Учебное пособие 1623
.pdf
|
|
G |
2 |
|
|
G |
|
|
|
где |
a |
и |
b |
|
— |
|
постоянные |
векторы, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
r = at |
|
+bt , |
|
|
||||||||||||||||||
перпендикулярные друг другу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Решение. Совмещая направление вектора a с осью х, а |
||||||||||||||||||||
вектора |
G |
|
|
|
с осью у, |
будем |
иметь |
x = t 2 , |
y = t . Исключая |
|||||||||||||
b |
|
|
|
|||||||||||||||||||
параметр t , получим x = y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
||||||||||||
|
|
Таким образом, годографом вектор-функции |
|
является |
||||||||||||||||||
парабола. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6.3. |
|
Найти |
производную вектор-функции |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
= sin 2 t i +sin t cos t j + cos tk , |
t [0,2π] . |
|
|||||||||||
|
|
Решение. По формуле (1) будем иметь |
G |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
G |
|
2 |
|
2 |
|
G |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2sin t cost i +(cos |
|
t −sin |
|
t) j −costk = |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= sin 2 t i + cos 2 t j −cos tk . |
|
|
|
|
|
|
||||||
6.4. |
|
Найти |
|
производные |
|
вектор-функций: |
||||||||||||||||
|
|
|
а) |
r |
= cos t iG |
+ el |
j + (t 2 +1)k в точке М(1;1;1); |
|
||||||||||||||
|
|
б) r = t4 iG+(t2 +1) Gj + |
t3 −4kG |
при t = 2. |
|
|||||||||||||||||
|
|
Решение. а) Подставляя координаты точки М в |
||||||||||||||||||||
параметрические |
уравнения |
|
годографа |
|
x = cost , |
y = el , |
z = t3 +1, находим, что в точке М параметр t0 = 0. Производная
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
r |
|
|
G |
|
l |
|
G |
|
|
2 |
G |
|
|
|
|
|
вектор-функции |
|
|
|
|
= −sin t i |
+e |
|
j |
+3t |
|
k |
в |
точке |
М |
равна |
|||||||||||||
|
dt |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
dr |
(0) |
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
= |
j . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3G |
G |
|
2 G |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
б) |
|
Находим |
|
производную |
|
|
|
dr |
= |
4t |
3t |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
i |
+ 2tj + |
t3 |
k , |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
G |
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−4 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
dr (2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
отсюда |
= |
32i |
+ 4 j |
+3k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
6.5. Показать, что векторы |
r |
(t) = i |
+ sin tj + cos tk |
и |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
— перпендикулярны. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
111
|
|
|
|
G |
G |
|
Решение. Находим вектор |
dr |
|
||||
|
= costj |
−sin tk |
. Условием |
|||
dt |
|
|||||
|
|
|
|
|
перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их
скалярного |
|
|
|
|
|
произведения. |
|
|
Из |
|
|
|
выражения |
|||||||||||||||||||||
1 0 +sin t cost −cost sin t = 0 |
|
следует |
|
перпендикулярность |
||||||||||||||||||||||||||||||
данных векторов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
G |
|
|
2 G |
|
||||||||||||
|
|
|
6.6. |
|
|
Даны |
|
две |
|
вектор-функции: |
|
|
+t |
и |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
= i +tj |
k |
||||||||||||||||||||||||
b = ti + t 2 j + t 3 k . |
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Найти: а) |
d |
|
G |
|
|
|
d |
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
(a b) |
|
; б) |
|
|
(a |
×b) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
dt |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
Решение. а) По формуле (5) |
пункта 2° имеем, что |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
d |
G |
G |
|
G |
|
2 G |
|
|
3 G |
|
G |
|
G |
|
|
G G |
|
|
2 |
G |
G |
|
G |
|
2 |
G |
|
||||||
|
|
|
(a |
b) = |
(ti |
+t |
|
j |
+t |
k )( j |
+ 2tk ) + |
(i +tj |
+t |
k )(i |
+2tj +3t |
k ) |
= |
|||||||||||||||||
|
dt |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= t 2 +t 4 +1+ 2t 2 +3t 4 =1+3t 2 +5t 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
б) По формуле (6) |
пункта 2° |
имеем, что |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
d G |
G |
|
G |
|
|
G |
|
G |
|
2 G |
|
3 G |
|
|
G G |
|
2 G |
|
G |
|
G |
2 |
G |
|
|
||||||||
|
|
(a ×b) = |
( j |
+2tk )×(ti +t |
j |
+t |
k ) +(i +tj +t |
k ) ×(i |
+ 2tj +3t |
|
k ) = |
|||||||||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= t 3iG + 2tGj −tkG − 2t 3i +3t 3 j + 2tk +t 2 j −tk − 2t 3i −3t 3 Gj = 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
da |
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
6.7. Найти |
|
|
, если |
a |
= u i |
+ t j |
+ |
t |
|
k |
, где u =const. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение. По формуле (7) пункта 2° имеем: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
da |
|
|
2 |
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
G |
|
G |
|
|
|
|
|
2 G |
|
G |
|
G |
|||
|
|
|
|
|
|
|
= 3u |
|
(−sin t)i |
+2u(−sin t) j |
−sin tk |
= sin t(3u |
i +2uj |
+k . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.8. Найти вторые производные вектор-функций: a) r (t) = cos 3ti +sin tj + 2tk ;
б) r (t) = (t 4 −3)i + (t 3 + 4) j + ln tk ; t0 =1.
Решение. а) Находим первую производную ddtr = −3sin 3tiG+costGj + 2kG.
Вторая производная равна производной от первой
112
производной |
|
|
d 2 |
r |
|
|
= −9 cos 3tiG−sin tGj . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
dt 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) Находим сначала первую, а затем вторую |
||||||||||||||||||||||||||||
производную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
||||||
|
dr |
|
|
3G |
|
|
2 |
G |
|
|
|
1 |
|
d 2 |
r |
|
2 G |
G |
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
= 4t |
i |
+3t |
|
j |
+ |
|
|
k ; |
|
|
=12t |
i |
+ 6tj |
− |
|
k |
. При |
t0 =1 |
|||||||
|
dt |
|
|
t |
|
dt 2 |
t 2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
G |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|||
производная равна |
|
|
|
|
|
d |
r |
|
=12i + 6 j −k —j. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dt 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.9. Дано уравнение движения r (t) = 3cos ti +3sin tj + 2tk . Определить траекторию движения, скорость и ускорение
движения. Найти величины скорости и ускорения движения и |
|||||||||||||||
их направления для моментов t = 0 и t = π . |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Решение. |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Траектория |
|
|
точки |
|
определяется |
|||||||
параметрическими уравнениями |
x = 3cost , |
y = 3sin t , z = 2t и |
|||||||||||||
представляет винтовую линию. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Скорость υ и ускорение w движения найдём как первую |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
d |
r |
|
G |
G |
|
G |
и |
вторую |
|
производные |
υ = |
|
= −3sin ti +3cos tj |
+ 2k ; |
||||||||
|
dt |
||||||||||||||
G |
|
d 2 |
r |
|
|
G |
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
w = |
|
|
= −3cos ti |
−3sin tj . |
Величина |
скорости |
|||||||||
|
dt 2 |
||||||||||||||
υ = |
|
(−3sin t)2 +(3cost)2 +22 = |
13 , |
ускорения |
при любом |
||||||||||
w = |
|
(−3cost)2 +(−3sin t)2 = 3 |
при |
|
любом t . |
При |
t = 0 |
||||||||
скорость равна |
G |
|
|
|
|
G |
= −3i ; при |
t = |
π |
||||||
υ1 |
= 3 j + 2k , ускорение w1 |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
G |
G |
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −3 j . Траектория точки и |
|||||||||
скорость υ2 |
= 3i |
+ 2k , ускорение w1 |
найденные векторы её скорости и ускорения в моменты t = 0 и t = π2 показаны на рис. 2.20.
113
6.10. |
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.20. |
|
|
|
Дано |
|
|
|
G |
уравнение |
|
движения |
|||
|
G |
G |
|
1 |
|
2 |
. Определить ускорение |
w |
|
|
|
|
|
|
|||||||
r (t) = costi |
+sin tj |
+ |
|
t |
|
k |
движения |
|||
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и его тангенциальную wτ и нормальную wn составляющие в
любой момент t и при t = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Решение. |
|
Находим |
вектор |
|
скорости |
и |
|
ускорения |
||||||||||||||
G |
|
dr |
|
|
|
G |
|
G |
|
G |
G |
d 2 |
r |
|
|
G |
G |
|
G |
|
|
|
|
|
υ = |
|
|
= −sin ti +costj |
+tk ; |
w = |
|
|
|
= −cos ti −sin tj |
+ k . |
|
|||||||||||||
dt |
|
dt 2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
Величина скорости определяется модулем вектора |
||||||||||||||||||||||
скорости |
|
υ = |
|
sin 2 t + cos 2 t +t 2 = |
1+t 2 . |
Тангенциальная |
||||||||||||||||||
составляющая ускорения определяется по формуле |
wτ |
= |
dυ |
|
и |
|||||||||||||||||||
dt |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
равна |
|
w = |
|
, а нормальная по формуле |
w = |
w2 + w2 |
, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
τ |
|
1+t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
w = wx2 + wy2 + wz2 |
, |
|
|
|
и |
|
|
|
равна |
|||||||||
w |
= |
|
cos |
2 |
t +sin |
2 |
t +1− |
t 2 |
= |
2 +t 2 |
. Отсюда, |
при |
|
t = 0 |
||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+t 2 |
|
1+t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим wτ = 0 , wn = 2 .
6.11. ЕСЛИ пренебречь сопротивлением воздуха, то уравнение движения снаряда, выпущенного под углом α к плоскости горизонта с начальной скоростью υ0 , имеет вид
114
|
G |
|
gt |
2 |
G |
|
|
|
|
|
|
r (t) = (υ0t cosα)i |
|
||||
|
|
||||
+ υ0t sinα − |
2 |
|
j . |
||
|
|
|
|
|
Определить скоростьитраекторию движения. Решение. Находим вектор скорости
υ = ddtr =υ0 cosαiG+(υ0 sinα − gt) Gj .
Величина скорости равна
υG = (υ0 cosα)2 +(υ0 sinα − gt)2 = υ0 2 −2υ0 gt sinα + g 2t 2 .
Параметрическое уравнение траектории будет
|
x =υ0t cosα, |
|
|
|
|
|
gt |
2 |
|
|
|
|
||
y =υ0t sin α − |
|
|
. |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
Исключая отсюда время t, находим уравнение траектории движения
y = xtgα − |
gx2 |
|
2υ02 cos2 α - |
т. е. движение снаряда |
происходит по параболической траектории.
6.12.Найти дифференциал дуги кривой
x= a cost , y = a sin t , z = a ln cost .
Решение. Находим производные x = −asin t , y = a cos t , z = −a cossin tt .
Отсюда по формуле (З) дифференциал дуги равен
ds = |
(−a sin t) |
2 |
+(a cost) |
2 |
|
−a |
sin t |
2 |
adt |
. |
|
|
+ |
dt = |
cost |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
cost |
|
|
2.7. Естественный трёхгранник пространственной кривой. Касательная и нормальная плоскость к пространственной кривой
10. Естественный трёхгранник, составленный из трёх
115
взаимно перпендикулярных плоскостей, можно построить в любой неособой точке M 0 (x0 , y0 , z0 ) пространственной
кривой. Пусть пространственная кривая задана векторфункцией скалярного аргумента r = r (t) , тогда естественный
трёхгранник (рис. 2.21) состоит из:
а) соприкасающейся плоскости M 0 M1M 2 — содержащей
векторы |
dr |
|
и |
d 2 |
r |
; |
|
|
|
|||
dt |
|
dt |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) нормальной плоскости M 0 M 2 M 3 |
—перпендикулярной |
|||||||||||
к вектору |
d |
r |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) |
|
|
|
спрямляющей |
плоскости |
M 0 M1M 3 |
— |
перпендикулярной первым двум плоскостям.
При пересечении этих плоскостей образуютсятри прямые:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.21. |
|
|
|
|
а) |
M 0 M1 |
|
— |
|
|
|
касательная, |
направляющий |
вектор |
|||||||
|
G |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
касательной T |
= |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
б) |
M 0 M 3 |
— |
|
|
|
бинормаль, |
направляющий |
вектор |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
G |
dr |
|
|
|
d 2 |
r |
|
|
|
|
|
|
|||
бинормали B = |
|
|
, |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||
|
|
|
dt |
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) |
M 0 M 2 |
— главная нормаль, вектор главной нормали |
||||||||||||||
NG = [BG,TG] . Соответствующие им единичные векторы: |
|
G |
||||||||||||||
τG = |
TG |
, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| T | |
116
G |
BG |
G |
|
NG |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β = |
G |
, |
v |
= |
G |
вычисляютсяпоформулам |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
| B | |
|
|
| N | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
d |
r |
|
|
G |
|
|
|
d |
r |
|
|
|
|
|
|
G |
G |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
ds |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
, |
v = |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
β = [τ |
, v], |
(1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ds |
|
|
|
d |
r |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
где s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ds |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
— длина дуги кривой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
20. Уравнение касательной к пространственной кривой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x = x(t) , |
|
y = y(t) , z = z(t) |
в точке M 0 (x0 , y0 , z0 ) |
имеет вид |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − x0 |
|
= |
|
y − y0 |
= |
z − |
z0 |
|
(2) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
t =t0 |
|
|
|
dt |
|
t =t0 |
|
dt |
t =t0 |
|
|||||||||||||
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
x − x0 |
|
|
|
y − y0 |
|
|
|
|
|
|
z − z0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
= |
|
|
|
(3) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
y |
|
|
|
T |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
где х, у, z — текущие координаты точки касательной;
координаты x0 , y0 , z0 |
соответствуют значению параметра t0 ; |
||||||||||||||||||||||||||
Уравнение нормальной плоскости в точке M 0 вытекает |
|||||||||||||||||||||||||||
из условия перпендикулярности прямой и плоскости |
|
||||||||||||||||||||||||||
(x − x |
0 |
) |
dx |
|
|
|
|
+( y − y |
0 |
) |
dx |
|
|
|
+(z − z |
0 |
) |
dx |
|
|
= 0 |
(4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
dt |
dt |
dt |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
t =t0 |
|
|
|
|
|
t =t0 |
|
|
|
t =t0 |
|
|||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(x − x0 )Tx + ( y − y0 )Ty |
|
|
+ (z − z0 )Tz |
= 0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
Аналогично определяются: уравнение главной нормали |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x − x0 |
= |
y − y0 |
|
|
|
= |
z − z0 |
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Nx |
|
|
|
Nz |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
уравнение спрямляющей (касательной) плоскости |
|
||||||||||||||||||||||||||
(x − x0 )N x |
+ ( y − y0 )N y + (z − z0 )N z |
= 0 , |
(7) |
уравнение бинормали
117
|
|
|
x − x0 |
= |
y − y0 |
= |
z − z0 |
|
|
(8) |
||||||
|
|
|
Bx |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
By |
|
|
|
Bz |
|
|
||
уравнение соприкасающейся плоскости |
|
|
||||||||||||||
|
|
(x − x0 )Bx |
+ ( y − y0 )By + (z − z0 )Bz = 0 . |
(9) |
||||||||||||
30. Если пространственная кривая задана линией |
||||||||||||||||
пересечения двух поверхностей |
F (x, y, z) = 0 |
и G(x, y, z) = 0 , |
||||||||||||||
то вместо |
векторов |
|
|
|
dr |
|
и |
|
d 2 |
r |
можно |
брать векторы |
||||
|
|
|
dt |
|
|
dt 2 |
||||||||||
dr{dx, dy, dz} |
|
2 G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и d |
2 |
x, d |
2 |
y, d |
2 |
z} . В данном случае одну из |
||||||||||
|
r{d |
|
|
|
переменных x,y,z можно считать независимой и её второй дифференциал приравнивать нулю.
|
|
7.1. Дана кривая |
|
x =t , y = t 2 , |
z = t 3 . |
В точке М0(2,4,8) |
||||||||||||||||||||||||||||
найти: а) основные единичные векторы τ , β , v ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
б) уравнения касательной, главной нормали и бинормали; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
в) |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
касательной, |
нормальной |
и |
|||||||||||||||||||||
соприкасающейся плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. |
а) |
|
|
|
Составим |
уравнение |
|
вектор-функции |
||||||||||||||||||||||||
r |
= tiG |
+t 2 |
Gj +t 3kG |
и найдём производные |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dr |
|
G |
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
2 G |
d 2 |
r |
|
|
|
|
G |
G |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
= i |
+2tj |
+3t |
k , |
|
|
|
|
= 2 j +6tk . |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
dt |
dt 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Поскольку в точке М0 параметр t0 = 2, то вектор |
||||||||||||||||||||||||||||||||
касательной будет |
|
G |
|
|
|
dr |
|
|
G |
G |
|
|
G |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
= |
|
|
|
|
|
|
|
= i + 4 j +12k |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
вектор бинормали |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iG Gj k |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
G |
dr |
|
|
|
d 2 |
r |
|
|
|
|
|
G |
G |
G |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
B |
= |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 4 12 |
|
= 24i |
−12 j |
+2k , |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектор нормали
118
|
|
|
|
|
NG = [BG,TG]= |
|
iG |
Gj |
|
|
k |
|
|
= −152iG−286 Gj +108kG . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
24 |
|
−12 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Таким образом, основные единичные векторы будут |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
G |
= |
iG |
+4 Gj +12k |
|
|
|
G |
24i −12 j +2k |
= |
12i −6 j +kG |
||||||||||||||||||||||||||||||||
τ |
|
|
161 |
|
|
|
, β = |
|
|
724 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
181 |
|
|
||||||||||||||
|
|
vG = −152iG−286 j +108k |
|
= −76i −143 j +54k . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
116564 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29141 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
б) Поскольку в точке М0 координаты х0 =2, у0=4, z0 = 8 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и производные при t0 |
|
= 2 равны |
dx |
|
=1, |
|
dy |
= 4 , |
|
dz |
=12 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение касательной (2) будет |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
dt |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x −2 |
= |
|
y −4 |
= |
z −8 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Уравнение главной нормали (6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x −2 |
= |
|
y −4 |
= |
z −8 |
|
или |
|
|
x −2 |
= |
y −4 |
|
= |
z −8 |
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
−152 |
|
|
|
|
|
|
−76 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
−286 |
108 |
|
|
|
|
|
143 |
|
54 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Уравнение бинормали (8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x −2 |
= |
y −4 |
= |
z −8 |
|
или |
x −2 |
= |
y −4 |
= |
z −8 |
.. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−12 |
2 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
−6 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
в) Уравнение касательной плоскости (7) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
−152(x −2) −286( y −4) +108(z −8) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
или |
|
|
|
76x +143y −54z = 292 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение нормальной плоскости (5)
(x −2) + 4( y −4) +12(z −8) = 0 или x +4 y +12z =114 .
Уравнение соприкасающейся плоскости (9)
24(x −2) −12( y −4) +2(z −8) = 0 или 12x −6 y + z = 8 .G
7.2. Найти основные единичные векторы τ , β , кривой y = x2 , z = 2x в точке x0 = 2 .
то
vG
Решение. Пространственная кривая задана пересечением
119
параболического цилиндра Дифференцируя эти уравнения, переменной, получим dy = 2xdx d 2 z = 0 .
и плоскости z = 2x .
считая х |
независимой |
и dz = 2dx , |
d 2 y = 2dx 2 и |
Отсюда |
при |
x0 = 2 |
получим |
dr{dx,4dx,2dx} |
и |
|||||||||||||||||||
d 2 rG{0,2dx 2 ,0} |
или dr{1,4,2} |
и |
|
d2r{0,1,0} |
|
|
||||||||||||||||||
Таким образом, единичные векторы равны: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
τG = |
TG |
= i + 4 j + 2k |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| T | |
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BG = [dr |
|
|
]= |
|
iG |
Gj |
k |
|
|
= −2iG+kG |
, βG |
|
|
|
|
G |
G |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
, d 2 |
r |
|
1 4 2 |
|
|
= |
|
BG |
= −2i + k |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| B | |
5 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NG |
= [BG,TG]= |
|
iG |
Gj |
k |
|
= −4iG+5 Gj −8kG, |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
−2 0 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
NGG |
|
1 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
vG = |
|
−4i +5 j −8k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
| N | |
|
105 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7.3. Найти уравнения касательной прямой и нормальной |
||||||||||||||||||||||||
плоскости |
к |
линии: |
a) |
x =t , |
y = t 2 , |
z = t 3 , |
t0 =1; |
|
|
|||||||||||||||
G |
|
|
2 |
G |
|
|
|
|
|
|
2 |
tk |
, t0 |
= |
π |
; |
|
|
|
|||||
б) r (t) = sin |
|
ti +sin t cos tj + cos |
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) 2x2 +3y 2 + z 2 = 9 , |
3x2 + y 2 − z 2 |
= 0 в точке M 0 (1,−1,2) . |
||||||||||||||||||||||
Решение. а) Находим производные: |
x =1, |
y = 2t , |
z = 3t 2 |
|||||||||||||||||||||
и вычисляем их значения при t0 |
=1: |
|
x(1) =1, |
y(1) = 2 , z(1) = 3 . |
||||||||||||||||||||
Определяем |
координаты |
точки |
касания |
|
x0 =1 , |
y0 |
=1 , |
z0 =1. Отсюда, уравнения касательной прямой (2) и плоскости
(4) примут вид:
120