Лабораторная работа №1. Вариант №4
.docМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФИЛИАЛ В Г. ИШИМБАЙ
Кафедра Автоматизации Производственных Процессов
Отчет по лабораторной работе №1
по предмету «Теория автоматического управления»
на тему: Анализ устойчивости нелинейной САУ.
Выполнил: студент гр. АТП-308
Шарипов Д.В.
Принял: Хуснутдинов Д.З.
Ишимбай 2007
1. Цель работы
Изучение метода гармонической линеаризации нелинейных САУ; определение периодических решений и их устойчивости по критерию Гольдфарба; приобретение навыков в составлении сложных структурных схем нелинейных САУ с помощью пакета прикладных программ.
2. Выполнение работы
Задание №4
k=4 c-1; T1=0.01 c; T2=0.08 c; b=0.25; c=110
Передаточная функция линейной части имеет вид:
Коэффициенты гармонической линеаризации q(A),q1(A) для нелинейного элемента (в данном случае это реле с зоной нечувствительности или трехпозиционное реле) имеют вид:
Передаточная функция нелинейного гармонически линеаризованного элемента имеет вид:
Комплексный коэффициент передачи нелинейного линеаризованного элемента имеет вид:
1. Проанализировать устойчивость линейной части системы. Если линейная часть системы неустойчива, добиться её устойчивости при помощи коррекции внутренних свойств.
Построим АФЧХ линейной части системы, используя Control System ToolBox пакета MatLab:
Как видно годограф АФЧХ линейной части системы не охватывает точку с координатами
(-1; j0), значит, линейная часть нелинейной САУ является устойчивой.
2. Аналитическим методом определить условия возникновения периодических колебаний в нелинейной замкнутой системе. Определить параметры периодических колебаний (ω0,A0).
– передаточная функция замкнутой нелинейной САУ
– характеристическое уравнение
Представив передаточную функцию линейной части в виде , перепишем характеристическое уравнение в виде:
Для возникновения периодических колебаний в системе необходимо, чтобы характеристическое уравнение было равно нулю. Это условие выполняется, если числитель равен нулю:
Заменяя в данном выражении оператор Лапласа p комплексной частотой jω, получим:
Таким образом, условие возникновения периодических колебаний в нелинейной замкнутой САУ имеет вид:
Для заданной нелинейной САУ имеем:
Для решения данной системы уравнений воспользуемся ToolBox Symbolic Math пакета MatLab. Решим второе уравнение системы:
Отбрасывая не положительные решения, получаем с-1. Подставим данное решение в первое уравнение системы:
Значит, периодические решения имеют следующие параметры: ω0=35.35 с-1 , A0=0.25 (I)
ω0=35.35 с-1 , A0=4.97 (II)
3. С помощью пакета прикладных программ составить на экране компьютера структурную схему замкнутой нелинейной САУ. В качестве блока задающего воздействия использовать единичную ступенчатую функцию. Получить зависимость выходной величины xвых(t) и определить по ней параметры (ω0,A0).
Для составления структурной схемы и моделирования нелинейной системы воспользуемся пакетом Simulink, входящий в состав пакета MatLab.
Реле с зоной нечувствительности (трехпозиционное реле) организовано при помощи параллельного соединения двух идеальных двухпозиционных реле (идеальное двухпозиционное реле – это блок Relay с нулевой шириной зоны гистерезиса). Также приведены настройки блоков, входящих в состав реле с зоной нечувствительности.
На выходе устанавливаются периодические колебания xвых(t):
A0
T0
Как видно из графика, амплитуда периодических колебаний равна A0≈5, а собственная частота колебаний 34.91 с-1. Данные значения близки ко II группе параметров периодических решений, найденных аналитически. Исходя из того, что физически возможны лишь устойчивые периодические движения, можно сделать вывод, что периодическое решение с параметрами ω0=35.35 с-1 , A0=4.97 является устойчивым решением, а периодическое решение с параметрами ω0=35.35 с-1 , A0=0.25 – неустойчивым.
4. При помощи пакета прикладных программ построить АФЧХ линейной части системы и обратную амплитудную характеристику .
Для построения характеристик и воспользуемся Control System ToolBox пакета MatLab:
Обратная
амплитудная характеристика –ZНЭ(A)
АФЧХ
WЛИН(jω)
5. Графическим методом определить параметры периодических колебаний (ω0,A0 ), а также указать точки с устойчивым (автоколебания) и неустойчивым периодическим решением.
Обратная амплитудная
характеристика –ZНЭ(A)
АФЧХ WЛИН(jω)
Так как , то обратная амплитудная характеристика вся укладывается на отрицательной части вещественной оси.
При A=b значение комплексного коэффициента передачи нелинейного линеаризованного элемента
равно нулю. Это значит, что при A=0.25 обратная амплитудная характеристика стремится к -∞. При дальнейшем увеличении A, происходит увеличение значения комплексного коэффициента передачи , соответственно уменьшение значения , следовательно, увеличение значения обратной амплитудной характеристики . Комплексный коэффициент передачи нелинейного линеаризованного элемента достигает своего максимума при A=, а при дальнейшем увеличении A происходит уменьшение его значения (при A→∞ →0). Значит, обратная амплитудная характеристика также, достигнув своего максимума, стремится обратно к -∞. Вышесказанное можно пояснить следующим рисунком:
Этот рисунок является схематичным, так как обратная амплитудная характеристика , как было отмечено выше, полностью лежит на отрицательной части вещественной оси. Данное пояснение было дано, чтобы показать, что графики АФЧХ линейной части и обратной амплитудной характеристики пересекаются в двух точках. Данные точки совпадают, значения частоты в них, определяемой по АФЧХ линейной части , одинаковы, но значения амплитуды, определяемые по обратной амплитудной характеристики , различны.
Из графика находим, что первая точка пересечения имеет параметры A0≈0.253 ω0=35.4 с-1, а вторая точка имеет параметры A0≈4.97 ω0=35.4 с-1.
Исходя из критерия устойчивости периодических решений, получаем, что первая точка пересечения с параметрами A0≈0.253 ω0=35.4 с-1 дает неустойчивое периодическое решение, а вторая точка с параметрами A0≈4.97 ω0=35.4 с-1 дает устойчивое периодическое решение (автоколебания) периодическое решение ()получаем, что ыдаютом:
етрами:
нулю.
6. Сравнить расчетные результаты с полученными при моделировании. Сделать вывод.
Результаты, полученные при моделировании, а также графическим способом, близки к расчетным результатам, полученным аналитически.
3. Вывод
В данной работе был изучен метода гармонической линеаризации нелинейных САУ; определили периодические решения, а также исследовали их на устойчивость, используя критерий Гольдфарба; были приобретены навыки в составлении сложных структурных схем нелинейных САУ с помощью пакета прикладных программ. Результаты, полученные при моделировании, а также графическим способом, близки к расчетным результатам, полученным аналитически.