- •5. Общие уравнения и теоремы динамики жидкости
- •5.1. Обобщенная гипотеза ньютона о связи между напряжениями и скоростями деформаций
- •5.2. Уравнения движения вязкой жидкости (уравнения навье—ctokca*)
- •5.4. Уравнения рейнольдса* для развитого турбулентного движения несжимаемой жидкости
- •5.5. Некоторые гипотезы о турбулентных напряжениях
- •5.6. Модель идеальной жидкости. Уравнения движения л. Эйлера
- •5.7. Интегралы уравнений эйлера. Уравнение бернулли для идеальной жидкости
- •При этом функция давления
- •5.8. Динамические свойства вихрей
- •5.9. Уравнения количества движения и момента количества движения
- •5.10. Общее уравнение энергии
- •5.11. Подобие гидромеханических процессов
- •5.12. Метод размерностей
При этом функция давления
Подставляя это выражение в формулу (5.53) и учитывая малое влияние массовых сил, получаем уравнение Бернулли для адиабатного движения идеального совершенного газа
(5.57)
Уравнения (5.56) и (5.57) можно применять при тех же ограничительных условиях, что и интеграл Бернулли, из которого они получены. С практической точки зрения имеет смысл использовать их лишь в случаях, когда существенно проявляется сжимаемость газа, что имеет место при скоростях, соизмеримых со скоростью звука. Для описания движения газа с малыми скоростями можно пользоваться уравнением Бернулли для несжимаемой жидкости.
3. Неустановившееся безвихревое течение. Для этого случая ди/дt 0 и = 0. Последнее условие, как известно из кинематики, эквивалентно существованию потенциала скорости , для которого grad = и.
Поскольку речь идет о неустановившемся движении, то зависит не только от координат, но и от времени t, которое будем рассматривать как параметр. Тогда уравнение (5.43) можно записать в форме
или, меняя порядок операций д/дt и grad, grad (Е + ) = 0.
Из этого выражения следует, что функция, стоящая под знаком grad, не зависит от координат х, у, z, но это не значит, что она не зависит от времени. Поэтому запишем
где f(t) — произвольная функция времени.
Соотношение (5.58) называется интегралом Лагранжа. Для несжимаемой жидкости (P = р/) в поле силы тяжести (Ф = gz) из выражения (5.58) получаем уравнение
(5.59)
которому можно придать форму, вытекающую из уравнения (5.23) как частный случай. Для этого выберем в некоторый момент времени произвольную трубку тока. Поскольку правая часть уравнения (5.59) зависит только от времени, значения левой части
в данный момент времени должны быть одинаковы в сечениях 1 и 2 трубки (см. рис. 5.2). Поэтому
(5.60)
Если s — криволинейная координата, отсчитываемая вдоль оси трубки тока, то, как известно, и = д/дs, откуда.
где f2(t)— произвольная функция времени.
Очевидно, f2(t ) |1 = f2(t ) |2.
Отсюда следует, что
Теперь выражение (5.60) можно записать в виде
(5.61)
Это уравнение, очевидно, есть частный случай уравнения (5.23) при = 0.
4. Относительное движение идеальной жидкости. Рассмотрим движение жидкости в канале, который перемещается с ускорением относительно Земли. В этом случае движение жидкости относительно стенок канала будем называть относительным. Такое течение имеет место, например, в турбомашинах: оно создается в проточных каналах между лопастями, образующими гидродинамическую решетку (рис. 5.6).
Если это движение рассматривать в системе координат, жестко связанной со стенками канала, то при постоянной во времени относительной скорости движение будет установившимся. Полагая жидкость идеальной, его можно описать уравнениями Эйлера, однако в отличие от абсолютного движения, в соответствии с известным принципом механики, необходимо в число массовых сил ввести силы инерции.
Пусть движение происходит вдоль трубки тока, вращающейся как целое с постоянной угловой скоростью (рис. 5.7). В число массовых сил должны быть включены: сила тяжести Fg == g центробежная сила Fц = (v2/r) r0 == 2rr0, кориолисова сила Fк = – 2 х и, где v = r – окружная переносная скорость на окружности радиусом r; r0 — единичный вектор радиального направления; и — относительная скорость движения вдоль струйки.
Рис. 5.6. Схема, иллюстрирующая относительное течение жидкости |
Рис. 5.7. Схема к выводу уравнения Бернулли для относительного движения в элементарной струйке |
Уравнение движения в подвижной (неинерциальной) системе координат согласно выражению (5.40) запишем в виде
(5.62)
Полагая движение установившимся (ди/дt = 0) и безвихревым ( = 0), а также учитывая, что Fg = —grad (gz), Fц = grad (2r2/2) и (1/) grad p = grad P, получаем
(5.63)
Умножим обе части этого уравнения скалярно на элементарный вектор ds перемещения вдоль оси струйки и учтем, что вектор кориолисовой силы нормален к вектору относительной скорости и т. е. нормален к вектору ds, а значит, Fн ds = 0. Тогда получим
(5.64)
Применяя этот интеграл к двум сечениям 1 и 2 элементарной струйки, учитывая, что (r = v есть переносная скорость, получим уравнение относительного движения тяжелой идеальной жидкости
(5.65)
Для несжимаемой жидкости P = p/ и уравнение (5.65) принимает вид