Аперацыi над выказваннямi

Азначэнне. Адмаўленнем выказвання называецца выказванне “Не ”, якое праўдзiвае ў тым і толькі тым выпадку, калi непраўдзiвае.

Iншымi словамi, логiкавае значэнне выказвання выражаецца праз логiкавае значэнне выказвання гэтак, як паказана ў наступнай таблiцы праўдзiвасцi:

1	0
0	1

Выказванне можа быць выражанае таксама сказамi “Няпраўда, што ”, “ непраўдзiвае”. Часам замест пiшуць .

Прыклад 1. Для выказванняў , якія пададзеныя на пачатку параграфу, ёсць выказванне “Няпраўда, што вытворная функцыі роўная ” (ці “Вытворная функцыі няроўная ” (непраўдзiвае), – выказванне “ Няпраўда, што ” (ці “ ”) (праўдзівае). Адмаўленне выказвання ёсць выказванне “Не кожная дыферэнцавальная на адрэзку функцыя абмежаваная на гэтым адрэзку” (або “Няпраўда, што кожная дыферэнцавальная на адрэзку функцыя абмежаваная на гэтым адрэзку”, або, раўназначна, “Існуе дыферэнцавальная на адрэзку функцыя, неабмежаваная на гэтым адрэзку”) (непраўдзівае).

Азначэнне. Кан’юнкцыяй выказванняў i называецца выказванне “ i ”, якое праўдзiвае ў тым і толькі тым выпадку, калi праўдзiвае i праўдзiвае:

1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Сказы “I , i ”, “Адначасова абодва выказваннi i праўдзiвыя” выражаюць таксама выказванне . Часам замест пiшуць або .

Прыклад 2. ёсць выказванне “Мiнск – сталiца Беларусi i Нёман упадае ў Чорнае мора”, якое мае логiкавае значэнне 0, ёсць выказванне “Вытворная функцыi роўная i (мае логiкавае значэнне 1), : “ i Нёман упадае ў Чорнае мора” (мае логiкавае значэнне 0).

Азначэнне. Дыз’юнкцыяй выказванняў i называецца выказванне “ або ”, якое непраўдзiвае ў тым і толькі тым выпадку, калi непраўдзiвае i непраўдзiвае:

1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Сказы “Або (альбо, цi) , або (альбо, цi) ”, “Прынамсi адно з выказванняў i праўдзiвае” таксама выражаюць выказванне .

Прыклад 3. ёсць выказванне “Вытворная функцыi роўная або ”, якое мае логiкавае значэнне 1. ёсць выказванне “Вытворная функцыi роўная або кожная дыферэнцавальная на адрэзку функцыя абмежаваная на гэтым адрэзку”, якое таксама мае логiкавае значэнне 1, а : “ ці Нёман упадае ў Чорнае мора” мае логiкавае значэнне 0.

Звернем увагу чытача на тое, што ў беларускай мове (i iншых мовах) слова “або” (“альбо”, “ці”) ужываецца ў двух розных сэнсах – падзяляльным i злучальным. У першым выпадку “ або (альбо, ці) ” значыць, што праўдзiвае адно i толькi адно з выказванняў i (“Пасля лекцыі па алгебры я пайду на лекцыю па матэматычнай логіцы ці пайду ў кiно”, бо адначасова быць i на лекцыi, i ў кiно немагчыма), а ў другiм выпадку прынамсi адно з гэтых выказванняў (“Або Аляксандар дурань, або ён хлусiць”, бо не выключана, што Аляксандар адначасова i дурань, i хлусiць). У матэматычнай логiцы аперацыi адпавядае слова “або” ў злучальным сэнсе.

Азначэнне. Iмплiкацыяй выказванняў i называецца выказванне “З вынікае ”; iмплiкацыя непраўдзiвая ў тым і толькі тым выпадку, калi праўдзiвае, а непраўдзiвае:

1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Сказы “ мае вынiкам ”, “Калі , тады ”, “ ёсць дастатковая ўмова (варунак) для ”, “ ёсць неабходная ўмова (варунак) для ”, “ толькi калi ” выражаюць таксама выказванне . Часам замест пiшуць або .

Таблiца для iмплiкацыi з’яўляецца, магчыма, нечаканай. Паводле яе, калi – непраўдзiвае выказванне, тады – праўдзiвае выказванне, якiм бы нi было . Пры гэтым азначэннi эквiвалентная (гл. §2); менавiта ў гэтым сэнсе звычайна ўжываецца ў матэматыцы.

Прыклад 4. Выказваннi : “Калi вытворная функцыi роўная , тады ”, : “З вынікае, што кожная дыферэнцавальная на адрэзку функцыя абмежаваная на гэтым адрэзку”, : “З вынікае, што Нёман упадае ў Чорнае мора” – праўдзiвыя, а выказванне : “Мiнск – сталiца Беларусi” мае вынікам “Нёман упадае ў Чорнае мора” – непраўдзiвае.

Адзначым, што ў гэтых прыкладах памiж умовай i высновай няма нiякай прычыннай сувязi, аднак у алгебры выказванняў нас не будзе цiкавiць сэнс выказванняў, а толькi iх логiкавае значэнне. Да прыкладу, паводле нашага азначэння, сказ : “З таго, што вытворная функцыi роўная , вынiкае, што Мiнск – сталiца Беларусi” – праўдзiвае выказванне, хоць роўнасць нiяк не з’яўляецца прычынай таго, што Мiнск – сталiца Беларусi.

Азначэнне. Эквiваленцыяй выказванняў i называецца выказванне “ калi i толькi калi ”; эквiваленцыя праўдзiвая ў тым і толькі тым выпадку, калi абодва выказваннi i праўдзiвыя ці абодва непраўдзiвыя:

1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Выказванне можна выразiць таксама сказамi “ эквiвалентна ”, “Для таго, каб , неабходна i дастаткова, каб ”, “ ёсць неабходная i дастатковая ўмова (варунак) для ”. Часам замест пiшуць або , або  .

Прыклад 5. Выказваннi : “Вытворная функцыi роўная калi i толькi калi ” i : “ калi i толькi калi Нёман упадае ў Чорнае мора” – праўдзiвыя, а : ““Вытворная функцыi роўная ” эквівалентна “ ”” – непраўдзiвае.

Практыкаваннi

1. Якiя з наступных сказаў з’яўляюцца выказваннямi? Якiя з выказванняў праўдзiвыя, якiя – непраўдзiвыя?

(1) Палiном мае рэчаiсны корань.

(2) Палiном мае рэчаiсны корань.

(3) . .

(4) .

(5) Логiка – цiкавая навука.

(6) Функцыя называецца нарастальнай на адрэзку , калi для кожных такiх, што , .

(7) Усе простыя лiкi няцотныя.

(8) Ці падрыхтавалiся вы да заняткаў па логiцы?

(9) Жыве Беларусь!

(10) У кожным паралелаграме дыяганалi перпендыкулярныя.

(11) Трохвугольнiк падобны да трохвугольнiку .

(12) Кожны кубiчны палiном з рэчаiснымi каэфiцыентамi мае рэчаiсны корань.

(13) Для кожнага рэчаiснага лiку .

(14) Iснуе камплексны лiк такi, што .

(15) Уладзiмер Караткевiч – аўтар раману “Хрыстос прызямлiўся ў Гароднi”.

(16) Францыск Скарына жыў і тварыў у Пецярбургу.

(17) Знайдзiце ўсе каранi палiному .

2. Для тых сказаў з практыкавання 1, якiя з’яўляюцца выказваннямi, сфармулюйце адмаўленнi i вызначце логiкавыя значэннi дадзеных выказванняў i iх адмаўленняў.

3. Знайдзiце логiкавыя значэннi наступных выказванняў:

(1) – просты лiк i дзелiцца на ;

(2) Магiлеў стаiць на Мiсiсiпi i ;

(3) Кожны цэлы лiк дзелiцца на i ;

(4) Функцыя мае вытворную ў пункце 0 ці ;

(5) Або — iрацыянальны лiк, або дыяганалi кожнага квадрату роўныя;

(6) Або Рым — сталiца Францыi, або — просты лiк;

(7) З “ ” вынікае “Функцыя непарыўная на адрэзку ”;

(8) З таго, што функцыя непарыўная ў пункце 0, вынiкае, што яна мае вытворную ў пункце 0;

(9) Калi функцыя мае вытворную ў пункце 0 , тады яна непарыўная ў пункце 0;

(10) Функцыя мае вытворную ў пункце 0 толькі калі ў некаторым пункце функцыя набывае значэнне ;

(11) Для таго, каб палiном меў рэчаiсны корань, дастаткова, каб ён дзялiўся на ;

(12) Для таго, каб палiном меў рэчаiсны корань, неабходна, каб ён дзялiўся на ;

(13) З “ ” вынікае, што сланы – гэта вялікія птушкі, якія лётаюць нізка над зямлёю;

(14) дзелiцца на калi i толькi калi дзелiцца на ;

(15) “ – рацыянальны лiк” эквiвалентна таму, што – просты лiк;

(16) “ – рацыянальны лiк” ёсць неабходная і дастатковая ўмова для “ ”.