§1.4. Обратная матрица

Теорема о существовании обратной матрицы Свойства обратных матриц Ортогональная матрица Симметричная матрица

Теорема о существовании обратной матрицы

Матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля, т.е. В противном случае она называется вырожденной.

Определение. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если выполняется равенство

. (8)

Следующая теорема устанавливает условия существования обратной матрицы.

(о существовании обратной матрицы)

Обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденна.

◄Необходимость. Пусть матрица имеет обратную матрицу . Тогда . Используя свойство 11 определителя, получаем , откуда вытекает . Следовательно, . Матрица является невырожденной.►

◄Достаточность. Пусть матрица является невырожденной: . Матрицу транспонируем и на основе транспонированной матрицы построим новую матрицу , элементами которой являются алгебраические дополнения элементов матрицы . Назовем эту матрицу присоединенной. Итак

.

Найдем новую матрицу как произведение матриц и : . Она имеет вид

.

Элементы матрицы вычислим по отдельности и воспользуемся равенством , которое легко проверяется.

.

.

………………………………………………………………………..……….

Продолжая вычисления дальше, обратим внимание на то, что отличными от нуля окажутся только диагональные элементы матрицы :

Поэтому матрица имеет вид

.

Следовательно, .

Аналогично можно доказать, что .

Рассмотрим соотношение .

Разделив его на , получим .

Поскольку для матрицы выполнено равенство (8), эта матрица является обратной по определению .►

Единственность обратной матрицы. ◄Пусть кроме обратной матрицы к матрице существует еще одна обратная матрица . Тогда выполняется равенство . Умножим это равенство справа на . Получим , откуда или . Таким образом, не существует обратной матрицы , отличной от . Аналогично доказывается, что равенство выполняется в том единственном случае, когда .►

Свойства обратных матриц

1) .

◄Умножим обе части равенства слева на .

.

Слева стоит произведение матрицы на обратную ей , которое равно единичной матрице, справа произведение обратной матрицы на исходную, также равное единичной матрице. Следовательно, равенство верно.►

2) .

◄Умножим обе части равенства слева на :

.

Далее воспользуемся 4-м свойством транспонирования матрицы и перепишем левую часть соотношения так: . Правая часть равенства есть произведение матрицы на обратную ей. Получаем . Откуда следует тождество .►

3) .

◄Умножим слева равенство на .

.

Левую часть равенства представим в виде произведения сомножителей

.

Левая часть равенства свертывается до матрицы , правая часть равенства есть произве­дение матрицы на обратную ей. Следовательно, равенство обращается в тождество .►

4) .

◄Для равенства воспользуемся свойством 11 определителей. Получим , откуда следует . Поэтому .►

5)

◄Умножим равенство слева на матрицу .

.

Правая часть соотношения примет вид или . Итак

.

Умножим последнее равенство слева на . Получим

.

Слева стоит произведение матрицы на обратную ей , справа - произведение матрицы на обратную ей . Следовательно, . Свойство 5 доказано. ►

Доказанная теорема дает способ вычисления обратной матрицы.

ПРИМЕР. Найти матрицу, обратную данной

.

Решение. Обратную матрицу будем искать, делая последовательно следующие шаги:

1) Находим определитель матрицы . Его величина . Следовательно, обратная матрица существует.

2) Находим транспонированную к матрицу

.

3) Находим алгебраические дополнения к элементам матрицы

, , …, .

Выписываем присоединенную матрицу:

.

4) Вычисляем обратную матрицу:

.

Другой способ вычисления обратной матрицы дает метод Жордана. Но вначале познакомимся с ортогональной матрицей, с симметричной матрицей и с матрицами элементарных преобразований, на использовании которых основан этот метод.

Ортогональная матрица

Матрица называется ортогональной, если .

Из определения следуют следующие свойства.

1. – квадратная матрица.

3. - ортогональная матрица.

4. 

5. Если и ортогональные матрицы и то является ортогональной матрицей.

6. Матрица ортогональна тогда и только тогда, когда

и .

Симметричная (симметрическая) матрица

Матрица называется симметричной, если .

Перечислим некоторые свойства симметричной матрицы

1. Если симметричная матрица имеет обратную, то она инволютивна, т.е. , и ортогональна.

2. Если матрица симметрична и имеет обратную, то она ортогональна и инволютивна.