Свойства математического ожидания

Свойство1: Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной

Свойство2:Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания

Определение6.2: Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы.

Определение6.3: Несколько случайных величин называют взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Свойство3:Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Следствие: Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Свойство4:Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Следствие: Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Пример. Вычислим математическое ожидание биномиальной случайной величины X – числа наступления события A в n опытах.

Решение: Общее число X появлений события A в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях. Введем случайные величины X_i – число появлений события в i-ом испытании, которые являются Бернуллиевскими случайными величинами с математическим ожиданием , где . По свойству математического ожидания имеем

Таким образом, математическое ожидание биномиального распределения с параметрами n и p равно произведению np.

Пример. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия p = 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.

Решение: Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события независимы и ,следовательно, искомое математическое ожидание

(попаданий).

7. Дисперсия дискретной случайной величины

Зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные значения она принимает, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания.

Рассмотрим, например, дискретные случайные величины X и Y , заданные следующими законами распределения:

X	-0,001	0,001
P	0,5	0,5

Y	-1000	1000
P	0,5	0,5

Математические ожидания этих величин

Другими словами, математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует. По этой причине наряду с математическим ожиданием вводят и другие числовые характеристики.

Определение7.1: Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: X – M(X).

Свойство отклонения: Математическое ожидание отклонения равно нулю:

M[X – M(X)] = 0.

Доказательство: Пользуясь свойствами математического ожидания и тем, что M(X)- постоянная величина, имеем

M[X – M(X)] = M(X) – M[M(X)] = M(X) –M(X)= 0.

Замечание: Наряду с термином “отклонение” используют термин “центрированная величина”. Центрированной случайной величиной называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: = X – M(X).

Определение7.2:Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = M[X – M(X)]².

Пусть дискретная случайная величина задана рядом распределения

X	x1	x2	x3	…..		xn
P	p1	p2	p3	…..		pn

Тогда

D(X) = M[X – M(X)]² = [x₁-M(X)]²p₁+ [x₂-M(X)]²p₂+…+ [x_n-M(X)]²p_n.

Таким образом, чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.

Пример. Найти дисперсию случайной величины X , которая задана следующим рядом распределения:

X	1	2	5
P	0,3	0,5	0,2

Решение: Математическое ожидание M(X) = 1∙0,3+2∙0,5+5∙0,2 = 2,3.

Тогда D(X) = (1 - 2,3)²∙0,3 + (2 - 2,3)²∙0,5 + (5 - 2,3)²∙0,2 = 1,69 ∙ 0,3 + 0,09 ∙ 0,5 + 7,29 ∙ 0,2 = 2,01.

Для вычисления дисперсии часто удобно пользоваться другой формулой:

D(X) = M(X²) – [M(X)]².

Доказательство:

D(X) = M[X – M(X)]²=M[X² - 2X∙M(X) + M²(X)]= M(X²) – 2M(X)∙M(X) + M²(X) =

= M(X²) – 2M²(X)+ M²(X) = M(X²)- M²(X).

Таким образом, дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания.

Пример. Найти дисперсию случайной величины X , которая задана следующим рядом распределения:

X	2	3	5
P	0,1	0,6	0,3

Решение: Математическое ожидание M(X) = 2∙0,1+3∙0,6+5∙0,3 = 3,5. Тогда M(X²) = 2²∙0,1+3²∙0,6+5²∙0,3 = 13,3. Дисперсия D(X) = M(X²) – [M(X)]²=13,3 – (3,5)²=1,05.