4.1. Трехмерные примитивы
Предметом трехмерной компьютерной графики являются различные пространственные объекты. По геометрическим свойствам их можно разделить на следующие виды:
точки в пространстве;
пространственные линии и отрезки линий;
поверхности;
многогранники;
геометрические тела сложной формы.
Для синтеза реалистичных изображений кроме геометрии объектов необходимо также моделировать распространение света, что заставляет задавать и использовать ряд физических свойств объектов и всей пространственной сцены. К ним относятся расположение и яркость источников света, цвета и степень зеркальности (гладкости) поверхностей объектов, коэффициенты преломления света на границах прозрачных сред, степень их прозрачности и др.
Геометрия трехмерных примитивов, как и двумерных, описывается алгебраическим и параметрическим методами. Ниже в качестве примитивов будут рассмотрены точки, линии, поверхности и многогранники.
Tочка P в пространстве задается своими координатами (x, y, z). В трехмерной компьютерной графике традиционно используют левостороннюю систему координат, показанную на рис. 4.1. Причем изображение строится на плоскости OXY, называемой картинной плоскостью. На нее проецируются изображаемые объекты.
Н
а
рис. 4.1 Pr(P)
означает проекцию точки P
на картинную плоскость.
Часть этой плоскости, соответствующая
экрану монитора, обозначена как Scr.
Для задания линий в пространстве используется алгебраическая и параметрическая формы.
В алгебраической форме линия в пространстве задается как пересечение двух поверхностей, что представляется в виде системы алгебраических уравнений
(4.1)
Пространственные кривые в параметрической форме отличаются от плоских, рассмотренных в п. 2.3, 2.4, лишь тем, что изменение координаты z задается третьей функция z(t):
(4.2)
Формулы и выводы, приведенные в п. 2.3, 2.4, несложно модифицировать для описания кубических сплайнов и кривых Безье в пространстве.
Поверхности, как и линии, задаются в алгебраической и параметрической формах. Алгебраическая поверхность описывается уравнением вида F(x, y, z) = 0. Например, уравнение сферической поверхности с центром в начале координат и радиусом R имеет вид
x2 + y2 + z2 – R2 = 0. (4.3)
В параметрической форме задаются четырехугольные куски S(u,v) произвольных гладких поверхностей (рис. 4.2). Закон изменения каждой из координат поверхности должен быть описан своей функцией от двух параметров u и v:
(4.4)
Как и для параметрических кривых, в качестве области изменения параметров u и v обычно используют интервал [0, 1], т.е. 0 u 1, 0 v 1.
Рис. 4.2
При интерактивном синтезе параметрических поверхностей для функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) используют те же полиномиальные базисы, что и в двумерной графике. Разработаны математическая теория и алгоритмы для создания полиномиальных кубических поверхностей, поверхностей Безье и других видов полиномиальных сплайн-поверхностей [7, 8].
В то же время для задания некоторых видов поверхностей удобнее использовать другие базисы. Так, особым классом поверхностей являются поверхности вращения [7]. Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением плоской кривой вокруг неподвижной оси, лежащей в одной плоскости с кривой. Например, функция
(4.5)
определяет поверхность, описанную вращением кривой P(u) = [x(u) z(u)], заданной в плоскости OXZ, вокруг оси OZ (рис. 4.3).
Рис. 4.3
Другим примером поверхности вращения может служить сферическая поверхность радиусом R с центром в начале координат, описываемая следующим образом:
(4.6)
Отметим, что параметры u и v определяют на поверхности географическую систему координат, в которой u является долготой, а v – широтой. Полюса этой сферы расположены на оси OZ.