- •Прикладная механика твердого деформируемого тела
- •Часть 2
- •Прикладная механика твердого деформируемого тела
- •Часть 2
- •Введение
- •Глава 1 основы теории упругости
- •1.1 Основные положения, допущения и обозначения
- •1.2 Уравнения равновесия элементарного параллелепипеда и элементарного тетраэдра
- •1.3 Нормальные и касательные напряжения по наклонной площадке
- •1.4 Определение главных напряжений и наибольших касательных напряжений в точке
- •1.5 Напряжения по октаэдрическим площадкам
- •1.6 Понятие о перемещениях. Зависимости между деформациями и перемещениями
- •1.7 Относительная линейная деформация в произвольном направлении
- •1.8. Уравнения совместности деформаций
- •1.9 Закон Гука для изотропного тела
- •1.10 Плоская задача в прямоугольных координатах
- •1.11 Плоская задача в полярных координатах
- •1.12 Возможные решения задач теории упругости
- •1.13 Решение задач в перемещениях
- •1.14 Решения задач в напряжениях
- •1.15 Случай температурного поля
- •1.16 Краткие выводы
- •Глава 2 простейшие осесимметричные задачи
- •2.1 Уравнения в цилиндрических координатах
- •2.2 Деформация толстостенного сферического сосуда
- •2.3 Сосредоточенная сила, действующая на плоскость
- •2.4 Частные случаи загрузки упругого полупространства
- •2.5 Вдавливание абсолютно жесткого шара в упругое полупространство
- •2.6. Задача об упругом смятии шаров
- •Глава 3 толстостенные трубы
- •3.1 Общие сведения. Уравнение равновесия элемента трубы
- •3.2 Исследование напряжений при давлении на одном из контуров
- •3.3 Условия прочности при упругой деформации
- •3.4 Напряжения в составных трубах.
- •3.5 Понятие о расчете многослойных труб
- •3.6 Примеры
- •Глава 4 пластины и мембраны
- •4.1 Основные определения и допущения
- •4.2 Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластины в прямоугольных координатах
- •4.3 Цилиндрический и сферический изгиб пластины
- •4.4 Изгибающие моменты при осесимметричном изгибе круглой пластины
- •4.5 Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности круглой пластины
- •4.6 Граничные условия. Наибольшие напряжения и прогибы. Условия прочности
- •4.7 Температурные напряжения в пластинах
- •4.8 Определение усилий в мембранах. Цепные усилия и напряжения
- •4.9 Приближенное определение прогиба и напряжений в круглой мембране
- •4.10 Примеры
- •Глава 5 оболочки
- •5.1 Общие сведения об оболочках
- •5.2 Понятие о расчете оболочки произвольной формы
- •5.3 Оболочка вращения, нагруженная нормальным давлением
- •5.4 Изгиб цилиндрической круговой оболочки
- •5.5 Определение усилий и перемещений в длинной цилиндрической оболочке
- •5.6 Длинная цилиндрическая оболочка, подкрепленная кольцами
- •5.7 Местные напряжения в сопряжении оболочек Уравнение совместности деформации.
- •5.8 Определение перемещении и усилий в короткой цилиндрической оболочке
- •5.9 Температурные напряжения в цилиндрической оболочке
- •5.10 Напряженное состояние цилиндрической оболочки и условие прочности
- •5.11 Примеры
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Часть 2 Осесимметричные задачи теории упругости
5.6 Длинная цилиндрическая оболочка, подкрепленная кольцами
Цилиндрическая оболочка, подкрепленная равноотстоящими кольцами, площадь сечения которых F, подвергается внешнему равномерно распределенному радиальному давлению интенсивностью q (рис. 98). Для нахождения усилий и перемещений в любом сечении следует наложить решение по схеме а (рис. 99), на решение по схеме б (расчетный случай 1). Задача определения радиальных перемещений w для такой оболочки статически неопределима и для ее решения необходимо составить уравнение совместности деформаций.
Рис. 98
|
а) |
|
б) |
Рис. 99
Кольца абсолютно жесткие. Силу взаимодействия, возникающую между кольцом и оболочкой, обозначим X: погонная поперечная сила по схеме б
. (5.65)
Уравнение совместности деформаций
. (5.66)
Оно представляет собой условие того, что радиальное перемещение оболочки в сечении х = 0, в котором расположено кольцо, произойти не может.
Перемещение оболочки от нагрузки q, которое было бы при отсутствии кольца, уничтожается перемещением оболочки , вызванным погонными усилиями Q0 и M0, возникающими в сечении х = 0 вследствие наличия в последнем подкрепляющего кольца. Верхние индексы “о” в формуле (5.56) показывают, что перемещения относятся к оболочке. Перемещение оболочки от нагрузки q по безмоментной теории [см. формулу (5.10)]:
.
По формуле (5.57) радиальное перемещение оболочки от действия погонной поперечной силы Q0 и погонного изгибающего момента Мо
. (5.67)
Подставив указанные выражения (5.10) и (5.67) в уравнение (5.66), связывающее абсолютные значения перемещений, получим
.
Заменим Q0 и M0 в этом уравнении на неизвестные силы взаимодействия X. Поперечная сила Q0 связана с Х зависимостью (5.65). Уравнение для замены М0 на Х найдем из условия, что в силу симметрии изгиба оболочки касательная к изогнутой срединной поверхности оболочки в сечении х = 0 должна быть горизонтальна (см. рис. 98):
,
или на основании формулы (5.58)
.
C учетом формулы (5.65)
. (5.68)
Подставим в уравнение (5.66) выражения Q0 и М0 (5.65) и (5.68) и получим
,
откуда
.
Так как при помощи выражения для коэффициента затухания перемещений можно написать
, (5.69)
то окончательное выражение для погонной силы взаимодействия:
. (5.70)
Тогда погонная поперечная сила Q0 и изгибающий момент М0 в сечении х = 0 по оси подкрепляющего кольца по формулам (5.65) и (5.68)
;
.
Такие же выражения Q0 и М0 получатся для цилиндрической оболочки, нагруженной радиальной сжимающей равномерно распределенной нагрузкой у защемленной кромки. Условия деформации у такой кромки те же, что и в случае абсолютно жесткого подкрепляющего кольца.
Кольца могут деформироваться. В этом случае уравнение совместности деформаций следует записать так:
. (5.71)
Оно отличается от уравнения (5.66), так как радиальное перемещение оболочки, представленное левой частью уравнения, уже неравно нулю. Разность абсолютных величин перемещений оболочки, вызванных нагрузкой q и погонными усилиями Q0 и М0, должна быть равна обжатию кольца , вызванному погонной силой взаимодействия Х (рис. 100).
Радиальное перемещение точек кольца от погонной нагрузки Х
.
Сжимающее напряжение в кольце (рис. 101)
,
поэтому
,
где F площадь поперечного сечения кольца.
Рис. 100
Выражения для Q0 и М0 через силу взаимодействия Х остаются такими же [см. формулы (5.65) и (5.68)], так как условия симметрии сохраняются.
Рис. 101
Если учесть значения всех величин, входящих в уравнение (5.71) совместности деформаций, получится выражение
. (5.72)
Заменив его выражением (5.69), произведя сокращение на и решив уравнение (5.70) относительно X, получим
. (5.73)
Представим решение (5.73) в виде произведения решения (5.70) для абсолютно жесткого кольца на коэффициент , учитывающий податливость кольца:
.
Коэффициент
учитывает уменьшение погонной силы X, получающееся при деформации подкрепляющего кольца. Оно тем ближе к единице, чем меньше толщина оболочки h и чем больше площадь сечения кольца F.
Зная X, по формулам (5.65) и (5.68) находим поперечную силу и изгибающий момент Q0 и M0 в сечении, в котором расположено кольцо. Имея величины Q0 и М0, можно найти возникающие от них радиальные перемещения и усилия Qx и Мx на любом расстоянии х от кольца, пользуясь формулами (5.53), (5.55) и (5.56).