
|
t . |
||||
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исключая параметр t , получим уравнение эволюты
эллипса в неявном виде ξ23 +(2η)23 =323 . Кривая напоминает
астроиду и получается из неё путём вытягивания по горизонтальному направлению (рис. 2.7)
97
|
|
|
|
Рис. 2.7 |
|||
|
|
г) Кривая, заданная данным уравнением, представляет |
|||||
логарифмическую спираль. |
Находим производные ρ′ = kρ , |
||||||
|
′′ |
|
2 |
|
|
(ρ2 + ρ′2 )32 |
|
ρ |
= k |
|
ρ . Подставляя их |
в формулу R = ρ2 + 2ρ′2 − ρρ′′ |
|||
|
|
определяем радиус кривизны R = ρ 1+ k 2 . Поскольку кривая задана в полярных координатах, то положение касательной определяется углом θ с продолженным радиус-вектором (рис.
2.8). Имеем tgθ = ρρ′ = k1 −const , то есть угол между радиус-
вектором и касательной сохраняет постоянную величину в каждой точке М кривой. Поскольку k = ctgθ , то радиус
кривизны |
R = |
ρ |
и, |
как следует из |
ONM , совпадает |
с |
|
sinθ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
полярным |
от |
резком |
нормали NM . |
Поскольку точка |
N |
является центром кривизны, то координаты центра кривизны ρ1 ϕ1 в полярной системе координат (см. рис. 2.8) примут вид
ρ1 = ρctgθ = kρ , ϕ1 =ϕ + π2 .
98
Рис. 2.8
Пользуясь уравнением логарифмической спирали,
исключаем |
ρ и ϕ |
из этих |
уравнений, тогда |
уравнение |
|||
|
|
|
ϕ |
− |
π |
|
|
|
|
k |
|
|
|
||
эволюты примет вид |
ρ1 = kae |
1 |
|
2 |
. Нетрудно заметить, что |
||
уравнение |
эволюты |
также |
|
|
|
представляет |
уравнение |
логарифмической спирали, которая получается из исходной поворотом полярной оси вокруг полюса на π2 .
2.4. Особые точки плоских кривых
10. Особой точкой M (x0 , y0 ) плоской кривой F (x, y) = 0 называется такая точка, координаты которой удовлетворяют трём уравнениям
′ |
′′ |
F (x0 , y0 ) = 0 , Fx (x0 |
, y0 ) = 0 , Fy (x0 , y0 ) = 0 . |
При исследовании основных типов особых точек вводят |
|
обозначения A = Fxx′′(x0 , y0 ) , |
B = Fxy′′(x0 , y0 ) , C = Fyy′′(x0 , y0 ) не |
все равные нулю и D = AC − B2 .
Если D > 0 , то M 0 — изолированная точка (рис. 2.9).
Рис. 2.9 |
Рис. 2.10 |
99
Если D < 0 , то M 0 — узел, т. е. двойная точка |
(рис. |
2.10). |
|
Если D = 0 , то M 0 — точка возврата первого рода |
(рис. |
2.11) или второго рода (рис. 2.12) или точка самоприкосновения (рис. 2.13), или изолированная точка.
Рис. 2.11 Рис. 2.12
Для решения вопроса о виде особой точки необходимо рассмотреть расположение точек кривой в окрестности особой точки. Угловой коэффициент касательной к кривой в особой
точке может быть найден из выражения Ck 2 + 2Bk + A = 0 . В случае изолированной точки касательных нет; в узловой точке
— две различные касательные; в точке возврата или самоприкосновения — одна общая касательная к обеим ветвям кривой.
Рис. 2.13
20. Если кривая задана параметрическими уравнениями x =ϕ(t) , y =ψ (t) и при t = t0 x0′ = ϕ′(t0 ) = 0 и y0′ =ψ ′( y0 ) = 0 то имеет место особая точка.
Пусть хотя бы одна из производных второго порядка x0′′,
y0′′ отлична от |
нуля, например |
|
x0′′ > 0 , тогда |
налицо точка |
|||
возврата. Если |
′′′ ′′ |
′′ ′′′ |
, |
то |
M 0 |
— |
точка возврата |
x0 y0 |
− x0 y0 + 0 ≠ 0 |
||||||
первого рода; если |
x0′′′y0′′ − x0′′y0′′′= 0 , то |
M 0 |
— точка возврата |
второго рода.
В случае трансцендентной кривой могут встретиться и другие виды точек: угловые точки, точки прекращения и т. д.
100