5.3. Нормальное распределение

Нормальным называется распределение непрерывной случайной величины, дифференциальная функция (плотность распределения) которой имеет вид

(5.17)

Параметр а является математическим ожиданием случайной величины, параметр  – ее средним квадратическим отклонением. Нормальное распределение с указанными параметрами обозначается

Интегральная функция нормального распределение нормированной случайной величины N(0, 1) имеет вид

(5.18)

Вероятность попадания случайной величины в интервал равна приращению интегральной функции Лапласа:

где а Отсюда

Вероятность заданного отклонения случайной величины от ее математического ожидания вычисляется как удвоенная функция Лапласа:

.

Для нормального распределения асимметрия и эксцесс равны нулю, а мода и медиана совпадают с математическим ожиданием, т.е. равны а.

29. Измерение дальности до объекта сопровождается случайной ошибкой, подчиненной нормальному закону со средним квадратическим отклонением  = 100 м. Найти: а) вероятность того, что измеренная дальность не превзойдет истинной более чем на 150 м ; б) вероятность измерения дальности с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 150 м.

 Пусть случайная величина Х – случайная ошибка измерения дальности. По условию она распределена по закону N(0, 100).

а) Событие А = измеренная дальность не превзойдет истинной означает, что ошибка измерения Х  150. Тогда искомая вероятность

Из таблицы значений функции (табл. 2 Приложений) находим:

Значит,

б) Вероятность заданного отклонения где

Отсюда 

29. Случайная величина Х распределена по закону N(10; 2). Найти вероятность того, что в результате испытания она примет значение из интервала (12, 14).

30. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение ее размера Х от номинала не превышает 10 мк. Точность изготовления детали характеризуется средним квадратическим отклонением . Считая, что  = 5 мк и Х подчиняется закону N(a, ), определить процент выпускаемых годных изделий.

31. Химический завод выпускает серную кислоту номинальной плотности 1,84 г/см³. Известно, что плотность 99,9% всех реактивов лежит в интервале (1,82; 1,86). Найти вероятность того, что партия кислоты удовлетворяет стандарту, если для этого достаточно, чтобы ее плотность не отклонялась от номинала более чем на 0,01 г/см³.

32. Случайное отклонение размера детали от номинала имеет параметры а = 0 и  = 5 мк. Сколько необходимо изготовить деталей, чтобы с вероятностью не менее 0,9 среди них была хотя бы одна годная, если для этого отклонение размера от номинала должно быть не более 2 мк?

33. Случайная величина Х – годовая процентная ставка потребительского кредита – подчинена закону нормальному распределения с параметрами а = 12,0% и  = 1,75%. Найти вероятность того, что в текущем году процентная ставка не превысит 15,5%.

34. Размер отчислений предприятия в социальные и культурные фонды зависит от текущей прибыли и является величиной случайной, подчиненной закону N(27, 6). Найти доверительный интервал для случайной величины отчислений при заданной вероятности  = 0,95.

35. Размер потребительского кредита есть величина случайная, подчиненная нормальному распределению с параметрами а = = 45 тыс.руб. и  = 12 тыс.руб. Найти вероятность того, что очередной кредит будет выдан на сумму не менее чем в 30 тыс.руб.

36. Улов тихоокеанской камбалы (в тоннах) является величиной случайной, подчиненной закону N(2,4; 0,6). Найти доверительный интервал, в котором с вероятностью 0,9 окажется очередное значение улова.

37. Нагрузка, испытываемая ваерным канатом при донном тралении, является величиной случайной, подчиненной нормальному распределению с параметрами а = 4,8 тс и  = 1,75 тс. При заданной вероятности 0,98 найти разрывную прочность каната, если запас прочности должен быть не менее трех.

61