Учебники / Физика конденсированных сред

которое является обобщением первого из уравнений системы феноменологических уравнений переноса (1.15) на случай смешанного типа проводимости; σn , σp и βn , βp – коэффициенты электропроводности и термоэлектрические коэффициенты электронной и дырочной подсистем. Пользуясь соотношениями (1.35) и (1.36), найдем выра-

жение для поля в однородном проводнике

E

коэффициент дифференциальной термоэдс определяется формулой (4.51) (аналогичную формулу следует написать и для дырок), полу-

В этой формуле σ = σn + σp – полная электропроводность, r – показатель рассеяния для дырок.

Не следует считать, что эта простая теория кинетических коэффициентов, основанная на параболическом законе дисперсии электронов и дырок, может дать хорошее количественное согласие с экспериментом. Например, в таких типичных металлах, как литий, медь, серебро, золото, величина термоэдс совпадает по порядку величины с результатами простой оценки, но имеет положительный знак (типичный для дырочных материалов) в очень широком температурном интервале вплоть до температур плавления. Было предпринято достаточно много попыток объяснить эту аномалию. Идею, которая напрашивается самой первой, – объяснить эффект влиянием непараболичности закона дисперсии и влиянием сложной формы поверхности Ферми, пришлось отбросить сразу, поскольку знак эффекта Холла в этих материалах типичен для электронных носителей. Можно объяснить эффект, если предположить, что существует аномально резкая зависимость времени релаксации импульса электронов от энергии [30]. Действительно, из формулы (4.33), в которой l нужно положить равным единице, следует, что знак интеграла определяется тем, какие электроны дадут больший

212 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

вклад в интеграл. Интеграл можно разбить на две части и рассмотреть вклад электронов с энергией, меньшей и большей ζ . Электроны с энергией εp < ζ дадут отрицательный вклад, а электроны с кинетической энергией εp > ζ – положительный. Если вклад электронов с кинетической энергией εp > ζ подавляется за счет резкого уменьшения времени релаксации, то результирующее значение интеграла K1 получится отрицательным и термоэдс будет иметь положительный знак.

Любопытно заметить, что положительный знак термоэдс для электронов означает, что они будут диффундировать в поле температурного градиента в сторону более высоких температур.

§ 4. Рассеяние электронов на колебаниях решетки

Приближение времени релаксации дает достаточно хорошие результаты при описании термоэлектрических явлений в проводящих кристаллах, но, во-первых, это приближение само нуждается в обосновании, а во-вторых, есть эффекты, которые требуют выхода за рамки приближения времени релаксации. Примером может служить явление увлечения электронов фононами, которое сильно изменяет значение коэффициента дифференциальной термоэдс при достаточно низких температурах. Другим аргументом в пользу более детального изучения процессов рассеяния электронов в кристалле является необходимость независимой оценки величины времени релаксации τ из первых принципов и определение температурной зависимости времени релаксации.

Для того чтобы построить теорию, позволяющую решить поставленные задачи, нужно найти явный вид гамильтониана взаимодействия электронов с рассеивателями, записать соответствующий интеграл столкновений и затем, если это окажется необходимым, заново решить кинетическое уравнение и определить термоэлектрические коэффициенты. Существует достаточно много различных механизмов взаимодействия электронов с рассеивателями, и даже их краткий обзор занял бы слишком много места (более полную информацию можно найти в

монографиях [26, 27, 31]). Мы рассмотрим только два вида взаимодействий: взаимодействие электронов с продольными акустическими колебаниями и взаимодействие электронов с заряженными примесными центрами.

Для того чтобы вывести гамильтониан электрон-фононного взаимодействия, необходимо записать выражение для смещения атомов кристаллической решетки при возбуждении малых (подчиняющихся гармоническому закону) тепловых колебаний атомов кристаллической решетки. В простейшем случае одноатомной кристаллической решетки кинетическую энергию колебаний можно записать в виде

где M – масса атома, u i – вектор смещения i -го атома из положения равновесия. Для достаточно длинноволновых колебаний можно ввести плавную функцию смещения атома u (r ) в точкеr и записать кинетическую энергию в континуальной форме

ρ

Ek = 2 (4.65)

где ρ – плотность кристалла. Интегрирование ведется по всему объему кристалла. Для перехода от классического описания колебаний атомов кристаллической решетки к квантовому достаточно ввести правила квантования координат и импульсов

Убедиться в справедливости такого представления достаточно просто: нужно просуммировать левую и правую части (4.66) по всем атомам, а левую и правую части (4.67) проинтегрировать по всему объему. Тогда правые части полученных выражений будут равны −i δαβ , а левые – представлять одну и ту же величину – коммутатор суммарного импульса решетки и смещения в одной из точек кристалла.

214 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

Будем рассматривать продольные колебания и разложим оператор смещения u (r) в ряд Фурье (в действительности речь идет о представлении смещения в виде суперпозиции нормальных координат). Поскольку смещения u (r) являются действительными величинами, то это разложение следует записать так, чтобы оператор u (r) обладал свойством самосопряженности:

дений. Подставляя разложение (4.68) в условие квантования (4.67), получаем коммутационные соотношения для амплитуд нормальных колебаний uq , u+q :

Для выполнения коммутационных соотношений (4.70) необходимо потребовать, чтобы при действии на волновую функцию в представлении вторичного квантования выполнялись следующие условия:

b+q |Nq >= Nq + 1 |Nq + 1 >, bq |Nq >= Nq |Nq − 1 > . (4.71)

Используя операторы рождения и уничтожения фононов, запишем выражение для оператора смещения u(r)

216 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

Поэтому и энергия электронов в кристалле с деформацией будет функцией компонент этого тензора ε(p, ij ) . Раскладывая в ряд энергию электрона в кристалле с деформацией по компонентам тензора деформации, получаем

ε(p, ij ) = ε(p) + Eij ij .

В изотропном случае или в кристаллах с кубической симметрией тензор деформации может быть представлен в видеij = div u δij , и поэтому поправку к энергии электрона, которая и играет роль гамильтониана взаимодействия электрона с колебаниями решетки Hep , можно записать в виде

Hep = E0 div u.

Величину E0 принято называть потенциалом деформации. Подставляя в это выражение смещение u (r) (4.72), получаем выражение для гамильтониана взаимодействия электрона, находящегося в некоторой точке пространства r , и фононным полем:

где eq – единичный вектор поляризации звуковой волны.

В литературе можно встретить и другое определение для

s – скорость звука. Ωq λ = sq , λ – индекс поляризации звуковой волны. Показатель степени t варьируется в зависимости от механизма электрон-фононного взаимодействия (для рассеяния на акустических фононах в методе потенциала деформации

t = 1 ). Гамильтониан в форме (4.76) при надлежащем выборе константы Cqλ и показателя степени t может быть использован и для других механизмов электрон-фононно- го взаимодействия, отличных от рассеяния на продольных акустических колебаниях.

§5. Гамильтониан взаимодействия электронов

сзаряженными примесными центрами

Пусть n – средняя концентрация электронов в кристалле, n – их концентрация в окрестности примесного центра. Если ϕ – суммарный потенциал электростатического поля иона, помещенного в начале координат, и отрицательного заряда электронов −|e|(n − n) , то он должен удовлетворять уравнению Пуассона

где – высокочастотная диэлектрическая проницаемость.

В этом выражении концентрация электронов n определяется формулой (4.56), а для величины n можно записать аналогичное выражение, заменив химический потенциал ζ → ζ −eϕ . Действительно, энергия электрона в результирующем электростатическом потенциале будет εp + eϕ , и функция распределения электронов будет зависеть от аргумента εp + eϕ −ζ . Таким

Подставляя последний результат в уравнение Пуассона, получаем простое уравнение для определения потенциала ϕ :

где величина q0 имеет смысл обратного радиуса экранирования электростатического потенциала иона.

218 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

Решение уравнения (4.78), обладающего сферической симметрией и удовлетворяющего условию

lim ϕ(r) = 0,

r→∞

имеет вид

ϕ = |er|e−q0r.

Энергию взаимодействия электрона Eei , имеющего координату r , с примесным однократно ионизованным центром можно записать следующим образом:

Eei = −e2 e−q0r = − Gq eiq r,

r

q

где Gq – фурье-образ экранированного кулоновского потенциала точечного заряда (умноженный на заряд электрона)

В действительности в кристалле находится Ni примесей, имею-

щих координаты Rj , и N электронов, имеющих координаты ri . Если взаимодействие электронов с примесными атомами аддитивно, то для получения гамильтониана взаимодействия электронов со всеми примесными центрами достаточно просуммировать выражение Eei по всем примесным центрам и по всем электронам:

Для практических приложений удобнее записать гамильтониан электрон-примесного рассеяния в представлении вторичного квантования, предполагая, что состояния электронов описываются волновой функцией |ν, σ > , где ν, σ – квантовые числа, задающие орбитальное и спиновое состояния соответственно. В этом случае, используя правило перехода к представле-

нию вторичного квантования для оператора A аддитивного типа [4]

A = Ai = < ν σ |A|ν σ > a+ν σ aν σ,

iν σ ,ν σ

для гамильтониана электрон-примесного рассеяния получаем

Задача 4.3

Получить выражение (4.80) для фурье-образа потенциала электронпримесного взаимодействия.

Решение

Для решения задачи проще убедиться, что обратное фурье-пре- образование образа (4.80) приводит нас к выражению для экранированного кулоновского потенциала ϕ(r) :

Выполнив во втором члене последнего интеграла замену переменной интегрирования q → −q , приведем этот интеграл к виду, более удобному для интегрирования:

Последний интеграл легко вычисляется с помощью теории вычетов. Напомним, что если подынтегральная функция

f (z) =

φ(z)

ψ(z)

220 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

и функция φ(z) не имеет полюсов внутри области интегрирования, а функция ψ(z) имеет простой полюс в точке a , то

Подынтегральное выражение в формуле (4.83) имеет два полюса q = ±iq0 . Контур интегрирования в комплексной плоскости следует замыкать таким образом, чтобы внутри контура оказался лишь один полюс, при выборе которого потенциал стремится к нулю на бесконечности. В итоге получаем

ϕ(r) = |er|e−q0r ,

что и требовалось доказать.

§ 6. Интеграл столкновений при взаимодействии электронов с фононами

Получим явное выражение для интеграла столкновений при взаимодействии электронов с фононами, предполагая для простоты, что электроны в зоне проводимости можно рассматри-

вать как свободные частицы с волновым вектором k .

Вычислим вероятность перехода Wk k из состояния с волно-

вым вектором k в состояние с волновым вектором k под действием возмущения, задаваемого гамильтонианом (4.76). Согласно основным положениям нестационарной теории возмущений, вероятность перехода системы определяется квадратом мо-

дуля амплитуды перехода ak k(t) , усредненным по состояниям фононной системы

|

k > – волновая функция свободного электрона в состоянии

с волновым вектором k , угловые скобки < . . . > обозначают