Алгоритм построения точки пересечения прямой и плоскости общего положения

Словесная форма	Графическая форма
1. Заключить прямую b в вспомогательную плоскость-посредник P, [b2]=[P2]
2. Построить линию пересечения вспомогательной плоскости с заданной, Σ(ΔABC)ÇP2= 1;2. [Р2]Ç [В2С2]=[22]; [Р2]Ç [А2С2]=12; [12]Ç [А1С1]; [22][В1С1]
3. Найти точку пересечения полученной линии пересечения с заданной прямой, bÇΣ(ΔABC)=K. [11;21]Ç[b1]=[К1]; [К2][11;21]. 4. Определить видимость заданной прямой по правилу конкурирующих точек15

Решение частных случаев задачи на определение точки пересечения прямой с плоскостью основано на свойствах проекций геометрических образов частного положения.

Задача 5.2. Построение точки пересечения прямой общего положения с проецирующей плоскостью (рис. 5.20).

А

Рис. 5.20. Построение точки пересечения пря­мой общего положения с проеци­рующей плоскостью

лгоритм построения.

1. Опустить перпендикуляр линии связи из точки М₂ до пересечения с а₁. Получим точку М₁.

2. Показать видимость прямой а: полупрямая, находящаяся выше плоскости P (Р₂), будет видимой на горизонтальной плоскости проекций до точки М пересечения с плоскостью.

Задача 5.3. Построение точки пересечения проецирующей прямой с плоскостью общего положения (рис. 5.21).

Алгоритм построения.

1. Через точку m₁ провести фронталь f₁ плоскости точки P(ΔABC), m₁=E₁, E₁ Р(ΔABC). Точка Е₁ – горизонтальная проекция искомой точки пересечения прямой m с плоскостью P(ΔABC).

2. Построить f₂, Е₂ f₂, f₂∩m₂=Е₂. Точка Е₂ – фронтальная проекция искомой точки пересечения прямой m с плоскостью P(ΔABC).

3. Показать видимость прямой m относительно точки Е по конкурирующим точкам.

П

Рис. 5.21. Построение точки пересечения проецирующей прямой и плоскости общего положения

рямая линия, перпендикулярная плос­кости. Согласно элементарной геометрии, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. На заданной плоскости в качестве двух пересекающихся прямых целесообразно выбирать линии уровня – фронтали, горизонтали. В этом случае основанием решения будут являться свойства проецирования прямого угла.

Т

Рис. 5.22. Построение перпендикуляра к плоскости

аким образом, признак перпендикулярности прямой и плоскости можно сформулировать так: прямая перпендикулярна плоскости, если ее горизонтальная проекция перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали плоскости.

Алгоритм построения перпендикуляра к плоскости (рис. 5.22).

1. Построить фронталь и горизонталь плоскости: h(h₁; h₂),f(f₁; f₂).

2. Из точки D₁ провести перпендикуляр к горизонтальной проекции горизонтали, D₁K₁ h₁. Из точки D₂ провести перпендикуляр к фронтальной проекции фронтали, D₂K₂ ^ f₂.

3. Вывод: К^Q(ΔABC)Þ[D₂K₂]^[A₂B₂C₂]; [C₁D₁]^[A₁B₁C₁].

Прямая линия, параллельная плоскости. Прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости и не принадлежит этой плоскости. В общем случае, для решения задач на построение прямой, параллельно плоскости можно следовать этапам алгоритма, приведенным в табл. 5.2.

Таблица 5.2

Алгоритм построения прямой, параллельной плоскости

Словесная форма	Графическая форма
1. Через точку D1 провести прямую c1, параллельно a1 (либо b1): c1IIa1, D1Ì c1
2. Через точку D2 провести c2, параллельно a2. Получаем [m2]II[A2C2], [D2]Ì [m2] Вывод: так как, [m1] II(A1C1], [m2] II [A2C2], то D Ì  m, mIIACÞmIIα (ΔABC)