Принятие решения в условиях противодействия (конфликта)

Итак, раздел теории принятий решений в условиях противодействия называется теорией игр. А конфликтные ситуации представлены в виде матриц будем называть матричными играми.

Лицо принимающее решение, управляющий своими стратегиями (ходами) А₁ и т.д., и его противник B₁ и т.д. в данной ситуации называются игроками.

[тут будет матрица с ходами]

Матрицу мы будем называть платежной матрицей.

a_ij – выигрыши игрока А

Возможны два случая:

1. Если задана одна платежная матрица, то естественно предположить, что выигрыш первого игрока будут являться проигрышем второго. Такая ситуация называется матричной игрой с нулевой суммой. Цель игры для первого игрока – побольше выиграть, а второго игрока – поменьше проиграть. Цель игры является определение оптимальной стратегии.

2. Когда противник преследует сугубо свои цели, определенные своими выигрышами матричная игра задается двумя платежными матрицами.

Необходимо найти сразу два решения (a_ij, b_ij)

Такая ситуация матричной игры будет называться матричной игрой с ненулевой суммой. Данные игры широко изучены, когда два противника, а если берется 3 противника, то данные по ним не изучены и решение будет сложнее.

Возможны несколько ситуаций, когда матричные игры состоятся:

1. Ходы игроками делаются одновременно

2. Первым ходит второй игрок (под цифрой 2 обозначается «противник»), но первый игрок (лицо принимающее решение) не имеет информации о ходе противника

3. Первым ходит второй игрок и первый игрок знает о ходе противника

4. Первым ходит игрок один, но второй игрок не имеет информации о ходе противника

5. Первым ходит игрок один и второй игрок знает о ходе противника

Очевидно, что случаи 1, 2 и 4 идентичны, т.е. одинаковы. Случай 3 сводится к задаче линейного программирования (для нас он не представляет никакого интереса). В 5 случае игра сводится к принципу максимальной осторожности, т.е. принципу max min.

Т.е. мы будем рассматривать только случаи 1, 2, 4.

Матричные игры, решаемые в чистых стратегиях

Пусть игрок А располагает m стратегиями, т.е. это А₁, А₂, …, А_m

А игрок B располагает n стратегиями, т.е. это B₁, B₂, …, B_n

Говорят, что данная игра имеет размерность m x n.

При этом результатом является выбор одной стратегии А_j, B_j при которой i = 1 -> m, а j = 1 -> n

а_ij – выигрыш А, -а_ij – проигрыш B

Таким образом мы найдем гарантированный выигрыш.

alpha = max min a_ij – нижняя цена игры

Beta = min max a_ij – верхняя цена игры

Alpha =< beta

Особый интерес представляется в том, когда alpha = beta. Это называется чистой ценой игры.

Найденный элемент платежной матрицы, в котором достигается чистая стратегия будет называться угловой точкой. А стратегия игрока A и B называются чистыми стратегиями.

Пример.

Alpha = max (j) min (i) a_ij = max(j) {2, 1, 4, 3} = 4

Beta = min(i) max(j) a_ij = min(i) {8, 4, 11, 15, 7} = 4

Найденная точка называется седловой точкой.

Матричные игры, решаемые в смешенных стратегиях Решение задач графическим методом

P_A = (p₁, p₂), Q_B = (q₁, … , q_n), q = 1, n

p₁ = 1 – p₂

α*_j = a_1j * p₁ + a_2j * p₂ = a_1j * p_2j (1 – p₁) = (a_1j – a_2j) * p₁ + a_2j

Таким образом нахождение наименьшего гарантированного выигрыша игрока А подразумевает минимизацию данного выражение. В итоге мы будем иметь N аналогичных выражений, которые надо минимизировать и после этого согласно принципу максимина (max(min)) нужно выбрать наибольшее значение.

α*j -> min

α = max min ((a_1j

4 3 8 2

3 7 1 3

α*₁ = p₁ + 3 (где, α* = (a_1j – a_2j) * p₁ + a_2j)

α*₂ = -4p₁ + 7

α*₃ = 7p₁ + 1

α*₄ = -p₁ + 3

[тут будет график, который у Алены]