Лекция 4. Среды с плоско–паралельными поверхностями раздела решение задачи методом зеркальных изображений.

При одной бесконечной плоской границе, разделяющей два однородных и изотропных полупространства со средами, имеющими 1 и 2, потенциал электрического поля в каждой среде можно определить методом зеркальных изображений, исходя из следующих положений.

Условия непрерывности электрического поля и граничные условия

1.

2.При

3. На границе раздела потенциалы в разных средах равны (А).

4. должно соблюдаться постоянство нормальной составляющей (В).

Будут выполнены, если предположить следующее:

1. В среде 1, в которой находится источник тока, потенциал электрического поля будет таким, как в случае однородного безграничного пространства, заполненного средой с сопротивлением, равным сопротивлению полупространства, в котором находится источник тока, при условии, что кроме этого источника тока, в точке А, являющейся зеркальным изображением точки А в плоскости Р раздела сред, находится второй фиктивный источник тока А, отдающий некоторый ток I.

2. В среде 2, в которой источник тока А отсутствует, потенциал электрического поля будет таким, как будто все исследуемое пространство безгранично и заполнено этой средой, но источник А при этом отдает фиктивный электрический ток I.

Обозначая через R и R расстояние от источников А и А до точки М1 и М2 определим потенциал электрического поля.

для среды 1 (точка М1)

для среды 2 (точка М2)

(индекс вверху – среда, где находится питающий электрод,

внизу – среда, где измеряется поле измерительным электродом).

Для определения фиктивных токов I и I воспользуемся пограничными условиями А и Б приравняв обе части при R=R запишем:



и взяв производные (Б) получим:

и

Так как , получим I-I=I  R=R

Решая совместно  и  получим:

,

k12 – наз. коэффициент отражения

(1 – k12) – коэффициент пропускания.

В частности, если 2=  k12= 1 и 1-k12= 0. В этом случае весь ток будет отражаться границей раздела (средой 2), в среде 2 токовое поле будет отсутствовать и в среде 1 плотность тока будет в 2 раза выше, чем в случае однородного изотропного пространства.

При идеально проводящей среде 2 (2=0) k12= -1 1-k12= 2. В этом случае токовые линии не только не будут отражаться границей раздела, а, наоборот, будут полностью втягиваться средой 2. При этом весь ток, вместо того, чтобы растекаться по телесному углу 4 будет протекать в среду 2 и распространяться в телесном угле, равном 2, что будет эквивалентным отдаче источником А фиктивного тока удвоенной силы.

Подставляя найденные значения I и I, получим в среде1

в среде 2

(В.Н. Дахнов, промысловая геофизика, Госоптехиздат, М, 1959 г.).

Физическое объяснение кривых.

Последовательн. градиент – зонд.

При удалении зонда от плоскости раздела z2Lr

j=j0

При приближению к разделу плотность тока возрастает

В пределе при 2= _к,121

До пересечения границы раздела электродами M и N _k=2121+2-1 – постоянно

СледовательноI1=I2

Таким образом, пересечение границ плоскости раздела отметится на кривой _k резким скачком. Чем больше 2, тем больше скачок _k,222. При дальнейшем удалении от границ раздела _k стремится к 2 (при 1,5 Lr достигает 2).

Для обращенного зонда (NMA) при приближении к границе раздела сред в связи с экранированием тока верхней средой высокого сопротивления плотность тока между электродами М и N и, следовательно, кажущееся сопротивление, уменьшаются. На границе раздела сред _k минимально и при 2 _k,2. При пересечении электродами М и N плоскости раздела сред _k резко возрастает и достигает величины 212121.

В силу постоянства In на границе раздела сред _k,1_k,2=12

Следовательно

После перехода заземления А в верхнюю среду кажущееся сопротивление следствие уменьшающего влияния среды возрастает вначале резко, а затем более плавно, достигая при l=2-3lп значение 2.

При взаимной замене сопротивлений сред 1 и 2 кривые кажущегося сопротивления будут зеркальным отображением для сред 21.

ПОТЕНЦИАЛ – ЗОНД.

РИСУНОК

2=101

При удалении от границы раздела k1=k2. При приближении к границе раздела к возрастает, что объясняется увеличением плотности тока в полупространстве ниже электрода М (момента пересечения заземлением А границы раздела и до пересечения этой границы электродом М

k=212/1+2=const

После перехода электрода М в верхнюю среду кажущееся сопротивление вновь возрастает, асимитотически приближаясь к 2 сперва интенсивно, затем более плавно.

Зона в пределах которой фиксируется переход от k=212/1+2 к к=2 тем больше, чем выше отношение 21 и больше размер зонда. Протяженность этой зоны практически не превышает пятикратного размера зонда.