Учебники / Физика конденсированных сред

барьера. Переход смогут осуществить лишь электроны, обладающие достаточной кинетической энергией.

Рис. 1. Схема зонной структуры при контакте полупроводника с металлом

Этот процесс будет приводить к уменьшению числа высокоскоростных электронов в области контакта. Тепловое равновесие при этом нарушится, и для его восстановления потребуется подвод тепла, что и приводит к охлаждению области контакта. Холодильники на основе эффекта Пельтье широко используются для охлаждения электронных устройств, в частности процессоров ПК.

из первого уравнения (1.35), вспоминая определения градиента электрохимического потенциала

Переходя во втором выражении формулы (1.39) от интегрирования по координатам к интегрированию по температуре, после очевидных преобразований получаем

T2

VСД = (αп(T ) − αм(T )) dT (αп − αм) (T2 − T1). (1.40)

T1

Второе из равенств в формуле (1.40) записано для того случая, когда можно пренебречь температурной зависимостью αп и αм в интервале температур от T1 до T2.

Как следует из формулы (1.40), экспериментально невозможно найти коэффициент дифференциальной термоэдс для одного материала, поскольку измеряемая разность потенциалов определяется разностью коэффициентов Зеебека для материалов, составляющих термопару. Можно, однако, с точностью, достаточной для практических целей, подобрать термопару так, чтобы один из коэффициентов ( αп ) был много больше другого ( αм ). Действительно, как будет показано в следующих главах, при достаточно низких температурах αм/αп kБT /ζм ≈ 10−2 ( kБ – постоянная Больцмана, ζм – энергия Ферми электронов в металле). В этом случае можно найти с хорошей точностью значение константы Зеебека для полупроводникового материала. Большей точности можно достичь лишь в области низких температур, используя термопару, одной из ветвей которой является материал в сверхпроводящем состоянии (в сверхпроводящем состоянии коэффициент дифференциальной термоэдс обращается в нуль).

Эффект Томсона

Явление Томсона состоит в том, что если вдоль проводника, по которому пропускается электрический ток, приложить еще и градиент температуры, то в объеме образца в дополнение к джоулеву теплу выделяется тепло Томсона Q , пропорциональное как плотности электрического тока, так и градиенту температуры

34 Глава 1. Термодинамика необратимых процессов

где σT – коэффициент Томсона. Выразим коэффициент σT через кинетические коэффициенты, входящие в феноменологические уравнения переноса (1.35). Рассмотрим уравнение (1.10), выражающее баланс теплоты, и подставим в него выражения для градиента электрохимического потенциала ε и плотности

потока тепла JQ, используя определения (1.35). В результате несложных преобразований получаем

При выводе этого уравнения мы воспользовались предположе-

нием о постоянстве плотности потока заряда J вдоль образца и учли, что коэффициент Пельтье зависит от координат только

В уравнении (1.42) первое слагаемое в правой части определяет поток тепла через поверхность объема проводника за

ˆ

счет явления теплопроводности. Коэффициент κ˜ имеет смысл теплопроводности электронной системы. Второе слагаемое описывает объемную генерацию джоулева тепла, а коэффициент ρˆ имеет смысл удельного электросопротивления. Третье слагаемое описывает выделение тепла Томсона, поэтому

этот результат в выражение (1.43), получаем другое определение коэффициента Томсона

Физическую причину явления Томсона легко понять, если исходить из наглядного представления о движении электронов

проводимости в образце при наличии в нем градиента температуры. На рис. 3 изображены два изотермических сечения образца, обозначенные цифрами 1 и 2. Градиентная заливка прямоугольника схематически изображает градиент температуры. Пусть в сечении 1 температура образца T1 выше, нежели температура T2 в сечении 2, а движение электронов совпадает с направлением стрелки.

Рис. 3. Схема, поясняющая сущность явления Томсона

Будем считать, что расстояние между сечениями 1 и 2 сравнимо с длиной свободного пробега электронов в образце и при движении между этими сечениями они не испытывают столкновений с решеткой. Электроны в сечении 1 находились в состоянии температурного равновесия с решеткой и, перейдя в сечение 2, окажутся там носителями избыточной кинетической энергии. Термализуясь они отдадут избыточную энергию в сечении 2 своему окружению. Именно эта энергия и выделяется в виде тепла Томсона. Проще всего эффект Томсона наблюдать нагревая середину образца, по которому течет ток. В этом случае легко заметить разницу температур на концах проводника.

Явления Пельтье, Томсона и Зеебека тесно связаны между собой, и знание, например, зависимости коэффициента дифференциальной термоэдс от температуры позволяет найти и коэффициент Пельтье, и коэффициент Томсона. Вместе с тем выражение (1.44) в принципе позволяет найти зависимость α(T ), если известны значения коэффициента Томсона в широком температурном интервале. Действительно, интегрируя (1.44), получаем

36 Глава 1. Термодинамика необратимых процессов

Практически это трудно осуществимо из-за достаточно сложных проблем прецизионного измерения эффекта Томсона.

Завершая краткий обзор термоэлектрических эффектов, рассмотрим пример применения соотношений взаимности Онсагера к анализу термоэлектрических явлений.

Задача 1.2

Обобщенные термодинамические потоки и обобщенные термодинамические силы можно определять по-разному. В случае, когда имеется только электрическое поле и градиент температуры, производство энтропии (без учета потока через поверхность), как известно, определяется формулой (1.11)

Поэтому можно определить два обобщенных потока

и сопряженные им обобщенные термодинамические силы

При таком определении обобщенных сил и обобщенных потоков соотношения (1.21) по-прежнему сохраняют свою силу.

Используя приведенные выше определения обобщенных потоков и обобщенных термодинамических сил, выразить обобщенные кинетические коэффициенты Lij через тензорные величины, фигурирующие в уравнении (1.35) и, пользуясь соотношением взаимности Он-

сагера, установить взаимосвязь тензоров ˆ и .

Π αˆ

Решение

Запишем уравнения переноса двумя способами, используя обобщенные потоки и силы, определенные в условии задачи и с помощью

определений (1.35). В результате получаем

Сравнивая выражения (1.46) и (1.47), легко найти значения коэффициентов Lij :

Чтобы установить взаимосвязь тензоров Пельтье и дифференциальной термоэдс, используем соотношения взаимности Онсагера. Поскольку термодинамический поток I1 в данном случае четен относительно операции обращения времени, а поток I2 нечетен, то соотношения симметрии в соответствии с формулой (1.22) да-

ют − , откуда и следует искомая взаимосвязь ˆ

L12 = L21 Π = αˆ T.

§ 9. Эффекты, возникающие во внешнем магнитном поле

Включение внешнего магнитного поля приводит к появлению дополнительной анизотропии свойств кристаллов. Действительно, пусть среда до включения внешнего поля была изотропной. Тогда внешнее магнитное поле приводит к выделению одного направления в среде, совпадающего с направлением внешнего магнитного поля (ось Z. ) Движение заряженной частицы вдоль магнитного поля происходит как квазисвободное, тогда как в плоскости, перпендикулярной оси Z , заряженные частицы, имеющие ненулевую скорость, будут испытывать действие силы Лоренца. Все направления в плоско-

сти, перпендикулярной H, останутся при этом эквивалентными. Я. И. Френкель предложил называть такую анизотропию

38 Глава 1. Термодинамика необратимых процессов

гиротропией. В гиротропной среде физические свойства остаются неизменными при повороте системы координат на произвольный угол вокруг оси Z. Отсюда следует, что и все кинетические коэффициенты должны быть инвариантными относительно этого преобразования. На основании этих рассуждений, например, для тензора электросопротивления ρik получаем

где ρik – значение тензора электросопротивления после преобразования вращения системы координат вокруг оси Z на произвольный угол, αil – матрица, задающая это преобразование.

Требования инвариантности тензора электросопротивления относительно преобразований вращения вокруг оси Z на произвольный угол (1.49) сводятся к тому, что структура этого тензора должна иметь вид

Очевидно, что тензорная структура других кинетических коэффициентов в магнитном поле будет точно такой же.

Запишем систему уравнений (1.35) для случая, когда H = 0 , учитывая тензорную структуру кинетических коэффициентов (1.50):

Пользуясь системой феноменологических явлений переноса (1.51) – (1.56), перейдем к обсуждению основных явлений в магнитном поле.

40 Глава 1. Термодинамика необратимых процессов

Эффект Холла принято характеризовать постоянной Холла R . При условии Jy = 0 , xT = 0 , yT = 0 на основании уравнения (1.52) имеем

Казалось бы, природа возникновения холловской разности потенциалов совершенно очевидна: при пропускании тока вдоль оси X на электроны будет действовать сила Лоренца, направленная вдоль оси Y . Поэтому на задней стенке образца возникнет избыточный отрицательный заряд, а на передней – избыточный положительный заряд (см. рис. 4). Это элементарное рассуждение не выдерживает критики, поскольку исходит из представления, что составляющая скорости vx всех электронов вдоль оси X одинакова. Если скорости всех электронов одинаковы, то градиент концентрации заряда приведет к созданию электрического поля, которое полностью скомпенсирует действие магнитной составляющей силы Лоренца.

В действительности электроны распределены по скоростям, поэтому полной компенсации силы Лоренца холловским полем не будет: в геометрии рис. 4 более быстрые электроны будут смещаться к задней грани образца, а более медленные – к передней. Убедиться в необходимости учета распределения носителей тока по скоростям при интерпретации гальваномагнитных явлений достаточно легко. Например, изменение электросопротивления в магнитном поле или адиабатический эффект Эттинсгаузена (возникновение градиента температуры yT при пропускании электрического тока Jx ) просто оказались бы равными нулю, если не учитывать распределение электронов по скоростям.

Изменение сопротивления в магнитном поле

Как указывалось выше, изменение электрического сопротивления в магнитном поле можно объяснить, только учитывая распределение электронов по скоростям. В этом случае магнитная составляющая силы Лоренца компенсируется действием