Osnovy_teorii_tsepey_post_i_perem_toka_2012

Величину Am называют комплексной амплитудой.

Дифференцирование и интегрирование выражения (3.40) приводит к соотношениям:

Соотношение (3.40) обладает следующим свойством: по любой из трех составляющих этого выражения можно восстановить две другие. Угловая частота, как правило, бывает задана. Такими же свойствами характеризуются и выражения системы (3.42).

Можно утверждать, что при известной частоте ω полную информацию обо всех составляющих выражения (3.40) имеет комплексная амплитуда (3.41).

Очевидны еще следующие свойства (3.40):

суммированию комплексных функций слева соответствует суммирование комплексных функций справа;

умножению левой части на постоянный множитель соответствует умножение правой части на тот же множитель.

Установленные свойства позволяют вести речь об однозначном соответствии между мнимой частью уравнения (3.40) слева и комплексной амплитудой справа:

Это означает, что при математическом исследовании электрической цепи синусоидального тока операции с синусоидальными функциями можно заменить операциями с комплексными числами (комплексными амплитудами).

Соотношения (3.42) определяют аналогичные (3.43) соответствия для производной и интеграла:

70

В целом формируется так называемое линейное преобразование, в котором основную роль играют операции с комплексными числами.

При расчете электрических цепей используются комплексные амплитуды напряжений, токов, ЭДС и других представляющих интерес величин. При этом имеют место следующие соответствия:

Em sin t Em Eme j .

Для иллюстрации особенностей использования комплексных соотношений обратимся к схемам рис. 3.7.

Для активно-индуктивной цепи (см. рис. 3.7, а) справедливо уравнение

(3.24):

В соответствии с выражениями (3.44) и (3.45) представим уравнение (3.46) в комплексной форме, используя понятие комплексных амплитуд:

где Z r j L r jxL – сопротивление цепи в комплексной форме, или

комплексное сопротивление. Это сопротивление записывается также и в показательной или экспоненциальной форме:

71

которая называется индуктивным сопротивлением в комплексной форме.

Итогом решения задачи является комплексная амплитуда тока

По комплексной амплитуде тока записывается мгновенное значение тока:

на основе которых формируется уравнение для комплексных амплитуд:

72

где u, i – мгновенные значения напряжения, тока; T – период функции.

Пусть, например, напряжение представляется в виде u Um sin t . Подстановка этой функции в уравнения (3.61) приводит к уравнению:

Второй интеграл под корнем в формуле (3.62) равен нулю как определенный интеграл от периодической функции на целом числе периодов.

В итоге действующее значение отличается от амплитудного в 2 раз. Полученный результат справедлив для действующего значения любой

физической величины, изменяющейся по синусоидальному закону:

Действующие значения электрических величин широко используются в электротехнике, поскольку тепловое действие тока, силы взаимодействия контуров с токами, электромагнитные моменты электрических машин и ряда силовых электромагнитных устройств переменного тока обусловлены именно действующими значениями токов.

74

На щитках электрических машин и аппаратов переменного тока в качестве номинальных, как правило, указываются действующие значения напряжения и тока. Измерительные приборы электромагнитной и электродинамической систем измеряют действующие значения соответствующих величин.

При расчете электрических цепей синусоидального тока широко исполь-

зуются понятия комплексных действующих значений, или комплексов на-

пряжений и токов. Последние, как и действующие значения (3.63), отличаются от комплексных амплитуд в 2 раз:

3.5. Комплексные соотношения для трехэлементных электрических цепей

В качестве первого представителя таких цепей рассмотрим схему с последовательным соединением элементов r, L и С (рис. 3.11, а). Эта схема одноконтурная, поэтому записываем уравнение для мгновенных значений по второму закону Кирхгофа:

Условимся использовать запись по комплексным действующим значениям, которые в данном случае имеют вид:

75

Рис. 3.11. Электрическая цепь с последовательным соединением r, L, C

Уравнению (3.66) в комплексной форме соответствует уравнение

76

arctg rx – аргумент комплексного сопротивления, представляющий со-

бой угол сдвига фаз между входным напряжением и током.

Установленные здесь закономерности имеют общий характер и сводятся к следующему:

индуктивное и емкостное сопротивления в состав общего реактивного сопротивления входят с разными знаками (индуктивное – с плюсом, емкостное – с минусом);

модуль комплексного сопротивления есть полное сопротивление; аргументом комплексного сопротивления всегда является угол сдвига фаз

между соответствующими напряжением и током.

Результатом решения задачи является комплексное действующее значение тока (комплекс тока)

по которому записывается мгновенное значение тока.

Векторная диаграмма (рис. 3.11, б) построена в масштабах действующих значений тока и напряжения (модулей комплексов). Общей величиной для всех элементов является ток i, поэтому вектор тока I на данной диаграмме является исходным или базовым.

Векторы падений напряжения ориентированы относительно вектора тока с учетом фазовых соотношений для элементов r, L и С: в сопротивлении r напряжение и ток совпадают по фазе; в индуктивности напряжение опережает ток на 90º; в емкости напряжение отстает от тока на 90º.

Построение топографической диаграммы обычно проводят, совершая обход схемы против направления тока, т. е. от точки b к точке a (см. рис. 3.11, б). Векторы падений напряжения на векторной диаграмме соответствуют расположению элементов на схеме. Потенциал точки b принимается равным нулю. При таком обходе потенциал исследуемой точки выше потенциала предыдущей и стрелка вектора, соединяющего точки на диаграмме, указывает направление возрастания потенциала. На рис. 3.11, б из точки b последовательно отложены векторы UC , U L и U r . Геометрическая сумма этих векторов равна приложен-

ному напряжению U.

77

Векторные диаграммы такого типа называются топографическими векторными диаграммами. Главная их особенность – соответствие расположения векторов падений напряжений расположению элементов на схеме.

Векторная диаграмма (см. рис. 3.11, б) соответствует случаю, когда ин-

дуктивное сопротивление xL L превышает емкостное xC 1C , поэтому па-

дение напряжения на индуктивности U L xL I больше падения напряжения UC xC I , угол φ положителен, напряжение по фазе опережает ток и относительно входных зажимов схема воспринимается как активно-индуктивная. При выполнении условия xL xC вектор U L будет меньше вектора UC и схема относительно входных зажимов будет восприниматься как активно-емкостная, поскольку вектор напряжения U окажется отстающим по отношению к току I.

Рис. 3.12. Электрическая цепь с параллельным соединением r, L и С

Уравнение для мгновенных значений записывается по первому закону Кирхгофа:

где g 1r.

78

Уравнение в комплексной форме имеет вид:

Векторная диаграмма токов показана на рис. 3.12, б. Этапы преобразования уравнения (3.74):

Здесь появились новые величины:

bL 1L – индуктивная проводимость; bC C – емкостная проводимость;

jbL j 1L j 1L – индуктивная проводимость в комплексной форме;

jbC j C – емкостная проводимость в комплексной форме; b bL bC – реактивная проводимость;

мости.

Любая комплексная проводимость выступает как величина, обратная комплексному сопротивлению. Для отдельных элементов:

79