§ 2.4. Базисные решения системы уравнений

Пусть число линейно независимых уравнений меньше числа переменных, а значит, . Назовем переменных основными или базисными, если определитель матрицы из коэффициентов при них отличен от нуля. Предположим, что это переменные . Тогда переменные выражаются через переменные (см. пункт 3 метода Гаусса) с помощью соотношений ( ). Назовем последние переменные неосновными или свободными. Количество этих переменных равно .

Определение. Решение системы (1), в котором все свободных переменных полагаются равными нулю, называется базисным. В системе ( ) базисным решением является совокупность переменных:

или в матричной форме . (5)

В сокращенной матричной форме базисное решение

. (5´)

Базисное решение является частным решением системы (1).

В качестве основных переменных могут быть выбраны и другие переменные. Количество способов выбора переменных из их общего числа не может быть больше числа сочетаний из элементов по . Эта величина описывается формулой теории вероятностей

.

Пример (3) содержит 3 уравнения с четырьмя переменными. Ранги исходной и расширенной матриц равны и составляют величину, равную 2. Следовательно, две переменные в системе можно выразить через оставшиеся две переменные. Формула числа сочетаний дает общее число способов выбора двух переменных из четырех:

.

Возможны следующие наборы основных переменных:

Однако набор переменных не может быть основным, так как определитель матрицы из коэффициентов при этих переменных . Любой из других наборов переменных можно сделать основным. Таким образом, число базисных решений равно 5. В решенном примере (3) в качестве основных были выбраны переменные , а переменные объявлены свободными. Если положить их равными нулю, получим одно из базисных решений системы (3)

Подведем итог. При совместная система линейных уравнений с переменными имеет бесконечное множество решений, среди которых имеются базисные решения. Их число конечно и не превышает величины .

§ 2.5. Однородные системы линейных уравнений

Свойства однородной системы линейных уравнений Фундаментальные решения

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены системы равны нулю.

(6)

В матричном виде систему можно записать так:

,

где ; ; .

Свойства однородной системы линейных уравнений

1) Однородная система всегда совместна, так как всегда имеет по крайней мере нулевое решение

2) Для существования ненулевых решений ранг матрицы коэффициентов должен быть меньше числа переменных , т.е число линейно независимых уравнений должно быть меньше числа переменных. В этом случае .

3) Если матрица-столбец (вектор) есть решение системы (6), то и столбец также является решением системы.

Пусть - решение системы. Тогда матричное уравнение при подстановке обращается в тождество .

Действительно, найдем произведение матриц и

.

Отсюда столбец также является решением матричного уравнения.

4) Если матрицы-столбцы и есть решения системы (6) т.е. и , то и столбец , где - произвольные числа, также является решением системы .

Для доказательства перемножим матрицы и

.

Следовательно, всякая линейная комбинация решений однородной системы линейных уравнений также является решением этой системы.

Заметим, что среди решений однородной системы выделяются решения, которые можно назвать главными решениями. Через них выражаются другие решения. Попробуем разобраться в этом и найти эти выделяющиеся, фундаментальные решения.