- •I. Треугольники
- •1) Теорема синусов.
- •2) Теорема косинусов.
- •3) Теорема о биссектрисе угла в треугольнике.
- •4) Вычисление биссектрисы угла.
- •5 ) Вычисление координаты точки отрезка.
- •4 ) Теорема об отрезках пересекающихся хорд.
- •15, А проекция второго катета на гипотенузу равна 16.
- •6 От боковых сторон и на расстоянии от
- •8, Боковая сторона 9, а диагональ 11. Найдите
15, А проекция второго катета на гипотенузу равна 16.
Найдите диаметр окружности, описанной около
этого треугольника.
С
Дано:
АВС – прямоугольный,
СВ = 15, АН = 16
Найти: 2R
А Н В
Решение:
1) По теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике
.
2) По теореме Пифагора
,
,
.
Пусть АВ = х, тогда
, ,
- не удовлетворяет условию задачи, поэтому АВ=25.
АВ=2R, так как гипотенуза прямоугольного треугольника есть диаметр
описанной около этого треугольника окружности.
Ответ: 2R=25.
-18-
Задача 7. Найдите диаметр окружности, описанной около
прямоугольного треугольника, если один из его
катетов равен 20, а проекция другого катета на
гипотенузу равна 9.
С Дано:
АВС – прямоугольный,
АС = 20, НВ = 9
Найти: 2R
А Н В
Решение:
1) По теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике
АВС .
2) По теореме Пифагора
,
,
.
Пусть АВ = х, тогда
, ,
- не удовлетворяет условию задачи, поэтому АВ=25.
АВ=2R, так как центр описанной около прямоугольного треугольника
окружности лежит на середине гипотенузы этой окружности
Ответ: 2R=25.
-19-
Задача 8. В равнобедренный треугольник АВС вписана
окружность. Параллельно его основанию АС
проведена касательная к окружности, пересекающая
боковые стороны в точках D и Е. Найдите радиус
окружности, если DE = 8, АС = 18.
В Дано:
АВС – равнобедренный,
D E DE АС, DE = 8, АС = 18,
Найти: r
А С
Решение:
Способ первый.
АDЕС – равнобедренная трапеция, описанная около окружности. По
свойству описанного четырехугольника DЕ + АС = АD + ЕС, причем
АD = ЕС. Получим: 8+18=2АD, отсюда АD = ЕС = 13.
2) Пусть х = DВ = ВЕ, тогда АВ=ВС = х+13. DBE подобен ABC по
второму признаку подобия ( В – общий, ). Тогда их площади
относятся как произведения сторон, заключающих равные углы, и это
отношение равно квадрату коэффициента подобия:
, , ,
:4
, , ,
- не удовлетворяет условию задачи, поэтому ВЕ = ВD=10,4.
Итак, ВЕ = ВD=10,4, АВ=ВС=23,4.
3) , . С одной стороны,
. С
другой стороны, или , тогда ,
откуда r = 6.
Ответ: r = 6.
-20-
Способ второй.
В
D E
А С
K
Решение:
1) А DЕС – равнобедренная трапеция, описанная около окружности (т.к.
DЕ АС и DЕ, АС, АD и ЕС – касательные к окружности). По
свойству описанного четырехугольника DЕ + АС = АD + ЕС, причем
АD = ЕС. Получим: 8+18=2 АD, отсюда АD = ЕС = 13.
2) Выполним дополнительное построение: проведем ЕК АD, тогда
АDЕК – параллелограмм, значит АD = ЕК = 13, DЕ = АК (по свойству
параллелограмма), тогда КС = АС – АК=18 – 8 = 10.
3) , , .
С одной стороны, ,
с другой стороны, или . Тогда ,
откуда h=12.
4) Так как высоты трапеции АDЕС и треугольника КЕС совпадают, то
h = 2r, r = 6.
Ответ: r = 6.
-21-
Способ третий.
В
D E
Q S
А С
K H
Решение:
А ДЕС – равнобедренная трапеция, описанная около окружности (т.к. ДЕ АС и ДЕ, АС, АД и ЕС – касательные к окружности). По
свойству описанного четырехугольника ДЕ + АС = АД + ЕС, причем
АД = ЕС. Получим: 8+18=2 АД, отсюда АД = ЕС = 13.
Выполним дополнительное построение: проведем высоту ВН и отрезок DK, DK АС.
Так как АВС – равнобедренный, ВН – высота, то ВН и медиана. Тогда АН = НС = 9.
АН = АQ=9 и НС = ЕС = 9, DQ = DL = 4 и LE = ES = 4
(DQ = AD – AQ = 13 – 9), как отрезки касательных, проведенных из
одной точки к окружности, где Q и S – точки касания АВ и ВС с
окружностью.
DL = KH = 4, DK = LH как противоположные стороны прямоугольника KDLH.
Рассмотрим ADK. АК = АН – КН = 9 – 4 = 5, АD = 13. По следствию из теоремы Пифагора , , отсюда
DK= LH = 12, причем LH=2r, тогда r = 6.
Ответ: r = 6.
-22-
Задача 9. В равнобедренный треугольник АВС с основанием
АС вписана окружность с центром О. Луч СО
пересекает сторону АВ в точке К, причем АК = 6,
ВК = 12. Найдите периметр треугольника.
Способ первый.
В
Дано:
АВС, АВ = ВС
АК = 6, ВК = 12, СО АВ = К
К Найти:
А С
Решение:
Так как окружность вписана, и О КС (О – центр вписанной
окружности), то КС – биссектриса угла С. По свойству биссектрисы
(биссектриса делит сторону треугольника на части, пропорциональные
прилежащим сторонам) , или
(АВ = ВС = АК + КВ = 6+12 = 18), отсюда АС = 9.
2) = АВ + ВС + АС, = 18 + 18 + 9 = 45.
Ответ: = 45.
Способ второй.
Решение:
Так как СК – биссектриса угла С, то по теореме об отношении площадей треугольников С другой стороны, это отношение равно (как отношение площадей треугольников, имеющих одинаковую высоту, опущенную из вершины угла С).
Итак, , откуда АС = 9 и = 45.
Ответ: = 45.
-23-
Задача 10. Около треугольника АВС описана окружность.
Медиана треугольника АМ продлена до пересечения
с окружностью в точке К. Найдите сторону АС, если
АМ=18, МК=8, ВК=10.
Дано:
В АВС, АМ – медиана,
К АМ =18, МК = 8, ВК = 10
Найти: АС
А С
Решение:
Способ первый.
1) Рассмотрим ВМК и АМС. ВМК = АМС, как вертикальные,
КВС = КАС, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу КС.
Тогда ВМК и АМС подобны по первому признаку подобия.
2) Из подобия треугольников следует, что или , но
ВМ = МС по условию, тогда , -
не удовлетворяет условию задачи, поэтому МС = 12. Тогда ,
отсюда АС = 15.
Ответ: АС = 15.
-24-
Способ второй.
Решение:
1) По теореме о пересекающихся хордах , ,
но ВМ = МС по условию (АМ – медиана), тогда , отсюда
ВМ = МС=12.
2) Рассмотрим ВМК и АМС. ВМК = АМС, как вертикальные,
ВМ = МС по условию. КВС = КАС, как вписанные углы,
опирающиеся на одну дугу КС. Тогда, ВМК и АМС подобны по
первому признаку подобия.
3) Из подобия треугольников следует, что , , отсюда
АС = 15.
Ответ: АС = 15.
-25-
Задача 11. Дан ромб ABCD. Окружность, описанная около
треугольника ABD, пересекает большую диагональ
ромба АС в точке Е. Найдите СЕ, если АВ = ,
BD = 16.
А Дано:
ABCD – ромб,
АВ = , BD = 16
Найти: СЕ
D В
С
Решение:
Способ первый.
По свойству ромба диагонали в точке пересечения делятся пополам,
поэтому ВО = ОD = 8.
Рассмотрим АОВ. АОВ – прямоугольный, поэтому по следствию из теоремы Пифагора или ,
отсюда АО = ОС=16, АС = АО + ОС = 32.
С одной стороны, или , с другой стороны , где R – радиус описанной окружности, . Тогда , отсюда R = 10.
АЕ – диаметр окружности, АЕ = 2R = 20, АС = АО + ОС = 32, тогда
СЕ = АС – АЕ = 32 – 20 = 12.
Ответ: СЕ = 12.
-26-
Способ второй.
Решение:
Рассмотрим АDB. АDB – равнобедренный (AD = AB, как стороны ромба), АО – высота (поскольку диагонали ромба взаимно перпендикулярны), а, значит, и медиана и биссектриса (по теореме о высоте равнобедренного треугольника). По формуле нахождения медианы треугольника , , откуда АО = 16.
С одной стороны, или , с другой стороны , где R – радиус описанной окружности, . Тогда , отсюда R = 10.
АЕ – диаметр окружности, АЕ = 2R = 20, АС = АО + ОС = 32, тогда
СЕ = АС – АЕ = 32 – 20 = 12.
Ответ: СЕ = 12.
Способ третий.
Решение:
1) По свойству ромба диагонали в точке пересечения делятся пополам,
поэтому ВО = ОD = 8.
Рассмотрим АОВ. АОВ – прямоугольный, поэтому по следствию из теоремы Пифагора или ,
отсюда АО = ОС=16, АС = АО + ОС = 32.
3) По теореме о пересекающихся хордах , отсюда
. Тогда СЕ = СО – ОЕ = 16 – 4 = 12.
Ответ: СЕ = 12.
-27-
Задача 12. В окружность радиуса вписан треугольник АВС,
в котором , а сторона АВ в два раза больше
стороны АС. В треугольнике проведена
биссектриса АМ. Найти длину отрезка МС.
С Дано:
АВС, R = , ,
АВ = 2 АС, АМ – биссектриса
Найти: МС
А
В
Решение:
Способ первый.
1) Поскольку АМ – биссектриса АВС, то по свойству биссектрисы угла
или или , отсюда ВМ = 2МС, тогда ВС = 3МС
или МС = ВС.
2) По следствию из теоремы синусов , отсюда .
Тогда МС = = 4.
Ответ: МС = 4.
-28-
Решение:
Способ второй.
Докажем, что АВС – прямоугольный. По теореме косинусов
. Предположим
справедливость равенства: , ,
- верное равенство, следовательно,
и АВС – прямоугольный.
2) Так как АВС – прямоугольный, АВ – гипотенуза, то АВ = 2R =
(поскольку центр описанной окружности лежит на середине
гипотенузы, т.е. АВ – диаметр). по условию, тогда
АС = . По следствию из теоремы Пифагора ,
, тогда ВС = 12.
3) Поскольку АМ – биссектриса, то по свойству биссектрисы угла
, где ВМ = СВ – СМ = 12 - СМ. , отсюда
, , СМ = 4.
Ответ: СМ = 4.
-29-
Задача 13. В треугольнике ВСЕ , СЕ : ВС = 3 : 1. Отрезок
СК – биссектриса треугольника. Найдите КЕ, если
радиус описанной около треугольника окружности
равен .
С Дано:
ВСЕ,
СЕ : ВС = 3 : 1,
СК – биссектриса
R =
В Найти: КЕ
Е
Решение:
1) Поскольку СК – биссектриса СВЕ, то по свойству биссектрисы угла
или (так как по условию ), отсюда КЕ = 3ВК.
2) По теореме синусов , где ВЕ = 4ВК , отсюда ,
ВК = 6. Так как КЕ = 3ВК, то КЕ = 18.
Ответ: КЕ = 18.
-30-
Задача 14. В треугольнике АВС проведена медиана АМ.
Найдите площадь треугольника АВС, если
АС = , ВС = 10, .
В
Дано:
М АВС, АМ – медиана,
АС = , ВС = 10,
.
Найти:
А С
Решение:
1) Так как АМ – медиана, то ВМ = МС = 5.
2) По теореме косинусов в АМС
Пусть АМ = х, тогда
х = -1 – не удовлетворяет
условию задачи, х = 7. Итак, АМ = 7. ,
3) , так как треугольники имеют равные основания (ВМ = МС) и
высоту. Значит,
Ответ: 21.
-31-
Задача 15. Точка Н лежит на стороне АО треугольника АОМ.
Известно, что АН = 4, ОН = 12, , .
Найдите площадь треугольника АНМ.
Дано:
О АОМ, АН = 4, ОН = 12,
, .
Н Найти:
А М
Решение:
1) АНМ и АОМ подобны по первому признаку подобия
( по условию, А – общий), тогда или ,
тогда , АМ = 8.
2) , .
Ответ: 8.
-32-
Задача 16. В треугольнике ОВН точка М делит сторону ОВ на
отрезки ОМ = 4 и МВ = 28, . Найдите
площадь треугольника ОНМ, если .
Дано:
В ОВН, ОМ = 4, МВ = 28,
,
Найти:
М
О Н
Решение:
1) ОНМ и ОВН подобны по первому признаку подобия
( по условию, В – общий), тогда или ,
тогда , ОН = .
2) , .
Ответ: 128.
-33-
Задача 17. В треугольнике СЕН , точка Т делит сторону
СЕ на отрезки СТ = 2 и ЕТ = 14, .
Найдите площадь треугольника СНТ.
С
Дано:
Т СЕН,
СТ = 2, ЕТ = 14,
Найти:
Е Н
Решение:
1) СНТ и СЕН подобны по первому признаку подобия ( по
условию, С – общий), тогда или , тогда ,
СН = .
2) , .
Ответ: 4.
-34-
Задача 18. Точка К лежит на стороне АВ треугольника АВО, ВК = 12,
АК = 4, , cos . Найдите площадь
треугольника ОВК.
В Дано:
АВО, ВК = 12, АК = 4,
К , cos
Найти:
А О
Решение:
1) КОВ и ВАО подобны по первому признаку подобия (
по условию, В – общий), тогда или , тогда
, ВО = .
2) , (по следствию из основного
тригонометрического тождества), или , тогда
Sin B = . .
Ответ: 48.
-35-
Задача 19. Найдите расстояние от точки пересечения медиан
прямоугольного треугольника до его гипотенузы,
равной 25, если один из катетов равен 20.
А Дано:
АВС – прямоугольный,
ВС=20, АВ =25,
Е AF, CE, BD - медианы
D К Найти: LK
С F В
Решение:
Так как медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины, то AL=2LF, CL=2LE, BL=2LD.
По следствию из теоремы Пифагора .
, .
Так как медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников, .
, . Из равенства , получаем, что LK=4.
Ответ: LK=4.
-36-
Задача 20. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна
, а основания равны 3 и 4. Найдите диагональ
трапеции.
В С Дано:
АВСD – равнобедренная
трапеция, АВ=CD= ,
ВС = 3, AD = 4
Найти: АС
А М Н D
Решение:
Способ первый.
Выполним дополнительное построение: проведем высоты СН и ВМ. Очевидно, что .
: , , отсюда
СН = .
3) АНС – прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора
, где АН = МН + АМ = 3 + 0,5 = 3,5.
, откуда АС = 5.
Ответ: АС = 5.
-37-
В С
А D
Способ второй.
Решение:
По теореме косинусов (из АВС) и (из АСD), тогда
;
, отсюда следует, что АС = 5.
Ответ: АС = 5.
-38-
Задача 21. Найдите площадь равнобедренной трапеции,
описанной около окружности с радиусом 4, если
известно, что боковая сторона трапеции равна 10.
К Дано:
В С ABCD - равнобедренная
трапеция, r = 4,
AB = CD = 10
Найти:
А D
Н М
Решение:
Способ первый.
Так как ABCD – описанная около окружности трапеция, то по свойству описанного четырехугольника ВС + АD = AB + CD, ВС + АD = 20, так как по условию AB = CD = 10.
Высота СМ = КН = 2r, (СМ = КН , как противоположные стороны прямоугольника НКСМ), или h = 8.
, .
Ответ: 80.
Способ второй.
Так как ABCD – описанная около окружности трапеция, то по свойству описанного четырехугольника ВС + АD = AB + CD, ВС + АD = 20. Тогда и .
Ответ: 80.
-39-
Задача 22. Точка М лежит внутри равнобедренного
треугольника АВС с основанием АС на расстоянии