- •Прикладная механика твердого деформируемого тела
- •Часть 2
- •Прикладная механика твердого деформируемого тела
- •Часть 2
- •Введение
- •Глава 1 основы теории упругости
- •1.1 Основные положения, допущения и обозначения
- •1.2 Уравнения равновесия элементарного параллелепипеда и элементарного тетраэдра
- •1.3 Нормальные и касательные напряжения по наклонной площадке
- •1.4 Определение главных напряжений и наибольших касательных напряжений в точке
- •1.5 Напряжения по октаэдрическим площадкам
- •1.6 Понятие о перемещениях. Зависимости между деформациями и перемещениями
- •1.7 Относительная линейная деформация в произвольном направлении
- •1.8. Уравнения совместности деформаций
- •1.9 Закон Гука для изотропного тела
- •1.10 Плоская задача в прямоугольных координатах
- •1.11 Плоская задача в полярных координатах
- •1.12 Возможные решения задач теории упругости
- •1.13 Решение задач в перемещениях
- •1.14 Решения задач в напряжениях
- •1.15 Случай температурного поля
- •1.16 Краткие выводы
- •Глава 2 простейшие осесимметричные задачи
- •2.1 Уравнения в цилиндрических координатах
- •2.2 Деформация толстостенного сферического сосуда
- •2.3 Сосредоточенная сила, действующая на плоскость
- •2.4 Частные случаи загрузки упругого полупространства
- •2.5 Вдавливание абсолютно жесткого шара в упругое полупространство
- •2.6. Задача об упругом смятии шаров
- •Глава 3 толстостенные трубы
- •3.1 Общие сведения. Уравнение равновесия элемента трубы
- •3.2 Исследование напряжений при давлении на одном из контуров
- •3.3 Условия прочности при упругой деформации
- •3.4 Напряжения в составных трубах.
- •3.5 Понятие о расчете многослойных труб
- •3.6 Примеры
- •Глава 4 пластины и мембраны
- •4.1 Основные определения и допущения
- •4.2 Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластины в прямоугольных координатах
- •4.3 Цилиндрический и сферический изгиб пластины
- •4.4 Изгибающие моменты при осесимметричном изгибе круглой пластины
- •4.5 Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности круглой пластины
- •4.6 Граничные условия. Наибольшие напряжения и прогибы. Условия прочности
- •4.7 Температурные напряжения в пластинах
- •4.8 Определение усилий в мембранах. Цепные усилия и напряжения
- •4.9 Приближенное определение прогиба и напряжений в круглой мембране
- •4.10 Примеры
- •Глава 5 оболочки
- •5.1 Общие сведения об оболочках
- •5.2 Понятие о расчете оболочки произвольной формы
- •5.3 Оболочка вращения, нагруженная нормальным давлением
- •5.4 Изгиб цилиндрической круговой оболочки
- •5.5 Определение усилий и перемещений в длинной цилиндрической оболочке
- •5.6 Длинная цилиндрическая оболочка, подкрепленная кольцами
- •5.7 Местные напряжения в сопряжении оболочек Уравнение совместности деформации.
- •5.8 Определение перемещении и усилий в короткой цилиндрической оболочке
- •5.9 Температурные напряжения в цилиндрической оболочке
- •5.10 Напряженное состояние цилиндрической оболочки и условие прочности
- •5.11 Примеры
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Часть 2 Осесимметричные задачи теории упругости
3.4 Напряжения в составных трубах.
Имеются конструкции, представляющие собой составные толстостенные оболочки или трубы (например, стволы артиллерийских орудий, облицовки пустотелых гребных винтов) (рис. 33,а). В этих случаях наружные оболочки насаживаются на внутренние с натягом (рис. 33,б). Геометрическое условие совместности деформаций внутренней и наружной трубы имеет вид
,
где vB уменьшение наружного радиуса внутренней трубы;
vH увеличение внутреннего радиуса наружной трубы.
Подставив в уравнение (3.18) абсолютные величины радиальных перемещений vB и vH по формулам (3.12) и (3.10) с учетом обозначений, принятых для радиусов на рис. 33, получим
, (3.19)
где р междутрубное давление, действующее на поверхности соприкосно-вения труб;
ЕB и ЕH модули упругости материала внутренней и наружной труб.
Применительно к трубам, выполненным из одинакового материала с модулем упругости Е, формула (3.19) примет вид
, (3.20)
где введено обозначение
. (3.20)
а)
б) Рис. 33 |
Решение уравнения (3.20) дает следующее выражение для междутрубного давления:
. (3.21)
При заданном натяге для возможности насадки наружной трубы на внутреннюю нужно или нагреть наружную трубу или охладить внутреннюю.
Натяг связан с температурой t соотношением
. (3.22)
Приравняв правые части уравнений (3.20) и (3.22), получим междутрубное давление после насадки
. (2.23)
Напряжения в составной трубе вычисляются на основании принципа сложения действия сил путем алгебраического суммирования рабочих напряжений от внутреннего давления рB сплошной трубы с внутренним радиусом R1 и наружным R3 (соответствующие эпюры показаны на рис. 33,в) и напряжений от междутрубного давления р. Для внутренней трубы междутрубное давление представляет собой наружную радиальную сжимающую нагрузку, а для наружной внутреннюю радиальную сжимающую нагрузку. Эпюры от междутрубного давления р показаны на рис. 33,г, а суммарные эпюры напряжений r и T на рис. 33,д.
Пользуясь одной из теорий прочности, можно при заданном наружном радиусе R2 внутренней трубы определить величину возможного полного радиального давления р, действующего по поверхности соприкосновения труб, из условия, что расчетное напряжение э по выбранной теории прочности в наиболее напряженных точках А и В (рис. 34) трубы равняется допускаемому напряжению [].
|
|
|
а |
б |
в |
в) Рис. 34 |
В точке А
.(3.24)
В точке В
(3.25)
Если приравнять выражение (3.24) для напряжения э в точке А допускаемому напряжению [], полное радиальное давление р на поверхности соприкосновения труб получится из уравнения
следующим:
. (3.26)
Наружный радиус R3 наружной трубы определяется при известной величине давления р из условия прочности для элемента, выделенного у точки В на внутренней поверхности наружной трубы (рис. 34,в). По третьей теории прочности аналогично (3.16)
, (3.27)
а по формуле (3.11) при радиусах RВ = R2, RН = R3 и r = R2
. (3.28)
Приравняв выражения (3.27) и (3.28), найдем
откуда
. (3.29)
Условие равнопрочности труб в точках А и В получится путем приравнивания выражений (3.23) и (3.24) для напряжения в этих точках:
.
Если подставить выражение (3.21) для междутрубного давления в формулу (3.24) для расчетного напряжения, э последняя получит вид:
.
Расчетное напряжение э для составной трубы будет иметь наименьшее значение. Тогда, когда отрицательное слагаемое в квадратных скобках будет наибольшим. Это произойдет при значении при этом квадратная скобка будет равна , а наименьшее расчетное напряжение
.
В разделе 3.3 по третьей теории прочности была получена формула для расчетного напряжения э сплошной трубы, подверженной внутреннему давлению. Насколько уменьшается это напряжение у составной трубы, показывает соотношение
.
При малом внутреннем радиусе R1 это отношение приближается к 0,5. Если же наружный радиус R3 близок по значению внутреннему радиусу R1 , т. е. труба тонкостенная, отношение становится близким к единице, т. е. составная труба не имеет прочностных преимуществ по сравнению со сплошной.