Osnovy_teorii_tsepey_post_i_perem_toka_2012

Интересное свойство комплексной мощности, как видно из уравнения (3.108), выразилось в возможности объединить в одном выражении все установленные ранее понятия мощности: S = UI – полную мощность, P = UI cos φ – активную мощность и Q = UI sin φ – реактивную. Поэтому комплексная мощность широко используется в расчетах.

Важное значение в энергетике имеет параметр, который называется коэффициентом мощности. Это есть отношение активной мощности к полной:

Косвенно этот параметр характеризует соотношение между активной мощностью и реактивной. Предельное его значение cos 1 достигается при отсутствии реактивных элементов. В идеальной реактивной цепи cos 0 . В реальных условиях желательны режимы с максимальными экономически обоснованными значениями cos . Низкие значения коэффициента мощности показывают, что высока доля реактивной мощности. Такие режимы нежелательны, так как требуют повышенных значений токов в линиях для нежелательного двухстороннего обмена частью реактивной энергии между источником и приемниками электроэнергии. Повышенные токи обусловливают повышенные потери в линиях.

Широко используется параметр, который непосредственно характеризует

3.7.5. Баланс мощностей

Исходным моментом в составлении или проверке баланса мощностей является равенство комплексных мощностей, отдаваемых источником и потребляемых электрической цепью. При одном источнике

90

При этом следует учитывать, что все составляющие активной мощности Pпотр положительны. Слагаемые Qпотр имеют разные знаки. При использовании

формы записи комплексной мощности (3.116) индуктивные составляющие Ik2 xLk должны иметь знак «плюс», а емкостные составляющие Ik2 xCk – «минус».

3.8. Пример расчета разветвленной цепи синусоидального тока

91

Требуется определить комплексное входное сопротивление, комплексные и мгновенные значения токов, проверить баланс мощностей, построить топографическую векторную диаграмму.

k

Рис. 3.18. Схема для расчета разветвленной цепи синусоидального тока

Р е ш е н и е . Угловая частота 2 f ; 502,7 радс, тогда приложенное напряжение u 190 2 sin(502,7t 70 ) , а действующее в комплексной

92

Z7 r3; Z7 17 Ом;

Полученную схему (см. рис. 3.19) преобразуем в одноконтурную (рис. 3.20), для чего объединим три параллельных ветви в одно комплексное сопротивление Z13, которое будет располагаться между точками d и k схемы. Рассчитаем Z13 с помощью формул для параллельного соединения элементов.

В результате комплексное входное сопротивление заданной цепи

93

Z14 Z13 Z9;

Z14 13,1 j5,75 10 j6,3 23,1 j12,05 26,05e j27,5 .

2. Расчет токов ветвей. По закону Ома входной ток

жимах ветвей, по которым протекают эти токи. Поскольку все эти три ветви подключены к одной и той же паре узлов d и k (см. рис. 3.18), напряжения будут одинаковыми и равными Udk . По закону Ома это напряжение (см. рис. 3.18)

Мгновенные значения этих токов записываются аналогично току i1. По первому закону Кирхгофа для узла d или k

I1 I2 I3 I4 ;

I1 0,95 j7, 23; I2 I3 I4 0,95 j7, 23.

Таким образом, первый закон Кирхгофа выполняется. Следующей проверкой правильности расчета токов ветвей является составление баланса мощностей.

94

3. Баланс мощностей. Комплексная мощность

S P jQ,

где P Re(U I1), Q Im(U I1) – соответственно действительная и мнимая части произведения комплекса приложенного к цепи напряжения на сопряженный комплекс входного тока:

Найдем активную и реактивную мощности, потребленные приемниками (сопротивлениями) заданной цепи:

Pпотр I12r1 I22r2 I32r3;

Pпотр 7,292 10 4,672 14 4,782 17 1225,2 Вт;

Qпотр I12 (xL1 xC1) I22 ( xC 2 ) I32 xL2 I42 xL3;

Qпотр 7,292 (21,1 14,8) 4,672 ( 17,3) 4,782 13,6 3,572 29,2 640,4 вар.

Расхождение составляет

95

4. Построение топографической векторной диаграммы напряжений. Обычно строят лучевую диаграмму токов, векторы которых исходят из

начала координат, и топографическую диаграмму напряжений.

При построении топографической диаграммы напряжений учитывают фазовый сдвиг между вектором тока, протекающего через элемент электрической цепи (сопротивление, индуктивность, емкость), и вектором падения напряжения на этом элементе. На сопротивлении эти векторы совпадают по направлению. На индуктивности вектор напряжения опережает вектор тока на угол 90º, на емкости – отстает на этот угол.

Построение топографической диаграммы начинается от точки k, потенциал которой принимаем равным нулю (см. рис. 3.18), в направлении возрастания потенциала – против токов.

Для выбора масштаба рассчитываются падения напряжения на всех элементах схемы:

Удобными для построения данной векторной диаграммы являются следующие масштабы токов и напряжений: mI 1 Асм; mU 20 Всм.

Из начала координат проводим векторы I1 , I2 , I3 , I4 (рис. 3.21). Помещаем точку k в начало координат.

Точку d можно получить тремя путями – двигаясь от точки k к точке d по соответствующим ветвям. Рассмотрим один из путей. Потенциал точки e отличается от потенциала точки k на величину падения напряжения на емкости C2 .

Вектор напряжения на емкости отстает по фазе от вектора тока I2 на 90º. Пово-

96

рачивая вектор тока I2 по часовой стрелке на 90º относительно точки k, получаем направление вектора UC 2 . Из точки k в полученном направлении откладыва-

ем вектор напряжения UC 2 длиной 2080,8В смВ 4,04 см и получаем точку e.

Потенциал точки d отличается от потенциала точки e на величину падения напряжения на сопротивлении r2 . Из точки e по направлению тока I2 откладываем в масштабе вектор этого напряжения и получаем точку d.

Аналогично строим векторы падения напряжения UL2 , U r3 и UL3 . Потенциал точки c отличается от потенциала точки d на величину паде-

ния напряжения на индуктивности L1 . Вектор напряжения U L1 опережает по фазе вектор тока I1 на 90º. Поворачивая вектор тока I1 относительно точки d против часовой стрелки на 90º, откладываем от точки d вектор напряжения U L1 и получаем точку c.

97

Поворачивая вектор тока I1 относительно точки с по часовой стрелке на 90º, откладываем от точки c вектор напряжения UC1 и получаем точку b. Из точки b по направлению тока I1 откладываем вектор напряжения Ur1 и получаем точку a.

Соединяем точки k и a, получаем вектор ka , изображающий в масштабе приложенное к заданной цепи напряжение. Убеждаемся в том, что модуль вектора U равен 190 В, а начальная фаза составляет –70º относительно положительной полуоси +1, что соответствует исходным данным задачи и является дополнительной проверкой правильности ее решения.

3.9.Задачи для самостоятельного решения

Ус л о в и е з а д а ч и. В электрической цепи (рис. 3.22) с входным напряжением u 2U sin( t ) определить комплексное действующее значе-

ние I Ie j входного тока при следующих параметрах:

Ответы приведены в табл. 3.1.

Т а б л и ц а 3.1 Ответы к задаче на расчет цепи синусоидального тока

98

Рис. 3.22. Схемы электрических цепей для самостоятельного расчета

99