8. Общие сведения из теории ошибок измерений. Основные понятия о точности измерений. Средняя квадратическая, предельная и относительные ошибки измерений.

Результаты измерений разделяют на равноточные и неравноточные. Под равноточными понимают однородные результаты, полученные в процессе измерений инструментами одного класса точности при одинаковых условиях, а неравноточные результаты измерений получают при несоблюдении условий равноточности.

Измерения различаются на необходимые и избыточные. Число измерений, требующихся для решения поставленной задачи, называют необходимыми. Например, при измерении длины линии, чтобы получить результат, необходимо выполнить одно измерение.

В геодезической практике всегда выполняют некоторое число избыточных измерений с тем, чтобы обеспечить контроль, повысить точность и получить сравнительные данные для оценки точности полученного результата.

В процессе измерений участвуют наблюдатель, приборы и условия внешней среды, которые постоянно меняются, что и приводит к неизбежным ошибкам измерений.

Ошибки измерений подразделяют на грубые, систематические и случайные.

Грубые ошибки возникают из-за промахов и просчетов, связанных с неисправностью приборов, невнимательностью наблюдателя, резким ухудшением внешних условий. Теория математической обработки не рассматривает измерения с грубыми ошибками, такие измерения либо отбрасываются, либо выполняются заново.

Систематические ошибки обычно имеют одну величину и знак и могут быть выявлены и учтены путем введения поправок в результате измерений. Например, при измерении длин линий лентой или рулеткой в зимнее время необходимо вводить в результаты измерений поправку за температуру.

Случайные ошибки неустранимы и неизбежны.

Для случайных ошибок установлены следующие свойства:

а) случайные ошибки для данных условий не могут превышать по абсолютной величине известного предела;

б) малые по абсолютной величине ошибки появляются чаще больших;

в) по знаку положительные ошибки появляются так же часто, как и равные им по величине отрицательные ошибки;

г) среднее арифметическое из случайных ошибок одной и той же величины неограниченно стремится к нулю с увеличением числа измерений. Это свойство можно записать так:

(1)

где ∆ – случайная ошибка; n – число измерений.

Если одна и та же величина равноточно измерена n раз, то за ее окончательное значение принимают среднее арифметическое, то есть:

Для правильного использования результатов измерений необходимо знать, с какой точностью, т. е. с какой степенью близости к истинному значению измеряемой величины, они получены. Характеристикой точности отдельного измерения в теории ошибок служит предложенная Гауссом средняя квадратическая ошибка m, вычисляемая по формуле

(5.2)

где п - число измерений данной величины.

Эта формула применима для случаев, когда известно истинное значение измеряемой величины. Такие случаи в практике встречаются редко. В то же время из измерений можно получить результат, наиболее близкий к истинному значению,- арифметическую средину. Для этого случая средняя квадратическая ошибка одного измерения подсчитывается по формуле Бесселя

(5.3)

где δ - отклонения отдельных значений измеренной величины от арифметической средины, называемые вероятнейшими ошибками, причем [δ]=0.

Точность арифметической средины, естественно, будет выше точности отдельного измерения. Ее средняя квадратическая ошибка М определяется по формуле

М = m/√n(5.4)

где т - средняя квадратическая ошибка одного измерения, вычисляемая по формуле (5.2) или (5.3).

Часто в практике для контроля и повышения точности определяемую величину измеряют дважды - в прямом и обратном направлениях, например, длину линий, превышения между точками. Из двух полученных значений за окончательное принимается среднее из них. В этом случае средняя квадратическая ошибка одного измерения подсчитывается по формуле

(5.5)

а средний результат из двух измерений - по формуле

39

(5.6)

где d - разность двукратно измеренных величин, п - число разностей (двойных измерений).

В соответствии с первым свойством случайных ошибок для абсолютной величины случайной ошибки при данных условиях измерений существует допустимый предел, называемый предельной ошибкой. В строительных нормах предельная ошибка называется допускаемым отклонением.