- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •2.1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
- •2.2. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
- •2.3. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
- •2.4. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
- •2.5. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
- •2.6. УПРУГИЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
- •3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
- •4. ТАБЛИЦА ВАРИАНТОВ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2
- •5. ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2
- •ПРИЛОЖЕНИЕ 1
- •ЛИТЕРАТУРА
- •СОДЕРЖАНИЕ
Сила тока соответственно при размыкании и замыкании цепи
I = I0e−t / τ и I = I0 (1−e−t / τ) ,
где τ = L / R – время релаксации (L – индуктивность; R – сопротивление). ЭДС взаимной индукции (ЭДС, индуцируемая изменением силы тока
в соседнем контуре)
εi = −L12 dIdt ,
где L12 – взаимная индуктивность контуров.
Взаимная индуктивность двух катушек (с числом витков N1 и N2), намотанных на общий тороидальный сердечник,
L12 = L21 = µ0µ N1lN2 S ,
где µ – магнитная проницаемость сердечника; l – длина сердечника по средней линии; S – площадь сердечника.
Коэффициент трансформации
K = N2 = ε2 = I1 ,
N1 ε1 I2
где N, ε, I – соответственно число витков, ЭДС и сила тока в обмотках трансформатора.
Энергия магнитного поля, создаваемого током в замкнутом контуре, по которому течет ток I,
W = LI22 .
Объемная плотность энергии однородного магнитного поля длинного соленоида
|
B2 |
|
µ µH 2 |
|
BH |
|
|
ω= |
|
= |
0 |
= |
|
. |
|
2µ µ |
2 |
||||||
|
|
2 |
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2.4. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ |
|||||||
Уравнение гармонических колебаний |
|
|
|
||||
x = Acos(ω t + ϕ0 ) , |
|
||||||
где х – смещение колеблющейся |
величины от положения равновесия; |
А – амплитуда колебаний; ω = 2π/T = 2πν – круговая (циклическая) частота;
25
v = 1/Т – частота; Т – период колебаний; ϕ0 – начальная фаза; ω t + ϕ0 – фаза колебаний в момент t.
Круговая частота колебаний
ω= 2πν или ω= 2Тπ ,
где ν и Т – частота и период колебаний.
Скорость точки, совершающей гармонические колебания,
υ = dxdt = −Aωsin(ωt + ϕ0 ) = Aωcos(ωt + ϕ0 + π/ 2) .
Ускорение при гармоническом колебании
a = ddtυ = −Aω2 cos(ωt + ϕ0 ) = Aω2 cos(ωt + ϕ0 + π) .
Амплитуда А результирующего колебания, получающегося при сло-
жении двух гармонических колебаний одинакового направления и одина-
ковой частоты,
A2 = A12 + A22 + 2A1A2 cos(ϕ2 −ϕ1) .
Начальная фаза результирующего колебания:
tgϕ = A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2 , A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2
где A1 и А2 – амплитуды двух складываемых колебаний; ϕ1 и ϕ2 – начальные фазы колебаний.
Частота биений, возникающих при сложении двух колебаний, происходящих по одной прямой с различными, но близкими по значению частотами ν1 и ν2,
ν = ν1 −ν2 .
Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами A1 и А2 и начальными фазами ϕ1 и ϕ2,
x2 |
+ |
y2 |
− |
2xy |
cos(ϕ |
2 |
−ϕ ) = sin2 |
(ϕ |
2 |
−ϕ ) . |
|
|
|
||||||||
A12 |
|
А22 |
|
A1A2 |
1 |
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
26
Если начальные фазы ϕ1 и ϕ2 составляющих колебаний одинаковы, уравнение траектории примет вид:
x2 + y2 =1,
A12 А22
т.е. точкадвижетсяпоэллипсу.
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки:
d 2 x |
|
|
d 2 x |
+ω2 x = 0 , |
m dt2 |
= −kx , |
или |
dt2 |
где m – масса точки; k – коэффициент квазиупругой силы ( k = mω2 ). Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические
колебания,
E =Wк +Wп = mA2ω2 = kA2 . 2 2
Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный маятник),
T = 2π mk ,
где m – масса пружинного маятника; k – жесткость пружины.
Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняетсязаконГука(прималоймассепружинывсравнениисмассойтела).
Период колебаний математического маятника
T = 2π gl ,
где l – длина маятника; g – ускорение свободного падения.
Период колебаний физического маятника
T = 2π mgaJ = 2π Lg ,
где J – момент инерции маятника относительно оси колебаний; а – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника; L = J/(mа) – приведенная длина физического маятника.
27
Приведенные формулы являются точными для случая бесконечно малых амплитуд. При конечных амплитудах эти формулы дают лишь приближенные результаты. При амплитудах ~ 3° погрешность в значении
периода не превышает 1 %.
Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити,
T = 2π Jk ,
где J – момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; k – жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающегопризакручиваниинити, куглу, накоторыйнитьзакручивается.
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний:
|
|
m d 2 x = −kx − r dx |
или |
d 2 x + 2δdx + ω2 x = 0 , |
||||
|
|
dt2 |
dt |
|
dt2 |
|
dt |
0 |
|
|
|
|
|
||||
где δ = |
r |
– коэффициент затухания; |
ω = |
k |
– собственная частота |
|||
|
|
|||||||
|
2m |
|
|
|
0 |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
той же колебательной системы; r – коэффициент сопротивления. Уравнение затухающих колебаний (решение дифференциального
уравнения):
x = A(t)cos(ω t + ϕ) ,
где А(t) – амплитуда затухающих колебаний в момент t; ω – их круговая частота.
Круговая частота затухающих колебаний
ω= ω2 |
−δ2 . |
0 |
|
Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени
A(t) = A0e−δ t ,
где A0 – амплитуда колебаний в момент t = 0. Логарифмический декремент затухания
Θ = ln |
A(t) |
= δT = T |
= |
1 |
, |
|
A(t +T ) |
N |
|||||
|
τ |
|
|
где δ – коэффициент затухания; Т – период затухающих колебаний; τ – время релаксации; Ne – число колебаний, совершаемых за время уменьше-
28