2. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ ПО РАЗДЕЛАМ КУРСА ФИЗИКИ

2.1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА

Закон сохранения заряда в замкнутой системе:

∑qi = const .

i

Закон Кулона:

где F – сила взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2; r – расстояние между зарядами; ε0 = 8,85 10–12 Ф/м – электрическая постоянная; ε – диэлектрическая проницаемостьсреды.

Напряженность электростатического поля

E = F , q0

тор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью n к площадке; Еn – проекция вектора E на нормаль n к площадке dS.

Принцип суперпозиции электростатических полей

n

E = ∑Ei ,

i=1

где Ei – напряженность поля, создаваемого зарядом qi.

9

Плотность зарядов (линейная, поверхностная, объемная):

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме:

– в случае дискретного распределения зарядов

– в случае непрерывного распределения зарядов

n

где ∑qi – алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой

i=1

поверхности S; n – число зарядов; ρ – объемная плотность зарядов. Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной беско-

нечной плоскостью

E = σ , 2ε0

где σ – поверхностная плотность заряда.

Напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными разноименно заряженными плоскостями,

E = σ ,

ε0

где σ – поверхностная плотность заряда.

Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью радиусом R с общим зарядом q на расстоянии r от центра сферы,

E = 0 при r < R (внутри сферы);

E = 4πε1 0 rq2 при r ≥ R (вне сферы).

10

Напряженность поля, создаваемого объемно заряженным шаром радиусомR собщимзарядомq нарасстоянииr отцентрашара,

E = 4πε1 0 Rq3 r при r ≤ R (внутри шара); E = 4πε1 0 rq2 при r ≥ R (вне шара).

Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженным бесконечным цилиндром радиусом R на расстоянии r от оси цилиндра,

E = 0 при r < R (внутри цилиндра);

E = 2πε1 0 rτ при r ≥ R (вне цилиндра),

где τ – линейная плотность заряда.

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль замкнутого контура

∫ Edl = ∫ Eldl = 0 ,

L L

где El – проекция вектора E на направление элементарного перемещения dl . Интегрирование производится по любому замкнутому пути L.

Потенциальнаяэнергиязарядаq0 вполезарядаq нарасстоянииr отнего

U = 4πε1 0 qqr0 .

Потенциал электростатического поля

ϕ = U , ϕ = A∞ , q0 q0

где q0 – точечный положительный заряд, помещенный в данную точку поля; U – потенциальная энергия заряда q0; A∞ – работа перемещения заряда q0 из данной точки поля за его пределы.

Потенциал электростатического поля точечного заряда на расстоянии r от заряда

ϕ = 4πε1 0 qr .

11

Связьмеждунапряженностью ипотенциаломэлектростатическогополя

где i , j,k – единичные векторы координатных осей. Знак «минус» опреде-

ляется тем, что вектор E поля направлен в сторону убывания потенциала. В случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией,

E = − ddrϕ .

Работа, совершаемая силами электрического поля при перемещении заряда q0 из точки 1 в точку 2,

где El – проекция вектора E на направление элементарного перемещения dl . Разность потенциалов между двумя точками 1 и 2 в электростати-

ческом поле

где A12 – работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда q0 из точки 1 в точку 2; Еl – проекция вектора E на на-

правление элементарного перемещения dl ; интегрирование производится вдоль любой линии, соединяющей начальную и конечную точки, так как работа сил электростатического поля не зависит от траектории перемещения.

Разность потенциалов между точками, находящимися на расстоянии х1 и х2 от равномерно заряженной бесконечной плоскости,

где σ – поверхностная плотность заряда.

Разность потенциалов между бесконечными разноименно заряженными плоскостями, расстояние между которыми равно d,

12

Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и r2 от центра равномерно заряженной сферической поверхности (объемно заряженного шара) радиусом R с общим зарядом q,

причем r1 > R, r2 > R, r2 >r1,

Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и r2 от центра объемно заряженного шара радиусом R с общим зарядом q,

причемr1 < R, r2 < R, r2 >r1,

Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и r2 от оси равномерно заряженного с линейной плотностью τ бесконечного цилиндра радиусом R, причем r1 > R, r2 > R, r2 >r1,

Поляризованность диэлектрика

∑Pi

P = iV ,

где V – объем диэлектрика; pi – дипольный момент i-ой молекулы.

Связь между поляризованностью диэлектрика и напряженностью электростатического поля:

P =χε0E ,

где χ – диэлектрическая восприимчивость вещества; ε0 –электрическая постоянная.

Связь диэлектрической проницаемости ε с диэлектрической воспри-

имчивостью χ:

ε =1+ χ.

Связь между напряженностью Е поля в диэлектрике и напряженностью Е0 внешнего поля:

где P – поляризованность, ε – диэлектрическая проницаемость.

13

Связь между векторами электрического смещения D , напряженности электростатического поля E и поляризованности P :

D = ε0εE, D =ε0E + P.

Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике:

n

∫ DdS = ∫ DndS = ∑qi ,

n

где ∑qi – алгебраическая сумма заключенных внутри замкнутой поверхно-

i=1

сти S свободных электрических зарядов; Dn – проекция вектора D на нормаль n к площадке dS , dS = dS n – вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью n к площадке.

Условия на границе раздела диэлектрических сред (проницаемость которых ε1 и ε2) при отсутствии на границе свободных зарядов:

где Eτ , Dτ и En, Dn – тангенциальные и нормальные составляющие векто-

ров E и D соответственно.

Напряженность электростатического поля у поверхности проводника

E = σ ,

ε0ε

где σ – поверхностная плотность зарядов, ε – диэлектрическая проницаемость среды, окружающей проводник.

Электроемкость уединенного проводника

C = ϕq ,

где q – заряд, сообщенный проводнику; ϕ – потенциал проводника. Электроемкость шара радиусом R

C = 4πε0εR.

14

Электроемкость конденсатора

C = ϕ1 −q ϕ2 ,

где q – заряд, накопленный в конденсаторе; (ϕ1 – ϕ2) – разность потенциалов между его пластинами.

Электроемкость плоского конденсатора

C = ε0dεS ,

где S – площадь каждой пластины конденсатора; d – расстояние между пластинами.

Электроемкость сферического конденсатора

C = 4πε0ε r2r1−r2r1 ,

где r1 и r2 – радиусы концентрических сфер. Электроемкость цилиндрического конденсатора

C = 2πε0εl , ln(r2 / r1)

где l – длина пластин конденсатора; r1 и r2 – радиусы полых коаксиальных цилиндров.

Энергия уединенного заряженного проводника

W = Cϕ2 = qϕ = q2 , 2 2 2C

где C, q, ϕ – электроемкость, заряд и потенциал проводника соответственно. Энергия заряженного конденсатора

W = C(∆ϕ)2 = q∆ϕ = q2 , 2 2 2C

где q – заряд конденсатора, С – его электроемкость, ∆ϕ – разность потенциалов между пластинами.

Сила притяжения между двумя разноименно заряженными обкладками конденсатора

15