- •Короткі теоретичні відомості.
- •1. Визначники. Обчислення визначників.
- •Визначник n-го порядку це число, яке дорівнює сумі попарних добутків елементів довільного рядка (або стовпця) на їх відповідні алгебраїчні доповнення.
- •2. Матриці та дії над ними.
- •3) Знайти алгебраїчні доповнення кожного елемента транспонованої матриці і записати їх у матрицю (приєднану):
- •3. Розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь
- •6. Площина і пряма в просторі.
- •7. Канонічні рівняння ліній другого порядку.
- •8. Вступ в математичний аналіз
- •9. Диференціальне числення функцій однієї змінної
- •10. Застосування похідної.
- •11. Повне дослідження функції
- •12. Функції багатьох змінних
- •13. Невизначений інтеграл.
- •14. Методи обчислення невизначених інтегралів
- •14. Визначений інтеграл.
- •15. Невласні інтеграли.
- •16. Диференціальні рівняння першого порядку.
- •17. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.
- •18. Числові ряди
- •19. Степеневі ряди.
- •Деякі економічні задачі і їх розв’язування.
- •Вказівки та зразки розв’язування задач.
12. Функції багатьох змінних
Якщо кожній парі чисел , де , поставлено у відповідність за певним правилом значення , то говорять, що задана функція двох змінних, яку позначають .
Змінні і називають аргументами.
Якщо надати приросту , а - приросту , то одержить приріст . Частинний приріст , частинний приріст .
Частинні похідні першого порядку:
, .
Їх знаходять як звичайні похідні, вважаючи при обчисленні змінну сталою, а при обчисленні змінну сталою. Оскільки частинні похідні першого порядку для функції двох змінних є функціями цих змінних, то можна знайти частинні похідні другого порядку: , , .
Необхідні умови екстремуму функції двох змінних
Якщо в точці функція досягає екстремуму, то її частинні похідні перешого порядку в цій точці дорівнюють нулю:
Достатні умови екстремуму функції двох змінних
Нехай в точці виконується умова і існують частинні похідні другого порядку ; .
Визначимо:
Якщо то в точці функція має екстремум; якщо то екстремуму немає.
Якщо і (або і ), то функція досягає мінімуму, якщо і (або і ), то функція досягає максимуму.
Градієнтом функції двох змінних називається вектор
g= .
Для функції градієнт має вид
g=
13. Невизначений інтеграл.
Первісною функцією до заданої функції називається функція , похідна якої дорівнює , а диференціал :
або .
Множина всіх первісних для даної функції , де - довільна стала, називається невизначеним інтегралом від функції і позначається .
Отже, .
В формулі називається підінтегральною функцією, - підінтегральним виразом, а символ - знаком невизначеного інтеграла.
Основні властивості невизначеного інтеграла.
Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції, а диференціал – підінтегральному виразу:
.
Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює цій функції з точністю до сталої:
.
Постійний множник можна виносити за знак невизначеного інтеграла:
.
Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від кожного з цих доданків:
.
ТАБЛИЦЯ ОСНОВНИХ ІНТЕГРАЛІВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. Методи обчислення невизначених інтегралів
а) метод беспосереднього інтегрування полягає в прямому застосуванні властивостей інтегралів і таблиці основних інтегралів.
б) метод заміни змінної застосовується для зведення до табличного, введенням підстановки і використонням формули .
Інколи доцільно вводити заміну , щоб звести інтеграл до табличного.
в) метод інтегрування частинами грунтується на використанні формули: . Підінтегральний вираз подають у вигляді добутку множників і . Якщо він містить добуток многочлена на тригонометричну або показникову функцію, то за слід взяти многочлен, а все решту за . Якщо підінтегральний вираз містить добуток многочлена на логарифмічну чи аркфункцію, то за слід брати логарифмічну або аркфункцію, а решта – за .
Не всякий інтеграл можна виразити через відомі елементарні функції.
Завжди інтегруються раціональні функції, які мають вигляд
, де - многочлени.
Якщо найвищий степінь многочлена менший за найвищий степінь многочлена , то дріб називають правильним, в іншому випадку неправильним.
З неправильного дробу виділяють цілу частину шляхом ділення двох многочленів і, таким чином, зводять інтегрування його до інтегрування цілої раціональної функції і правильного дробу.
Правильний дріб можна розкласти на суму найпростіших дробів чотирьох типів:
1) ; 2) ; 3) ; 4) , кожен з яких інтегрується.
Інтеграли виду , якщо непарне число, обчислюється підстановкою , якщо непарне число – підстановкою . Якщо обидва показники парні, то використовуючи формули пониження степеня тригонометричних функцій:
, , , прийдемо до обчислення інтегралів, в яких хоч один із степенів буде непарним.
Інтеграли типу , ,
перетворюють з використанням формул перетворення добутку тригонометричних функцій у суму.
,
,
.
Інтеграли типу , де - раціональна функція від можна звести до інтегрування раціональних дробів за допомогою універсальної підстановки , скориставшись формулами , , .
Інтеграли від ірраціональних функцій
1) , де підінтегральна функція раціональна відносно зводять до інтегралів від раціональних функцій підстановкою , де - найменше спільне кратне чисел
2) Для використовують підстановку
; для - ( .