9.5. Примеры расчета переходных процессов операторным методом

Пример 9.3

Составить операторную схему замещения для переходного режима в цепи (рис. 9.6) при ненулевых начальных условиях.

Рис. 9.6	Рис. 9.7

Таблица 9.2

Элемент	Схема замещения
	Для свободной и принужденной составляющих	Для свободной составляющей

Решение

Согласно табл. 9.2 в операторной схеме замещения резистор заменяется операторным сопротивлением , катушка – операторным сопротивлением и э.д.с. , конденсатор – операторным сопротивлением и э.д.с. . Операторная схема замещения показана на рис. 9.7.

Пример 9. 4. Найти операторное изображение напряжения на конденсаторе в схеме, показанной на рис. 9.8.

Решение

1. Установившийся режим до коммутации и независимые начальные условия:

Рис. 9.8	Рис. 9.9

2. Операторное изображение постоянного напряжения .

3. Операторная схема замещения показана на рис. 9.9. Расчёт операторной схемы выполним методом контурных токов:

Откуда

Конденсатор на операторной схеме представлен двумя элементами. Для расчёта лучше рассмотреть контур, в уравнение для которого входит изображение (см. рис. 9.9). Тогда получаем

.

Пример 9.5

Рассчитать операторным методом токи в ветвях схемы, показанной на рис. 9.9. В схеме действует идеальный источник постоянного тока А. Параметры элементов: Ф; Гн; Ом.

Рис. 9.10	Рис.9.11

Решение

1. Независимые начальные условия:

2. Операторное изображение задающего тока .

3. Операторная схема приведена на рис. 9.11. Её расчёт выполним по уравнениям Кирхгофа:

;

;

Катушка индуктивности представлена её операторным сопротивлением и э.д.с начальных условий. Для определения запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для указанного на схеме контура:

,

откуда

Дальнейший расчёт выполним в цифрах:

;

.

4. Переход к оригиналам выполним по теореме разложения. Для выбора модификации теоремы разложения определим корни многочлена знаменателя, т.е. решим уравнение . Корни Все корни простые, поэтому можно воспользоваться формулой (9.17). У знаменателя выражения для два корня, следовательно

,

где

;

; ,

тогда

А;

А.

Знаменатель функции имеет ещё третий нулевой корень, тогда

,

где

; ;

; .

В результате получаем

В.

Напряжение на катушке и источнике

,

где

; .

В результате

В.

Графики зависимостей токов в ветвях показаны на рис. 9.12,а, а напряжений на катушке и конденсаторе – на рис. 9.12,б.

а)		б)
Рис. 9.12

Пример 9.6

В схеме, изображенной на рис. 9.13 рассчитать ток операторным методом.

Рис. 9.13	Рис. 9.14

Решение

1. Изображение входного напряжения (см. таблицу 9.1). Начальные условия – нулевые.

2. Операторная схема показана на рис. 9.14. Операторное изображение тока

3. Переход к оригиналу выполним по теореме разложения. Корни знаменателя :

Если знаменатель имеет простых корней и корень кратности ( одинаковых корней), то теорема разложения записывается в виде (9.19). В частности при двух одинаковых корнях выражение (9.19) имеет вид

Для простого корня согласно теореме разложения

.

Объединяя составляющие, получим искомый ток

Переход можно выполнить по таблице 9.1.

Пример 9.7

Требуется определить закон изменения напряжения на конденсаторе для цепи, изображенной на рис. 9.15. К цепи приложено синусоидальное напряжение параметры элементов цепи: мкФ; Ом. При расчете использовать комплексное изображение синусоидального напряжения.

Решение

1. Расчёт установившегося режима до коммутации осуществляется символическим методом:

В;

Рис. 9.15	Рис. 9.16

Тогда мгновенное значение напряжения на конденсаторе

и согласно законам коммутации .

2. Операторная схема для комплексных изображений токов и напряжений показана на рис. 9.16. Операторное изображение источника в комплексной форме имеет вид

Расчет операторной схемы проведем по методу узловых потенциалов:

Для нахождения комплекса мгновенного значения напряжения на конденсаторе используем теорему разложения.

Корни многочлена в знаменателе или

:

c^–1; c^–1.

Производная знаменателя

По теореме разложения определяем комплекс мгновенного значения напряжения на конденсаторе:

Тогда мгновенное значение напряжения на конденсаторе:

Пример 9.8

Найти ток в катушке индуктивности для цепи, изображенной на рис. 9.17. К цепи приложено синусоидальное напряжение В. Параметры элементов: ; ; ; мкФ.

Рис. 9.17	Рис. 9.18

Рубильник отключается в момент прохождения тока через максимальное значение.

Решение

1. Расчёт установившегося режима до коммутации в цепи на рис. 9.18 выполним символическим методом:

; .

Тогда мгновенное значение тока

Поскольку коммутация происходит при максимальном значении тока, то начальная фаза тока , откуда При этом значение тока в момент коммутации, согласно выражению ,

2. Расчёт установившегося режима после коммутации также выполним символическим методом (см. цепь на рис. 9.19):

В;

Ом;

А;

В.

Тогда мгновенные значения тока и напряжения на конденсаторе:

3. Определение начальных условий для свободных составляющих:

;

;

;

4. Эквивалентная операторная схема для свободных составляющих показана на рис. 9.20.

Рис. 9.19	Рис. 9.20

Операторное изображение свободной составляющей тока

.

Корни многочлена знаменателя :

Переход от изображений к оригиналам выполним по теореме разложения. Свободная составляющая тока:

А.

Выражение для тока в цепи запишем как сумму свободной и принуждённой составляющих тока:

А.