2. Задание №3

Указания по выполнению задания

Для выполнения задания необходимо изучить следующие разделы курса:

а) проекции прямого угла;

б) перпендикулярность прямой и плоскости и двух плоскостей;

г) проекции окружности;

д) способы преобразования комплексного чертежа.

При выполнении задания надо исходить из того, что изображение должно быть достаточно крупным, а графические построения, выполненные при решении задачи, должны заполнять всё поле чертежа.

Наложение проекций не допускается.

Все эллипсы стоить по осям с достаточной точностью и аккуратностью.

Очерковые образующие конуса строить на одной проекции с помощью вписанной в конус сферы, центр которой достаточно удален от его вершины; на второй проекции использовать приближенный способ построения касательной к плоской кривой.

При определении видимости на чертеже плоскость основания не учитывать. Задание выполняется на листе формата А3 (297х420).

Теоретические сведения

Задание прямых линий и плоских фигур в частных положениях относительно плоскостей проекций значительно упрощает построения и решение задач. Для того чтобы перевести прямую или плоскую фигуру из общего положения в частное применяют ряд способов преобразования комплексного чертежа.

Рассмотрим три способа преобразования комплексного чертежа.

1. Способ замены плоскостей проекций заключается в том, что вводятся дополнительные плоскости проекций так, чтобы прямая линия или плоская фигура, не изменяя своего положения в пространстве, оказалась в каком-либо частном положении в новой системе плоскостей проекций. Дополнительные плоскости проекций располагают перпендикулярно одной из основных плоскостей проекций.

Пример 1. Определить натуральную величину отрезка АВ и угол наклона отрезка АВ к плоскости проекций П₂ - ₂ (рис.41).

Р ешение: Преобразуем отрезок

АВ в прямую уровня, для чего

введём новую плоскость

проекций П₄; П₄П₂, ось

П₂/П₄А₂В₂, при таком

положении плоскости П₄ отрезок

АВ параллелен плоскости П₄ и,

следовательно, А₄В₄ есть

натуральная величина отрезка

АВ. Т.к. плоскость П₄П₂, то

остаются неизменными глубины

точек, т.е. расстояние от точки А₄

до оси П₂/П₄ равно А₁А_х. Для

точки В аналогично.

П

Рис. 41

ример 2. Преобразовать

прямую АВ общего положения в

проецирующую (рис.41).

Решение: Задача решается в два этапа: вначале преобразовываем прямую АВ в прямую уровня (см. пример 1), а затем – в проецирующую прямую.

Для преобразования прямой уровня в проецирующую вводим дополнительную плоскость П₅П₄, а. т.к. АВП₄  АВ П₅, т.е. является проецирующей прямой относительно П₅. Т.к. П₅П₄, то сохраняются глубины точек, т.е. расстояния от точек А₂ и В₂ до оси П₂/П ₄ равно расстоянию от точек А₅ и В₅ до оси П₄/П₅.

Пример 3. Определить натуральную величину  АВС (рис.42).

Решение: Задача решается в два этапа.

1. Сделаем АВС проецирующим. Для этого введём дополнительную плоскость П₄. Плоскость П₄ ставят перпендикулярно заданному АВС и плоскости П₁, с этой целью проведена горизонталь h(h₁,h₂), ось П₁/П₄  h₁. Проекции А₄, В₄, С₄ построены по известным высотам, измеренным на П₂, т.е. расстояние от точки А₄ до оси П₁/П₄ равно А₂А_х. Для остальных точек аналогично.

2. С делаем АВС параллельным дополнительной плоскости П_5. Ось П₄/П₅  А₄В₄С₄ . Проекции точек А₅, В₅, С₅ вершин треугольника строят по их известным глубинам, т.е. расстояние от точки А₅ до оси П₄/П₅ равно расстоянию от А₁ до оси П₁/П_4. Для остальных точек аналогично.

Рис.42

2. Способ вращения фигур вокруг проецирующих осей. При вращении вокруг некоторой неподвижной прямой (ось вращения) каждая точка вращаемой фигуры перемещается в плоскости, перпендикулярной к оси вращения (плоскость вращения). Точка перемещается по окружности, центр которой находится в точке пересечения оси с плоскостью вращения (центр вращения), а радиус о кружности равняется расстоянию от вращаемой точки до центра (это радиус вращения). Если какая-либо

точка находится на оси вращения,

то при вращении она остаётся

неподвижной.

Ось вращения целесообразно

выбирать перпендикулярно к

одной из плоскостей проекций,

т.к. в этом случае на одну из

плоскостей проекций траектория

точки проецируется без искажения.

На рис.43 ось вращения

п

Рис.43

ерпендикулярна плоскости П₂,

траектория точки А на неё

проецируется без искажения.

На рис.44 приведён пример вращения точки

В вокруг горизонтально-проецирующей

прямой i. При этом окружность вращения

т

Рис.44

очки В спроецируется на П₁ без искажения, а на П₂ – в прямую, параллельную оси Х и равную диаметру окружности. Если же ось вращения I перпендикулярна П₂, то окружность вращения точки спроецируется на П₂ без искажения, а на П₁ – в прямую, параллельную оси Х и равную диаметру окружности.

Для того чтобы повернуть отрезок, необходимо повернуть две его любые точки. При вращении отрезка или фигуры вокруг оси перпендикулярной к пл. П₁ величина горизонтальной проекции отрезка (фигуры) не изменяется, а на пл. П₂ не изменяются высоты. Если отрезок или фигура вращаются вокруг оси перпендикулярной к пл. П₂, то величина фронтальной проекции отрезка (фигуры) не изменяется, а на пл. П₁ не изменяются глубины.

Пример 4. Преобразовать прямую АВ общего положения в прямую уровня (горизонталь) (рис.45).

Р ешение: Так как нам необходимо преобразовать прямую АВ общего положения в горизонтальную прямую, то её фронтальную проекцию А₂В₂ повернём перпендикулярно линиям связи. Для этого возьмём ось вращения i  П₂, i  АВ = т.О. Т.к. i  П₂, то на пл. П₂ не

и зменяется величина отрезка, т.е. А₂В₂ = , а на плоскости П₁ сохраняются глубины. Таким образом прямая АВ преобразована в горизонтальную прямую и А₁ В₁ натуральная величина отрезка АВ.

Рис.45

Пример 5. Преобразовать прямую АВ общего положения во фрон-тально -проецирующую прямую (рис.45).

Р ешение: Задача решается в два этапа. Сначала прямую АВ преобразуем в горизонтальную прямую уровня (см. пример 4). Затем прямую преобразуем во фронтально-проецирующую прямую. Возьмём ось вращения j  П₁; j  = т. К, в этом случае на плоскости П₂ сохраняются высоты точек, а на пл. П₁ сохраняется величина отрезка.

Таким образом, прямая , фронтально-проецирующая прямая.

Пример 6. Используя метод вращения определить натуральную величину АВС (рис.46).

Решение: Задача решается в два этапа.

1) Преобразуем АВС общего положения в проецирующий относительно плоскости П₂.Для этого выберем ось вращения i П_1, проведём в АВС горизонталь h(h₁, h₂), i  h = т.О, повернём АВС

т ак, чтобы горизонталь h была перпендикулярна пл. П₂. Т.к. ось вращения i П₁, то на плоскости П₁ сохраняются величины отрезков, т.е. , а на плоскости П₂ сохраняются высоты точек.

- фронтально-проецирующий.

Рис.46

2 ) Сделаем параллельным плоскости П₁, в этом случае на эту плоскость он спроецируется в натуральную величину. Выберем ось вращения j  П₂, в этом случае на плоскости П₂ сохраняются величины отрезков, а на пл. П₁ глубины точек. – натуральная величина АВС.

3. Способ плоскопараллельного движения. Если вращать отрезок прямой линии или плоскую фигуру вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций, то проекция на эту плоскость не изменяется ни по виду, ни по величине – меняется лишь положение проекции; относительно другой плоскости проекций не изменяются высоты или глубины точек. Пользуясь этими свойствами, можно применить способ вращения, без указания осей вращения (способ плоскопараллельного движения).

П ример 7. Используя способ плоскопараллельного движения, преобразовать прямую АВ общего положения в горизонтальную прямую, а затем во фронтально-проецирующую прямую (рис.47).

Р ешение: 1)Так как прямая АВ должна быть горизон-талью, то её фронтальную проекцию А₂В₂ расположим перпендикулярно к линиям связи. Т.к. движение прямой АВ идёт относительно пл. П₂, то А₂В₂= , а на пл. П₁ сохраняются глубины.

-горизонтальная пря-мая и натуральная величина отрезка АВ .

2

Рис.47

) Движение прямой идёт относительно пл. П₁, где сох-

раняется величина отрезка, а на пл. П₂ сохраняются высоты точек.

- фронтально-проецирующая прямая.

Пример 8. Используя способ плоскопараллельного движения определить натуральную величину АВС (рис.48).

Решение: Задача решается в два этапа.

1 ) Преобразуем АВС общего положения в проецирующий относительно плоскости П₂. Для этого расположим АВС так, чтобы его горизонталь h(h₁, h₂) стала фронтально-проецирующей прямой, т.е. h₁ А₁А₂. Т.к . движение осуществляется относительно плоскости П₁, то на ней сохраняются величины отрезков, т.е.

, а на пл. П₂ сохраняются высоты точек.

Таким образом - фронтально-проецирующий.

2 ) Расположим параллельно плоскости П₁. В этом случае движение идёт относительно плоскости П₂, на которой будут сохраняться величины отрезков, а на пл. П₁ – глубины точек.

- натуральная величина  АВС.

Рис.48

Прямоугольная проекция окружности.

- Круг, плоскость которого параллельна какой-либо плоскости проекций, проецируется на эту плоскость без искажения.

На рис.49 круг взят в горизонтальной плоскости. На плоскость П₁ проецируется без искажения, на пл. П₂ и пл. П₃ в виде отрезков прямых, равных диаметру окружности d, т.е. А₂С₂=d и В₃D₃= d.

- Круг, плоскость которого перпендикулярна к одной из плоскостей проекций, проецируется на эту плоскость в виде отрезка прямой, равного диаметру круга. На другие плоскости проекцией круга будет эллипс.

На рис.50 круг взят во фронтально-проецирующей плоскости. На пл. П₂ круг проецируется в виде отрезка прямой А₂С₂=d, на пл. П₁ в виде эллипса, большая ось которого В₁D₁=d, малая ось А₁С₁=d  cos ₁, на пл. П₃ в виде эллипса, большая ось которого В₃D₃=d, малая ось

А₃С₃ = d  cos _3.

Рис.50

Рис.49

Эллипс является кривой второго порядка.

Каждую точку окружности можно преобразовать

в точку эллипса, соблюдая одно и тоже

отношение (рис.51), так

МК₁ : МК = b : a , где

a – большая полуось эллипса,

b – малая полуось эллипса,

отношение b : a – коэффициент сжатия эллипса,

т.К₁ – точка, принадлежащая эллипсу.

Т

Рис. 51

аким образом, окружность как бы равномерно

сжимается; линия в которую при этом

п реобразуется окружность, является эллипсом. Если b приближается к a, то эллипс расширяется и при b=a превращается в окружность.

П

Рис.52

остроение эллипса по его осям. Построение выполняется при помощи двух концентрических окружностей, проведённых радиусами a и b. Проведя какой-либо радиус ОМ₁ и прямые М₁М₀ (параллельно малой оси) и ЕМ (параллельно большой оси), получим в пересечении этих прямых точку М, принадлежащую эллипсу. Повторяя указанное построение, получаем ряд точек эллипса (рис.52).

Пример 9. Построить в плоскости общего положения (hf) окружность с центром в т.О и радиусом R=20мм; т.О(hf) (Рис.53).

Р ешение: Так как окружность находится в плоскости общего положения, то её проекцией на плоскости П₁ и П₂ будет эллипс.

1) Проведём в плоскости (hf) через т.О горизонталь h₁(h₁₁,h₁₂) и фронталь f₁(f₁₁,f₁₂); h₁h , f₁f т.к. h₁ и f₁  плоскости (hf). На пл. П₁ большая ось эллипса лежит на h₁₁ –Е₁F₁=d_окр.=40мм. На пл. П₂ большая ось эллипса лежит на f₁₂ –А₂В₂=d_окр.=40мм.

2

Рис.53

) Проведём через т.О прямые m₁E₁F₁ и n₂ А₂В₂, на которых лежат малые оси эллипса. Точки А(А₁,А₂), В(В₁В₂), Е(Е₁Е₂), F(F₁,F₂) принадлежат эллипсу. Используя обратное построение представ-ленное на рис. 52 , определим величину малых осей эллипса:

- 4₁А₁m₁, А₁G₁^*Е₁F₁, G₁O₁- малая полуось эллипса, G₁H₁ –малая ось эллипса;

- 3₂Е₂n₂, Е₂С₂^*А₂В₂, С₂О₂ - малая полуось эллипса, С₂D₂ – малая ось эллипса.

Варианты задания

Варианты с 1-50 приведены в таблице №2.

Построить фронтальную и горизонтальную проекции конуса вращения по заданным условиям:

 - плоскость основания конуса (общего положения);

r – радиус окружности основания конуса;

Н- высота конуса, принять Н= 3r;

т.О – центр окружности основания конуса;

n – ось конуса ( прямая общего положения);

Образец выполнения задания приведён на рис.54.

Контрольные вопросы

1. Дайте формулировку теоремы о проецировании прямого угла.

2. Каковы условия перпендикулярности прямой и плоскости на комплексном чертеже?

3. Как определить направление и величину осей эллипса, который является проекцией окружности?

4. Как определить расстояние от точки до плоскости (без преобразования чертежа)?

5. Какие существуют способы преобразования комплексного чертежа и как их применить для решения следующих задач:

а) определение натуральной величины отрезка;

б) преобразование прямой общего положения в проецирующую;

в) преобразование плоскости общего положения в проецирующую;

г) определение натуральной величины плоской фигуры.